НГ и ИГ - 1 курс, лекции, материалы / 1 семестр / Поверхности / Способ вращения

Способ вращения

Способ вращения заключается в том, что положение геометрических элементов приводится в удобное для решения задачи относительно плоскостей проекций вращением вокруг оси, которая проводится перпендикулярно какой-нибудь плоскости проекций; положение плоскостей проекций при этом остается неизменным. На эпюре строят новые проекции повернутых геометрических элементов.

На рис. 4.44 показано вращение точки В вокруг оси I, перпендикулярной плоскости Н. Точку В вращаем вокруг оси I (рис. 4.44, а) по окружности, радиус О₁В которой является перпендикуляром, опущенным из точки В на ось вращения I. Точка О₁ – центр вращения точки В. Точка В опишет при вращении дугу окружности, которая располагается в плоскости Т, перпендикулярной оси вращения. А так как ось I перпендикулярна плоскости Н, плоскость Т будет горизонтальной плоскостью. Ось вращения – проецирующая прямая, перпендикулярная плоскости Н. траектория поворота точки В проецируется на плоскость Н окружностью, а на плоскость V – отрезком прямой линии. Переместив горизонтальную проекцию точки В в новое положение b₁, то есть повернув ее на заданный угол , строим фронтальную проекцию точки В (b₁) с помощью линии проекционной связи. Так как вращение происходит в плоскости Т, перпендикулярной плоскости V, фронтальная проекция b₁ точки В будет находиться на следе T_V плоскости Т. плоскость вращения на эпюре обычно не проводят.

а б

Рис. 4.44

Траектория вращения точки проецируется в дугу окружности на плоскость проекций, которой перпендикулярна ось вращения. На плоскость, которой ось вращения параллельна, траектория вращения точки проецируется в отрезок, параллельный оси проекций.

При определении натуральной величины отрезка для упрощения построений ось вращения проводят через конец отрезка. На рис. 4.45, а ось вращения I проведена через точку А перпендикулярно плоскости Н. при вращении точка В отрезка АВ описала дугу окружности с центром в точке, которая проецируется на плоскость Н в точку а, в ту же точку проецируется ось I (i). Траектория точки В на плоскость Н споецировалась без искажения, а ее фронтальная проекция совпала с осью Ох, так как точка В лежит в плоскости Н. движение точки В остановлено в тот момент, когда горизонтальная проекция ab отрезка АВ стала параллельной оси Ox. Отрезок расположился параллельно плоскости V и проецируется на нее в натуральную величину.

На рис. 4.45, б ось вращения проведена перпендикулярно плоскости V через точку С. Ее фронтальная проекция совпала с фронтальной проекцией оси вращения I (i) точки D. Фронтальная проекция cd отрезка CD повернута до положения, параллельного оси Ox. Отрезок стал параллельным плоскости Н и спроецировался на нее в натуральную величину. Траектория точки D при вращении проецируется на плоскость Н отрезком dd₁, параллельным оси Ox.

а б

Рис. 4.45

Н а рис. 4.46 показан поворот треугольника АВС (плоскость треугольника АВС перпендикулярна плоскости V) в положение, параллельное плоскости Н. для этого через одну из вершин треугольника (А) проводим ось вращения перпендикулярно плоскости V. Отрезок ab – проекцию треугольника АВС на плоскость V – поворачиваем в положение, параллельное оси Ox. Траектория поворота вершин треугольника спроецировалась на плоскость V в дуги окружностей, а на плоскость Н – в отрезки прямых, параллельных оси Ox. Проведя линии проекционной связи из точек с₁ и b₁ до пересечения с этими отрезками, получаем проекцию ab₁c₁ треугольника после поворота. Точка А своего положения не изменила, так как она находится на оси вращения. На плоскость Н треугольник спроецировался в натуральную величину, так как его плоскость параллельна плоскости Н.

Рис. 4.46

Способ плоскопараллельного перемещения

Способ вращения без указания осей или способ плоскопараллельного перемещения может быть применен в тех же случаях, что и рассмотренный выше способ вращения. Рассмотрим примеры, приведенные на рис. 4.47. Изобразим на плоскости V на свободном месте чертежа фронтальную проекцию cd прямой CD в новом положении так, что она будет параллельна оси Ox (проекция c₁d₁ = cd, рис. 4.47, а). В этом случае существует такая ось вращения, поворот вокруг которой приведет прямую CD в положение, параллельное плоскости Н. Ось вращения можно не указывать, так как все построения могут быть проделаны без нее. На горизонтальной плоскости проекций траектории перемещения совпадут с прямыми, параллельными оси Ox. Опустив из точек с₁ и d₁ линии связи до пересечения с этими прямыми, получим проекцию с₁d₁ прямой CD, которая в новом положении проецируется на плоскость Н в натуральную величину.

На рис. 4.47, б без указания оси вращения показан поворот треугольника АВС в положение, параллельное плоскости Н. Его фронтальная проекция a₁b₁c₁ изображена на произвольном месте плоскости V параллельно оси Ox.

а б

Рис. 4.47

Из сказанного следует, что проекции геометрических элементов при вращении не изменяет своей величины на той плоскости проекций, которой перпендикулярна ось вращения. Это происходит потому, что угол наклона прямой или плоскости к плоскости проекций, к которой перпендикулярна ось, не изменяется при перемещении этих геометрических элементов. Взаимное расположение точек при повороте, а значит и форма и величина проекции вращаемого объекта на этой плоскости проекций остаются без изменений. Меняется лишь ее положение.

На этом и основан способ вращения без указания осей. Одну из проекций вычерчиваем в новом положении по отношению к оси проекций Ox, а на другой плоскости проекций проводим прямые, параллельные оси Ox, изображающие на плоскости проекций путь перемещения точек. В пересечении линий проекционной связи, проведенных от проекций точек после поворота, и линий, параллельных оси Ox, получаем точки, определяющие положение второй проекции после поворота.

Способ совмещения

Способ совмещения можно рассматривать как частный случай вращения. Он применяется для определения натуральной величины геометрической фигуры, расположенной в плоскости. Эту плоскость вместе с геометрической фигурой, лежащей в этой плоскости, вращают вокруг одного из следов, совмещая с той плоскостью проекций, в которой лежит этот след. В совмещенном положении геометрическая фигура изображается в натуральную величину. Если геометрическая фигура задана на эпюре без следов, то следы плоскости нужно построить. Рассмотрим пример совмещения только для проецирующей плоскости. Наклонный след плоскости проходит через прямую, в которую проецируется геометрическая фигура, а второй след – перпендикулярно оси проекций.

Н а рис. 4.48 показано совмещение плоскости Р (∆АВС) с фронтальной плоскостью проекций V вращением ее вокруг фронтального следа P_V . Плоскость Р перпендикулярна плоскости V. Через вершины треугольника АВС проведены в плоскости Р горизонтали и фронтали. Вершины треугольника лежат в точках пересечения этих линий. Горизонтальные проекции горизонталей параллельны горизонтальному следу Р_Н плоскости Р, а горизонтальные проекции фронталей параллельны оси Ox. На фронтальную плоскость проекций горизонтали, которые перпендикулярны плоскости V, проецируются в точки a, b и с на след P_V. На этот же след проецируются и фронтали.

Для построения совмещенного положения плоскости Р с плоскостью V проводим совмещенный горизонтальный след P_H1 плоскости Р перпендикулярно фронтальному следу P_V через точку схода следов P_X. Следы P_H и P_V расположены в пространстве перпендикулярно друг другу, и в совмещенном положении прямой угол между ними сохранится. Затем проводим в совмещенной плоскости Р горизонтали и фронтали через точки их пересечения со следами плоскости. Горизонтали пересекают след P_V в точках, совпадающих с проекциями a, b, с, и через эти точки проводим горизонтали параллельно совмещенному следу P_H1.

Фронтали пересекают горизонтальный след P_H в точках 1, 2, 3. Из этих точек проводим дуги с центром в точке P_X, находим точки 1₁, 2₁, 3₁ и через них проводим совмещенные фронтали параллельно следу P_V, так как все фронтали плоскости параллельны ее фронтальному следу. Каждая из проведенных фронталей, пересекаясь с соответствующей горизонталью, дает одну из вершин треугольника. Треугольник АВС в совмещенном положении изображается в натуральную величину.