Physics

.

Период свободных колебаний математического маятника не зависит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник.

Физическим маятником называется тело конечных размеров, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела.

Точка пересечения оси О с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеса маятника (рис. 7.3). Положение маятника в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения ! его из положения равновесия, а его движение описывать уравнением динамики вращательного движения твердого тела:

,

здесь I – момент инерции маятника относительно оси вращения, М – момент сил, действующих на маятник и ! – его угловое ускорение.

Рис. 7.3.

К определению периода физического маятника.

а = R расстояние от оси вращения до центра масс маятника, ! – угол отклонения маятника от положения равновесия

Проецируя уравнение (7.11) на выбранную ось Z, имеем скалярное уравнение:

.

Учитывая, что угол ! мал и sin!!!, перепишем (7.12) следующим образом:

.

Обозначив mgа/I через !2, имеем уравнение гармонических колебаний

,

решение, которого есть функция

.

Таким образом, малые колебания физического маятника будут гармоническими колебаниями с циклической частотой

и периодом Т

.

Отметим, что период малых колебаний физического маятника не зависит от амплитуды. Колебания, период которых не зависит от амплитуды, принято называть изохронными. Строго говоря, колебания физического маятника лишь приближенно изохронны: при условии, что угловая амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При больших амплитудах изохронность нарушается.

21. Затухающие гармонические колебания.

Гармонические колебания относятся к свободным колебаниям без трения, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была тем или иным способом выведена из состояния равновесия. Свободные колебания любого осциллятора в отсутствии трения будут гармоническими, если действующая сила (или момент силы) является квазиупругой, т.е. силой, направленной к положению равновесия и зависящей от смещения из этого положения линейно. Частота и период свободных колебаний без трения зависят только от свойств самого осциллятора, в отличие от амплитуды колебаний и начальной фазы, которые определяются начальными условиями.

В любой реальной колебательной системе есть силы сопротивления (трения), действия которых приводит к уменьшению амплитуды и энергии колебаний. Такие свободные колебания называются затухающими. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы, у которой параметры, определяющие физические свойства системы в ходе процесса не изменяются, задается в виде

, (1)

где - колеблющаяся величина, описывающая физический процесс;- коэффициент

затухания;- циклическая частота свободных незатухающих колебаний при(при отсутствии потерь энергии) илисобственная частота колебательной системы.

22. Вынужденные колебания, резонанс.

Колебания тел под действием внешней периодической силы называются вынужденными, а сила — вынуждающей. В случае действия гармонической вынуждающей силы, например

или , вначале наблюдается достаточно сложное движение тела. Спустя некоторое время после начала действия вынуждающей силы колебания при наличии трения приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Частота установившихся вынужденных колебаний всегда равна частоте вынуждающей силы.

Амплитуда и энергия вынужденных колебаний зависят от того, насколько различаются

частота вынуждающей силы и частота собственных колебаний , а также от величины трения (сопротивления) в системе. При вынужденных колебаниях возможно явление, называемое резонансом (от лат. слова resono — откликаться).

Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешней силы, действующей на колебательную систему, к частоте

собственных колебаний системы

23. Сложение гармонических колебаний.

Для простоты рассмотрим сначала случай, когда частоты складываемых колебаний одинаковы. Общие решения складываемых гармонических колебаний имеют вид:

где x1, x2 — переменные, описывающие колебания, A1, A2 — их амплитуды, а , — начальные фазы. Результирующее колебание

удобно найти с помощью векторной диаграммы. Этот метод использует аналогию между вращением и колебательным процессом.

Возьмем общее решение (1.23) для гармонического колебания. Выберем ось 0x. Из точки 0 отложим вектор длиной A, образующий с осью 0x угол . Если привести этот вектор во

вращение с угловой скоростью , то проекция конца этого вектора будет перемещаться по оси 0x от +A до –A, причем величина проекции будет изменяться по закону

Таким образом, проекция конца вектора на ось 0x будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Векторная диаграмма для общего решения (1.23)

Применим теперь эту технику к сложению колебаний (1.34). Представим оба колебания с помощью векторов А1 и А2 Возьмем их векторную сумму (рис. 1.13)

Рис. 1.13. Векторная диаграмма для сложения одинаково направленных колебаний одинаковой частоты

Проекция вектора А1 на ось 0x равна сумме проекций соответствующих векторов

Таким образом, вектор А представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью , так что результирующее движение будет

гармоническим колебанием с частотой , амплитудой A и начальной фазой a. Согласно теореме косинусов:

В частности, если фазы складываемых колебаний равны или отличаются на величину,

кратную (то есть ), то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд

Если же складываемые колебания находятся в противофазе (то есть ), то

24. Волновое движение. Характеристики волнового движения. Типы волн.

Волна - это возмущение, распространяющееся с конечной скоростью в пространстве и несущее с собой энергию. Суть волнового движения состоит в переносе энергии без переноса вещества. Любое возмущение связано с каким-то направлением (вектор электрического поля в электромагнитной волне, направление колебаний частиц при звуковых волнах, градиент концентрации, градиент потенциала и т.д.). По взаимоположению вектора возмущения и вектора скорости волны, волны подразделяются на продольные (направление вектора возмущения совпадает с направлением вектора скорости) и поперечные (вектор возмущения перпендикулярен вектору скорости). В жидкостях и газах возможны только продольные волны, в твердых телах - и продольные и поперечные.

Волна несет с собой и потенциальную и кинетическую энергию. Скорость волны, т.е. скорость распространения возмущения, зависит как от вида волны, так и от характеристик среды, например, от прочности бетона при затвердевании. Измеряя скорость распространения ультразвука можно определить, какую прочность набрал бетон в процессе выпаривания.

При наличии дисперсии волн понятие скорости волны становится не однозначным: приходится различать фазовую скорость (скорость распространения определенной фазы волны) и групповую скорость, являющуюся скорость переноса энергии, что усложняет различные измерительные работы с помощью различного вида колебаний. В случае же когерентного колебания фазовая скорость может нести информацию о свойствах среды.

25. Энергия, переносимая волнами. Бегущие волны.

При распространении волны в пространстве от какого-либо источника происходит и распространение энергии; частицы среды, вовлекаемые в колебательное движение, получают энергию от волны. Проследим, как энергия от источника распространяется в пространстве.

Предположим, что наш источник - плоская металлическая мембрана, колеблющаяся с определённой частотой. Колебаться мембрану заставляет вынуждающая сила, в данном случае - переменное (синусоидальное) магнитное поле. Мембрана, в свою очередь, заставляет колебаться частицы воздуха, и в пространстве за мембраной распространяется плоская продольная упругая волна.

Энергия мембраны есть энергия её движения, то есть чисто кинетическая энергия. (Мы полагаем мембрану безинерционной и неупругой, её колебания в точности соответствуют колебаниям магнитного поля.) Среду, в которой распространяется волна (воздух) будем считать идеальной, не поглощающей волну (реально это справедливо для небольших участков пространства, в пределах которых диссипацией энергии можно пренебречь). Поскольку мембрана колеблется по синусоидальному закону, её энергия (кинетическая) также будет периодически меняться со временем, но с удвоенной частотой (энергия пропорциональна квадрату скорости и не зависит от её знака). Следовательно, энергия источника будет поступать в среду циклически, с частотой, в два раза большей частоты колебаний источника.

Какие формы принимает энергия в среде за мембраной? Во-первых, это кинетическая энергия частиц воздуха, пришедших в движение; во-вторых, поскольку среда упругая, это потенциальная энергия деформации воздуха. Причём и кинетическая, и потенциальная энергия в любой точке пространства изменяются абсолютно синхронно во времени: когда кинетическая энергия достигает максимума, то и потенциальная энергия максимальна, и наоборот. В самом деле, проследим за слоем воздуха непосредственно за мембраной: когда скорость мембраны максимальна, максимальна и скорость частиц воздуха, но при этом мы имеем и максимальное сжатие воздуха за мембраной. Когда скорость мембраны равна нулю (два раза за период), энергия мембраны равна нулю, в волну в эти моменты энергия не поступает.

Пусть v* - скорость частиц среды в какой-то момент времени в какой-то точке пространства (или, точнее, в физически малом объёме dV). Объёмная плотность кинетической энергии Wk запишется (r - плотность среды):

Объёмная плотность потенциальной энергии упруго деформируемой среды равна:

n - фазовая скорость волны, e - относительная деформация среды. Учитывая, что:

имеем:

Причём в каждой точке пространства объёмные плотности кинетической и потенциальной энергий равны. Этот вывод справедлив для любых волн в упругих средах: полная механическая энергия волны в каждой точке есть сумма двух равных слагаемых, потенциальной и кинетической энергий.

Из вышеприведённой формулы следует, что среднее за период значение объёмной плотности энергии равно:

Скорость переноса энергии волной есть скорость перемещения в пространстве фиксированной амплитуды волны; для простой синусоидальной волны эта скорость совпадает с фазовой скоростью.

Бегущая волна — волновое движение, при котором поверхность равных фаз перемещается с конечной скоростью. Примерами могут служить упругие волны в стержне, столбе газа или жидкости, электромагнитная волна вдоль длинной линии или в волноводе.

26. Принцип суперпозиции волн. Стоячие волны.

Принцип суперпозиции (наложения) волн заключается в следующем: в линейных средах волны распространяются независимо друг от друга, то есть волна не изменяет свойства среды, и другая волна распространяется так, будто первой волны нет. Это позволяет вычислять итоговую волну как сумму всех волн, распространяющихся в данной среде.

При сложении двух или более синусоидальных волн результирующая волна в общем случае уже не будет синусоидальной.

Рассмотрим в качестве примера результат сложения двух плоских однонаправленных волн с одинаковыми амплитудами и разными, но близкими частотами и волновыми числами:

Полученная волна не является синусоидальной, так как величина перед синусом (амплитуда волны) меняется со временем и координатой. Однако, если на длине волны (и в течении периода) её изменения малы (что имеет место при малых dk и dw), волна ещё похожа на синусоиду; её иногда называют квазисинусоидальной. График этой волны представляет собой то, что мы в теории колебаний назвали биениями; однако здесь, в отличие от маятника, биения происходят не только во времени, но и в пространстве. Стоячая волна — явление интерференции волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при котором перенос энергии ослаблен или отсутствует.

27. Гидростатика и аэростатика. Давление в жидкостях и газах. Измерение давления.

Гидростатика — раздел физики сплошных сред, изучающий равновесие жидкостей, в частности, в поле тяжести. Гидростатика — это теория поведения неподвижных жидкостей. Прежде всего, полезно сравнить гидростатику с теорией упругости, изучающей равновесие твёрдых тел.

Аэростатика — раздел гидроаэромеханики, в котором изучается равновесие газообразных сред, в основном атмосферы. Главным представителем газообразных веществ является атмосферный воздух.

Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся свободно и в результате соударений стремятся разлететься во все стороны, заполняя весь предоставленный им объем, т. е. объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает.

Как и газ, жидкость принимает форму того сосуда, в который она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом. Хотя свойства жидкостей и газов во многом отличаются, в ряде механических явлений их поведение определяется одинаковыми параметрами и идентичными уравнениями. Поэтому гидроаэромеханика — раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимодействие между собой и обтекаемыми ими твердыми телами,— использует единый подход к изучению жидкостей и газов.

В механике с большой степенью точности жидкости и газы рассматриваются как сплошные, непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плотность жидкости мало зависит от давления. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжимаемостью жидкости и газа во многих задачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости — жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.

Если в покоящуюся жидкость поместить тонкую пластинку, то части жидкости, находящиеся по разные стороны от нее, будут действовать на каждый ее элемент !S с силами !F, которые независимо от того, как пластинка ориентирована, будут равны по модулю и направлены перпендикулярно площадке !S, так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движение (рис. 44).

Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади, называется давлением р жидкости:

p=!F/!S.

Единица давления—паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м2 (1 Па=1 Н/

м2).

Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью. Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления внутри покоящейся несжимаемой жидкости. При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная поверхность покоящейся

жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности ! вес P = !gSh, а давление на нижнее основание

p =P/S=!gSh/S=!gh, (28.1)

т. е. давление изменяется линейно с высотой. Давление !gh называется гидростатическим давлением.

Согласно формуле (28.1), сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа):

FА =!gV,

где ! — плотность жидкости, V — объем погруженного в жидкость тела.

Для измерения давления используют манометры, вакуумметры, мановакуумметры, напоромеры, тягомеры, тягонапоромеры, датчики давления, дифманометры. В большинстве приборов измеряемое давление преобразуется в деформацию упругих элементов, поэтому они называются деформационными.

28. Закон Паскаля. Выталкивающая сила и закон Архимеда.

Закон Паскаля формулируется так: Давление, производимое на жидкость или газ, передается в любую точку без изменений во всех направлениях.

Закон Архимеда — закон гидростатики и аэростатики: на тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, численно равная весу объёма жидкости или газа, вытесненного телом.

Чтобы найти архимедову (выталкивающую) силу, действующую на тело в газе, надо плотность газа умножить на ускорение свободного падения (g = 9,8 Н/кг) и на объём тела, находящегося в газе: F А = ρ газа g V тела.

29. Поверхностное натяжение. Капиллярность. Отрицательное давление и когезия воды.

Поверхностное натяжение — это величина, которая показывает стремление жидкости сократить свою свободную поверхность, то есть уменьшить избыток своей потенциальной энергии на границе раздела с газообразной фазой.

Капиллярность или капиллярный эффект — явление подъема или опускания жидкости в капиллярах — узких трубках, каналах произвольной формы, пористых телах. В поле силы тяжести поднятие жидкости происходит в случаях смачивания каналов жидкостями, например воды в стеклянных трубках, песке, грунте и т. п.

Капиллярность Любая жидкость характеризуется поверхностным слоем. Рассмотрим, почему капли

дождя, капельки пролитой ртути и т. д. имеют форму, близкую к сферической? Поверхность жидкости образует пленку, и сила натяжения действует параллельно поверхности из-за существующих между молекулами жидкости сил притяжения. Этот эффект и называют поверхностным натяжением.

Сила, действующая на единицу длины контура, ограничивающего ее поверхность, называют поверхностным натяжением.

Согласно определению, поверхностное натяжение

. (2.112)

Существование поверхностного натяжения можно объяснить на основании молекулярного строения вещества. Между молекулами жидкости действуют силы притяжения.

Молекула Б внутри жидкости находится в равновесии, так как силы со стороны других молекул, ее окружающих, действуют на нее во всех направлениях и взаимно компенсируются (рис. 2.17).

Молекула А на поверхности жидкости тоже находится в равновесии, но на нее действует результирующая сила, направленная внутрь жидкости. Эта сила и вызывает поверхностное натяжение.

При таком стягивании поверхности жидкости она стремится к состоянию, в котором площадь ее поверхности минимальна.

Рис. 2.17

В условиях невесомости капли любой жидкости независимо от ее размеров имеют сферическую форму. Помещая каплю жидкости, например, оливкового масла, в жидкость такой же плотности (смесь спирта и воды) наблюдают, что эта капля принимает сферическую форму (опыт Плато).

Для увеличения поверхности жидкости необходимо приложить силу. Совершаемая при этом работа затрачивается на перенос молекул из глубины жидкости на ее поверхность, т. е.

А = F!x = !!x = !!S, (2.113)

где !x – смещение границы пленки; !S – изменение площади поверхности.

При этом увеличивается потенциальная энергия молекул, называемая поверхностной энергией.

Чем больше площадь поверхности, тем больше поверхностная энергия. Из (2.113) следует, что

, (2.114)

т. е. поверхностное натяжение – работа, совершаемая силами для увеличения площади поверхности жидкости на единицу.

В предельном случае можно получить тонкие пленки, например, мыльные пленки, которые имеют две поверхности, между которыми заключена жидкость. При растяжении поверхности пленки увеличивается ее площадь, в остальном пленка остается такой же, так как пленка пополняется молекулами жидкости из внутренних слоев.

При определении поверхностного натяжения необходимо учитывать среду, с которой жидкость граничит. Действительно, на молекулы поверхностного слоя действуют молекулярные силы не только со стороны данной жидкости, но и со стороны молекул окружающей среды.

а б Рис. 2.18

Если жидкость находится в сосуде, то у стенок сосуда она может подниматься или опускаться относительно общего уровня.

Это зависит от свойств жидкости и материала сосуда.

Например, вода в стеклянном сосуде около его стенок поднимается. В этом случае говорят, что вода смачивает стекло (рис. 2.18, а).

Наоборот поверхность ртути в стеклянном сосуде у его стенок несколько опускается, т. е. ртуть не смачивает стекло (рис. 2.18, б).

а б Рис. 2.19

Явление смачивания (не смачивания) зависит от того, что сильнее: вза-имодействие между молекулами жидкости (когезия) или взаимодействие между молекулами жидкости и молекулами материала сосуда (адгезия). У стенок сосуда жидкость образует искривленную поверхность.

Угол между касательной к поверхности жидкости и поверхностью твердого тела (стенки сосуда) называют краевым углом !.

Его величина зависит от соотношения сил когезии и адгезии (рис. 2.19, а, б). При ! ! 90о жидкость смачивает твердое тело; при ! ! 90о – не смачивает. Особенно четко это явление наблюдается, когда жидкость налита в узкий сосуд (капилляр).

Высота поднятия (опускания) h жидкости в капилляре зависит от поверхностного натяжения, краевого угла и радиуса капилляра.

Если поверхность жидкости выпукла (вогнута), то при равновесии давление по разные стороны от нее будет неодинаковым (рис. 2.20), т. е.

, (2.115)

где r – радиус капилляра; Р1 – атмосферное давление; Р2 – давление на уровне мениска (столба жидкости на высоте h).

Если же жидкость ограничена поверхностью двойной кривизны (мыльная пленка), то по формуле Лапласа

Рис. 2.20

, (2.116)

где R1 и R2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений поверхности жидкости. Радиус считается положительным, если сечение вогнуто в сторону жидкости и, наоборот, если сечение выпукло, – отрицательным.

В случае сферической поверхности

R1 = R2 = R,

значит,

. (2.117)

Для мыльного пузыря из-за двойной поверхности натяжения

. (2.118)

Для жидкости в цилиндрическом сосуде из-за симметрии при R1 = R2 = R – радиус кривизны (мениск)

. (2.119)

С другой стороны,

Р2 – Р1 = !gh. (2.120)

Из формул (2.117), (2.119) и (2.120) можно найти высоту поднятия (опускания) столба жидкости в капилляре

. (2.121)

Интересен вопрос о том, каким образом вода и растворенные в ней минеральные соли поднимаются к верхушкам деревьев? Например, секвойя в своем росте достигает высоты более 100 м.

Известно, что капиллярная система деревьев (ксилеме) характеризуется радиусом капилляров от 0,01–0,3 мм.

Под действием сил поверхностного натяжения вода в капиллярах поднимается на высоту не более, чем на 1,5 м. Под действием атмосферного давления она может подняться не выше 10 м. Как же осуществляется питание деревьев при их росте? Причина заключается в том, что вода поднимается за счет когезии (силы взаимодействия между молекулами однородной жидкости) и за счет отрицательного давления, которое по последним данным достигает !25 атм у верхушки деревьев. Получить на практике отрицательное давление трудно. Запаянная с верхнего конца стеклянная трубка заполняется жидкостью. Из правого резервуара откачивают воздух.

Рис. 2.21

В точках А и Б возникает разность давлений (рис. 2.21) РБ – РА = !gh.

Когда давление над жидкостью становится равной нулю, то давление в точке Б также равно нулю (РБ = 0), так как она находится на одном уровне с поверхностью жидкости в резервуаре.

Следовательно, давление в точке А будет иметь отрицательное значение: РА= ! !gh. Таким способом удалось на практике получить отрицательное давление до Р = ! 270 атм.