Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
1
Добавлен:
23.10.2024
Размер:
360.43 Кб
Скачать

Лекция 1. Кинематика материальной точки

Введение

Список литературы:

И.Е.Иродов. Механика. Основные законы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2003.

И.Е.Иродов. Физика макросистем. Основные законы. – М.: Лаборатория базовых знаний,

2003.

И.В.Савельев. Механика. Курс общей физики. – М.: «Астрель», АСТ, 2005

И.В.Савельев. Молекулярная физика и термодинамика. Курс общей физики. – М.: «Аст-

рель», АСТ, 2005

А.С.Овчинников. Механика и молекулярная физика: Сборник задач по курсу «Общая фи-

зика». – М.: МИЭТ, 2012.

И.Е.Иродов. Задачи по общей физике. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

И.В.Федоренко Механика. Молекулярная физика. Сборник тестовых заданий по физике.

М.: МИЭТ, 2011.

Механика – раздел физики, изучающий движение тел в пространстве и во времени.

Понятия пространства и времени являются в механике исходными, их невозможно определить через другие более простые понятия.

Свойства пространства: трехмерно, однородно и изотропно.

Свойства времени: одномерно, однородно, направлено в одну сторону (может только увеличиваться).

Положение тела в пространстве определяется по отношению к другим телам.

Тело отсчета – тело, служащее для определения положения других тел.

Система отсчета – совокупность тела отсчета, связанных с ним координат и синхронизованных между собой часов.

Классическая

(Ньютоновская)

механика

V c (3 10

8

м/с)

 

 

l 1нм

1687 г.

Релятивистская механика

V ~ c

Эйнштейн, 1905 г.

Квантовая механика

l 100 нм

Шредингер, Гейзенберг, 1925

Глава 1 Кинематика материальной точки

Релятивистская квантовая механика

V ~ c l 100 нм

Дирак, 1928 г.

§1.1 Основные понятия

Кинематика – раздел механики, описывающий движение тел, отвлекаясь от причин, его вызывающих.

Другими словами в кинематике не рассматриваются понятия массы и силы.

Материальная точка – тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Траектория – множество точек пространства, пройденных материальной точкой в процессе движения.

Путь S – длина траектории.

Закон движения – функция времени, описывающая положение материальной точки в пространстве.

§1.2. Прямолинейное движение

Простейшая траектория – прямая линия. Выберем ось X так, чтобы она совпадала с траекторией. Тогда закон движения принимает вид: x(t ), где x координата точки на выбранной оси.

Модуль 1.1 Кинематика

1-1

Лекция 1. Кинематика материальной точки

!! Замечание: координата x – величина алгебраическая, т.е. может иметь и отрицательный знак (в отличие, например, от пути или длины, которые всегда положительны).

Равномерное движение

Равномерное движение – за любые одинаковые промежутки времени точка прохо-

 

дит одинаковые расстояния.

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проиллюстрируем такое движение графически (см. рис.). Обозна-

 

 

 

чим начальную координату x0. По определению за одинаковые про- x

 

α

межутки времени t точка изменяет координату на одинаковую ве-

x

 

 

личину x. Нанесем эти точки на график. Видно, что график закона

 

 

 

 

 

движения – прямая линия. Общее уравнение прямой:

y = kx + b , что

x0

 

 

 

 

 

x(t)= kt + b

 

 

 

 

 

 

в нашем случае принимает вид

. Смысл коэффициентов:

 

 

t

b – значение функции при

t = 0

. Очевидно

b = x

0

 

t

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

k – угловой коэффициент прямой: k =

=Vx .

Назовем эту ве-

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

личину скоростью.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда закон движения x(t ) для равномерного прямолинейного движения примет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t )=V t + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

 

 

 

 

!! Замечание: Нельзя называть скорость тангенсом угла наклона (тангенс – величина безразмерная, а скорость имеет размерность). Правильное название – угловой коэффициент [прямой].

Неравномерное прямолинейное движение

Теперь наклон кривой будет со временем изменяться. Нам нужна величина, характеризующая

этот наклон. Выражение x t

для этой цели не годится.

X

 

 

Средняя скорость за время t :

V

x

=

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а нас интересует мгновенная скорость – скорость в момент t.

 

1. Можно найти путь x , который точка прошла бы, если бы

x

двигалась с этой скоростью равномерно.

Для этого надо

x

построить касательную к графику функции и найти её уг-

 

ловой коэффициент:

 

x

="tg "

 

 

 

 

 

 

x0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

V =

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Как можно сильнее сократить время t : Vx

= lim

x

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t0

 

Оба подхода приводят к понятию производной по времени функции

x(t

)

α δx

t

t

t

t

 

: Vx = x (t ) x .

Мы будем чаще использовать другое обозначение для производной: Vx

=

dx

. Его смысл:

dt

 

 

 

dt – бесконечно малое приращение времени.

dx – приращение координаты за время dt (очевидно, что оно тоже бесконечно малое).

►Скорость – производная координаты по времени:

V

 

=

dx

x

dt

 

 

 

 

 

 

Скорость непостоянна, введем величину, характеризующую скорость её изменения – ускорение. По аналогии с предыдущими рассуждениями:

►Ускорение – производная скорости по времени: ax = dVx dt

1-2

Модуль 1.1 Кинематика

Лекция 1. Кинематика материальной точки

Мы рассмотрели подробно прямолинейное движение, чтобы уяснить себе физический смысл скорости и ускорения. Теперь перейдем к общему случаю непрямолинейного движения. Для его описания в кинематике применяется три способа.

§1.3 Векторный способ

 

Положение материальной точки в пространстве описывается с помощью радиус-вектора

 

r

Радиус-вектор – вектор, проведенный из начала координат в текущее положение

 

 

 

материальной точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Закон движения в этом случае принимает вид: r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перемещение – вектор, направленный от начальной точки к конечной:

r

= r

r

 

.

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

►Вектор средней скорости:

V

t

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для прямолинейного движения мы ввели понятие скорости как производ-

 

 

 

 

 

r

 

r2

 

ной от координаты. Аналогичным образом можно ввести:

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V = dr = lim

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

►Вектор мгновенной скорости:

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

t0

t

 

 

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

Из рисунка видно, что при стремлении

t 0

в конце концов вектор dr

 

 

 

 

 

 

 

 

r

будет лежать на траектории. Отсюда вытекает:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства вектора мгновенной скорости:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

1. Всегда направлен по касательной к траектории.

 

2.

V =

 

 

 

 

r1

2

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!! Замечание: Величина

V

=

S

– это средний модуль

 

скорости, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

=

t

– модуль средней скорости. Они не всегда равны между собой!!!

 

V

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

►Вектор ускорения:

a =

dt

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§1.4. Координатный способ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разложим радиус-вектор r

по осям декартовой системы координат. Пусть i ; j; k – единичные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектора соответствующих осей. Тогда:

r (t ) = x

i + y

j + z k ;

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = x(t); y = y(t); z = z(t);

 

 

 

где

– проекции радиус-вектора на соответствующие оси (координаты

мат.

 

 

V

=

точки). Для получения

 

 

 

 

 

 

dr

= lim

r

=

dt

t

= i

, j, k

t0

 

 

 

вектора скорости формально

 

 

 

 

const = lim

x i

+ y j

+ z

 

t

 

t0

 

 

продифференцируем радиус-вектор:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

=

dx

+

dy

+

dz

 

dt

i

dt

j

dt

k ;

 

 

 

 

 

 

 

Фактически мы получили разложение вектора скорости по осям координат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= dr =V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

dy

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

V 2

 

 

2 +V

2

 

 

 

V

i

+V

 

j +V

k ;

 

где

V

=

;V

 

=

;V

=

 

.

V = V =

+V

.

 

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

dt

x

 

 

z

 

 

 

 

x

 

dt

 

dt

z

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Совершенно аналогично можно записать формулы для вектора ускорения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

 

 

dVy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

 

 

2

2

2

 

 

a

=

 

= ax

i

+ ay

j + az

k ;

где

ax

=

 

 

x

; ay =

 

 

 

; az =

 

 

z

;

 

a =

a

=

 

ax

+ ay

+ az

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

dt

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Модуль 1.1 Кинематика

1-3

Лекция 1. Кинематика материальной точки

§1.5. Естественный способ

Часто бывает гораздо удобнее раскладывать вектор ускорения не по декартовой системе координат, а по подвижной системе координат, привязанной к траектории (см. рисунок):

►Тангенциальная ось направлена по касательной к траектории.

 

– единичный век-

 

тор тангенциальной оси.

 

 

 

 

►Нормальная ось направлена перпендикулярно траектории.

единичный вектор

n

нормальной оси.

Этот способ применяется тогда, когда известны начало отсчета О, положительное направление дуговой координаты l и зависимость l(t). (см. рис. 2.). Поскольку скорость направлена по

касательной к траектории, то можно записать:

 

 

 

dS=V·dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dα

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

V = V

 

 

 

 

 

В

отличие

от скорости

вектор

ускорения может быть

 

 

 

 

 

 

направлен куда угодно. Вычислим ускорение точки, продиффе-

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

ренцировав вектор скорости:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

dV

 

 

 

 

 

 

dα

 

 

dV

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

a =

 

=

 

(V )=

 

+V

 

 

 

R

 

 

 

R

 

dt

dt

dt

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зафиксируем время dt и найдем приращение d за это время. На

 

 

 

 

 

 

рисунке видно, что по направлению

 

 

 

 

 

 

 

 

d || n , Чтобы вычислить его

 

 

 

 

 

 

модуль, проведем нормали к касательным в начальной и конеч-

 

 

 

 

 

 

ной точках и найдем точку их пересечения. Длина полученных нормалей называется радиусом

кривизны

траектории R. Видно, что полученные треугольники с углом dα подобны:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dS

 

d

 

Vdt

 

 

=

 

; d =

 

n . И мы получим:

 

R

1

R

 

 

 

 

dV

 

V

2

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

a

dt

+

R

n

= a

 

+ a

n

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тангенциальное ускорение (касательное к траектории).

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

нормальное ускорение (перпендикулярное касательной к траектории);

a =

 

a

2

+ a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Способы расчета:

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

 

 

 

 

V

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

a

 

=

 

; a

 

=

 

;

где R – радиус кривизны траектории.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

n

R

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Так как скорость всегда направлена по касательной, угол φ – не что

 

φ

иное,

 

как

 

 

угол

 

между скоростью

 

и

 

ускорением (см.

рисунок):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a,V )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a,V )

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos =

 

 

 

 

 

 

; a

= a cos ;

a

 

=

 

 

; a

 

=

a

2

a

2

.

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a V

 

 

 

 

V

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Физический смысл:

a

Нормальное ускорение описывает изменение направления движения. Например, для прямолинейного движения: R ; an = 0;

Тангенциальное ускорение описывает изменение скорости по модулю. Например, для равномерного движения: V = const; V = a = 0;

1-4

Модуль 1.1 Кинематика