Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
1
Добавлен:
23.10.2024
Размер:
150.14 Кб
Скачать

1

Кинематика точки

 

Задачи

 

 

 

 

(A, B, C – положительные постоянные, ex , ey , ez - орты осей X, Y и Z)

1.

Материальная точка движется вдоль оси x по закону:

x(t) = Bt + Acos ωt . Найдите про-

 

екцию скорости Vx (t) .

 

 

 

 

2.

Материальная точка движется вдоль оси x по закону:

x(t) = At3 . Найдите проекцию ус-

 

корения ax (t) в зависимости от времени

 

 

 

 

3.

Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x(t) = At + B sin ωt . Найдите проек-

 

цию ускорения ax (t) в зависимости от времени.

 

+C)ery . Найдите уравне-

4.

Задан закон движения частицы в плоскости xy : rr = Aterx +(Bt 2

 

ние траектории y(x) .

 

 

 

 

5.

Задан закон движения частицы в плоскости xy : rr = Aterx + Bt 2 ery . Найдите модуль век-

 

тора ускорения a(t) .

 

 

 

 

6.

Задан закон движения частицы в плоскости xy : rr = At 2 erx + Btery . Найдите модуль векто-

 

ра скорости V (t) .

 

 

 

 

7.

Материальная точка движется вдоль оси x так, что Vx

= At 2 . В начальный момент време-

 

ни координата точки x(0) = B . Найдите x(t) .

 

 

 

8.

Материальная точка движется вдоль оси x так, что Vx = At3 . В начальный момент вре-

 

мени координата точки x(0) = B . Найдите x(t) .

 

 

 

9.

Материальная точка движется вдоль оси x так, что Vx = A t . В начальный момент вре-

 

мени координата точки x(0) = 0 . Найдите x(t) .

 

 

 

10.

Материальная точка движется вдоль оси x так, что ax

= At . В начальный момент време-

 

ни x(0) = 0 , Vx (0) = 0 . Найдите Vx (t), x(t) .

 

 

 

 

11.

Материальная точка движется вдоль оси x так, что ax = −A υx

. В начальный момент

 

времени υx (0) = υ0 . Найдите υx (t) .

 

 

 

 

12.

Материальная точка движется вдоль оси x так, что ax

= −AVx2 . В начальный момент вре-

 

мени Vx (0) =V0 . Найдите Vx (t) .

 

r

r

r

13.

Материальная точка движется в плоскости

 

xy так, что υ = At

2 ex + Btey . Известно, что

 

rr(0) = Cery . Найдите rr(t), υ(t), ax (t), a(t) , уравнение траектории.

 

 

14.

Материальная точка движется в плоскости

xy так, что V = Aterx

+ Bt 2 ery . Известно, что

 

rr(0) =Crj . Найдите rr(t) .

 

что V = Atir+ Brj . Известно, что

15.

Материальная точка движется в плоскости

xy так,

 

rr(0) =C(ir+ j) . Найдите rr(t) .

 

 

 

 

Ответы

1.Vx = B Aωsin ωt

2.ax = 6At

2

3.ax = −Bω2 sin ωt

4.y = AB2 x2 +C

5.a(t) = 2B

6.V = (2At)2 + B2

7.x = A3 t 3 + B .

8.….

9.….

 

V

 

 

V

At 2

10.

x

=

 

 

 

 

 

 

0

2

11. Vx =

 

 

V0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + AV t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

….

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

3 r

 

 

2

r

 

2

2

 

 

 

2

 

2

 

 

2

 

 

 

 

13.

r

= xex

+ yey

=

 

 

 

 

t ex +

 

 

t

 

+C ey ,

V =

Vx

+Vy

= ( At

 

)

 

+(Bt)

 

 

,

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax =

dV

x

= 2At

, a = ax2

+a2y =

(2At)2 + B2 ,

 

B

t 2

 

 

B

 

3x

2 / 3

 

 

 

 

 

y =

 

 

+C =

 

 

 

 

 

 

+C .

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

r

 

 

At

2

 

r

 

 

 

 

Bt

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

r

(t) =

 

 

 

 

ex

+

 

 

 

 

 

+C ey

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решения некоторых задач

1.

Материальная точка движется вдоль оси x по закону:

x(t) = Bt + Acos ωt . Найдите

проекцию скорости Vx (t) .

 

 

 

 

Решение. По определению: Vx =

dx

. Вычисляем производную:

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vx =

dx

= x' = (Bt + Acos ωt)' = B Aωsin ωt .

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

3.

Материальная точка движется вдоль оси x по закону:

x(t) = At + B sin ωt . Найдите

проекцию ускорения ax (t) в зависимости от времени.

 

Решение. По определению: Vx =

dx

, ax =

dVx

. Вычисляем:

 

dt

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

Vx = x' = A + Bωcos ωt , ax = ( A + Bωcos ωt)' = −Bω2 sin ωt .

5.

Задан закон движения частицы в плоскости xy : rr = At i + Bt 2 j . Найдите модуль

вектора ускорения a(t) .

 

 

 

 

3

Решение. По определению: υr = ddtr , ar = ddtυ . Вычисляем производные:

r

j)'= A i + 2Bt j ,

r

= ( A i + 2Bt j)' = 2Bj

υ = ( At i + Bt 2

a

азатем модуль вектора ускорения: a =| a |= 2B .

7.Материальная точка движется вдоль оси x так, что Vx = At 2 . В начальный момент времени координата точки x(0) = B . Найдите x(t) .

Решение. По определению: Vx = dxdt . В данной задаче Vx = At 2 , поэтому:

dxdt = At 2

-это дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции времени x(t) . Для того, чтобы решить это уравнение, сначала «разделим переменные»:

dx = At 2 dt

(левая часть зависит только от x , а правая – только от t ), а затем проинтегрируем:

dx = At 2 dt .

Вычисляя интегралы, получим

x = A3 t 3 +C ,

где C - произвольная постоянная, которую найдем условия x(0) = B : x(0) = A3 t 3 +C t=0 = C .

Итак, C = B и x = A3 t 3 + B .

9. Материальная точка движется вдоль оси x так, что Vx = A t . В начальный момент времени координата точки x(0) = 0 . Найдите x(t) .

Решение. По определению: Vx = dxdt . В данной задаче Vx = A t , поэтому:

 

dx

= A

t .

 

dt

 

 

 

Делим переменные:

 

 

 

dx = A

tdt

Интегрируем:

 

 

dx = A

tdt .

Получаем

 

 

x = 23 At 3 / 2 +C .

Постоянную интегрирования C находим из начальных условий:

x(0) = 0 = C .

4

Итак, x = 23 At 3 / 2 .

11. Материальная точка движется вдоль оси x так, что ax = −A υx . В начальный момент времени υx (0) = υ0 . Найдите υx (t) .

Решение. По определению: ax = dVdtx . Поэтому:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dυx

 

= −A υx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделяем переменные:

 

 

 

 

dυx

 

= −Adt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируем:

 

 

 

dυx

 

= −Adt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем:

 

 

 

 

2υ1x/ 2

 

= −At +C .

 

 

 

 

 

 

Из начальных условий υx (0) = υ0

следует: 2υ10/ 2 = C . Итак:

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

A

2

 

 

 

 

 

2υx

= −At + 2υ0

и υx

= υ0

 

t .

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Материальная точка движется в плоскости

 

 

 

r

 

i + Bt j . Извест-

xy так, что υ = At 2

но, что rr(0) = C

 

. Найдите rr(t), υ(t), ax (t), a(t) , уравнение траектории.

 

j

 

 

 

r

 

dυ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. По определению: a

=

 

.

 

Поэтому:

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

dυ

 

 

2

 

r

 

r

 

r

 

r

 

 

 

 

 

a =

 

= ( At

 

i

+ Bt

j)' = 2At i + B

j ,

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

ax = 2At ,

 

 

 

a =| ar |= (2At)2 + B2 ,

 

По определению: υr = ddtr . Следовательно:

dr = υrdt = ( At 2 i + Bt j)dt ,

dr = ( At 2 i + Bt j)dt .

После интегрирования получим:

r = A3 t 3 ir + B2 t 2 rj + Dr .

5

Из условия rr(0) = C j найдем: D = C j . Следовательно:

 

 

A

 

3

r

 

B

 

2

 

r

 

 

 

 

 

 

r =

 

t

 

i

+

 

t

 

+C

j .

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим проекции вектора r на координатные оси:

 

A

 

 

3

 

x =

 

 

t

 

 

3

 

.

 

 

 

 

 

B

 

 

2

 

y =

 

 

t

 

+C

2

 

 

 

 

 

 

 

Выражая из первого уравнения t и подставляя во второе, получим уравнение траектории:

y= B 3x 2 / 3 +C . 2 A