
КР1,23.10.2024, КТ-11, Погибельская / 1(примеры решений кинематики мат точки, лекция кин мат точки) / Кинематика мат точки(примеры решений)(очень полезно)
.pdf
1
Кинематика точки
|
Задачи |
|
|
|
|
|
(A, B, C – положительные постоянные, ex , ey , ez - орты осей X, Y и Z) |
||||
1. |
Материальная точка движется вдоль оси x по закону: |
x(t) = Bt + Acos ωt . Найдите про- |
|||
|
екцию скорости Vx (t) . |
|
|
|
|
2. |
Материальная точка движется вдоль оси x по закону: |
x(t) = At3 . Найдите проекцию ус- |
|||
|
корения ax (t) в зависимости от времени |
|
|
|
|
3. |
Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x(t) = At + B sin ωt . Найдите проек- |
||||
|
цию ускорения ax (t) в зависимости от времени. |
|
+C)ery . Найдите уравне- |
||
4. |
Задан закон движения частицы в плоскости xy : rr = Aterx +(Bt 2 |
||||
|
ние траектории y(x) . |
|
|
|
|
5. |
Задан закон движения частицы в плоскости xy : rr = Aterx + Bt 2 ery . Найдите модуль век- |
||||
|
тора ускорения a(t) . |
|
|
|
|
6. |
Задан закон движения частицы в плоскости xy : rr = At 2 erx + Btery . Найдите модуль векто- |
||||
|
ра скорости V (t) . |
|
|
|
|
7. |
Материальная точка движется вдоль оси x так, что Vx |
= At 2 . В начальный момент време- |
|||
|
ни координата точки x(0) = B . Найдите x(t) . |
|
|
|
|
8. |
Материальная точка движется вдоль оси x так, что Vx = At3 . В начальный момент вре- |
||||
|
мени координата точки x(0) = B . Найдите x(t) . |
|
|
|
|
9. |
Материальная точка движется вдоль оси x так, что Vx = A t . В начальный момент вре- |
||||
|
мени координата точки x(0) = 0 . Найдите x(t) . |
|
|
|
|
10. |
Материальная точка движется вдоль оси x так, что ax |
= At . В начальный момент време- |
|||
|
ни x(0) = 0 , Vx (0) = 0 . Найдите Vx (t), x(t) . |
|
|
|
|
11. |
Материальная точка движется вдоль оси x так, что ax = −A υx |
. В начальный момент |
|||
|
времени υx (0) = υ0 . Найдите υx (t) . |
|
|
|
|
12. |
Материальная точка движется вдоль оси x так, что ax |
= −AVx2 . В начальный момент вре- |
|||
|
мени Vx (0) =V0 . Найдите Vx (t) . |
|
r |
r |
r |
13. |
Материальная точка движется в плоскости |
|
|||
xy так, что υ = At |
2 ex + Btey . Известно, что |
||||
|
rr(0) = Cery . Найдите rr(t), υ(t), ax (t), a(t) , уравнение траектории. |
|
|
||
14. |
Материальная точка движется в плоскости |
xy так, что V = Aterx |
+ Bt 2 ery . Известно, что |
||
|
rr(0) =Crj . Найдите rr(t) . |
|
что V = Atir+ Brj . Известно, что |
||
15. |
Материальная точка движется в плоскости |
xy так, |
|||
|
rr(0) =C(ir+ j) . Найдите rr(t) . |
|
|
|
|
Ответы
1.Vx = B − Aωsin ωt
2.ax = 6At

2
3.ax = −Bω2 sin ωt
4.y = AB2 x2 +C
5.a(t) = 2B
6.V = (2At)2 + B2
7.x = A3 t 3 + B .
8.….
9.….
|
V |
|
|
V − |
At 2 |
|
10. |
x |
= |
|
|
||
|
||||||
|
|
|
0 |
2 |
11. Vx = |
|
|
V0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 + AV t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12. |
…. |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
r |
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
3 r |
|
|
2 |
r |
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
13. |
r |
= xex |
+ yey |
= |
|
|
|
|
t ex + |
|
|
t |
|
+C ey , |
V = |
Vx |
+Vy |
= ( At |
|
) |
|
+(Bt) |
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ax = |
dV |
x |
= 2At |
, a = ax2 |
+a2y = |
(2At)2 + B2 , |
|
B |
t 2 |
|
|
B |
|
3x |
2 / 3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y = |
|
|
+C = |
|
|
|
|
|
|
+C . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
||||||||
|
r |
|
|
At |
2 |
|
r |
|
|
|
|
Bt |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
14. |
r |
(t) = |
|
|
|
|
ex |
+ |
|
|
|
|
|
+C ey |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15. |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решения некоторых задач
1. |
Материальная точка движется вдоль оси x по закону: |
x(t) = Bt + Acos ωt . Найдите |
||||||
проекцию скорости Vx (t) . |
|
|
|
|
||||
Решение. По определению: Vx = |
dx |
. Вычисляем производную: |
|
|||||
dt |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Vx = |
dx |
= x' = (Bt + Acos ωt)' = B − Aωsin ωt . |
|||||
|
|
|||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
||
3. |
Материальная точка движется вдоль оси x по закону: |
x(t) = At + B sin ωt . Найдите |
||||||
проекцию ускорения ax (t) в зависимости от времени. |
|
|||||||
Решение. По определению: Vx = |
dx |
, ax = |
dVx |
. Вычисляем: |
|
|||
dt |
|
|
||||||
|
|
|
|
dt |
|
|||
|
Vx = x' = A + Bωcos ωt , ax = ( A + Bωcos ωt)' = −Bω2 sin ωt . |
|||||||
5. |
Задан закон движения частицы в плоскости xy : rr = At i + Bt 2 j . Найдите модуль |
|||||||
вектора ускорения a(t) . |
|
|
|
|

3
Решение. По определению: υr = ddtr , ar = ddtυ . Вычисляем производные:
r |
j)'= A i + 2Bt j , |
r |
= ( A i + 2Bt j)' = 2Bj |
υ = ( At i + Bt 2 |
a |
азатем модуль вектора ускорения: a =| a |= 2B .
7.Материальная точка движется вдоль оси x так, что Vx = At 2 . В начальный момент времени координата точки x(0) = B . Найдите x(t) .
Решение. По определению: Vx = dxdt . В данной задаче Vx = At 2 , поэтому:
dxdt = At 2
-это дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции времени x(t) . Для того, чтобы решить это уравнение, сначала «разделим переменные»:
dx = At 2 dt
(левая часть зависит только от x , а правая – только от t ), а затем проинтегрируем:
∫dx = ∫At 2 dt .
Вычисляя интегралы, получим
x = A3 t 3 +C ,
где C - произвольная постоянная, которую найдем условия x(0) = B : x(0) = A3 t 3 +C t=0 = C .
Итак, C = B и x = A3 t 3 + B .
9. Материальная точка движется вдоль оси x так, что Vx = A t . В начальный момент времени координата точки x(0) = 0 . Найдите x(t) .
Решение. По определению: Vx = dxdt . В данной задаче Vx = A t , поэтому:
|
dx |
= A |
t . |
|
dt |
||
|
|
|
|
Делим переменные: |
|
|
|
|
dx = A |
tdt |
|
Интегрируем: |
|
|
|
∫dx = ∫A |
tdt . |
||
Получаем |
|
|
x = 23 At 3 / 2 +C .
Постоянную интегрирования C находим из начальных условий:
x(0) = 0 = C .

4
Итак, x = 23 At 3 / 2 .
11. Материальная точка движется вдоль оси x так, что ax = −A υx . В начальный момент времени υx (0) = υ0 . Найдите υx (t) .
Решение. По определению: ax = dVdtx . Поэтому:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dυx |
|
= −A υx . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Разделяем переменные: |
|
|
|
|
dυx |
|
= −Adt . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
υx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интегрируем: |
|
|
|
∫ |
dυx |
|
= −∫Adt . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем: |
|
|
|
|
2υ1x/ 2 |
|
= −At +C . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из начальных условий υx (0) = υ0 |
следует: 2υ10/ 2 = C . Итак: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
A |
2 |
|
|
||
|
|
|
2υx |
= −At + 2υ0 |
и υx |
= υ0 |
− |
|
t . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Материальная точка движется в плоскости |
|
|
|
r |
|
i + Bt j . Извест- |
||||||||||||||||
xy так, что υ = At 2 |
||||||||||||||||||||||
но, что rr(0) = C |
|
. Найдите rr(t), υ(t), ax (t), a(t) , уравнение траектории. |
|
|||||||||||||||||||
j |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
dυ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. По определению: a |
= |
|
. |
|
Поэтому: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
dυ |
|
|
2 |
|
r |
|
r |
|
r |
|
r |
|
||||
|
|
|
|
a = |
|
= ( At |
|
i |
+ Bt |
j)' = 2At i + B |
j , |
|
||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
ax = 2At , |
|
|
|
a =| ar |= (2At)2 + B2 , |
|
По определению: υr = ddtr . Следовательно:
dr = υrdt = ( At 2 i + Bt j)dt ,
∫dr = ∫( At 2 i + Bt j)dt .
После интегрирования получим:
r = A3 t 3 ir + B2 t 2 rj + Dr .

5
Из условия rr(0) = C j найдем: D = C j . Следовательно:
|
|
A |
|
3 |
r |
|
B |
|
2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
||||||
r = |
|
t |
|
i |
+ |
|
t |
|
+C |
j . |
|
3 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим проекции вектора r на координатные оси:
|
A |
|
|
3 |
|
x = |
|
|
t |
|
|
3 |
|
. |
|||
|
|
|
|
||
|
B |
|
|
2 |
|
y = |
|
|
t |
|
+C |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Выражая из первого уравнения t и подставляя во второе, получим уравнение траектории:
y= B 3x 2 / 3 +C . 2 A