№78
В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак непрерывно подается вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько соли в баке останется через час?
Прислано: the.sentinel.ua
Примем за независимое
переменное величину времени
,
за искомую функцию — количество соли
в баке в момент времени
после
начала опыта:
.
Найдем, на сколько изменится количество
соли в сосуде за промежуток времени от
момента
до
момента
.
В одну минуту вытекает 5 литров раствора,
а в
минут
-
литров
раствора. Без учета перемешивания с
водой вытекает
кг
соли, с учетом -
,
где
при
.
Найдем приращение количества
соли за это время:
.
Разделим на
и
перейдем к пределу при
:
Имеем дифференциальное
уравнение
.
Решая его, получим:
.
Используя начальное условие
полагаем
.
Значит, искомая функция представляется
как
.
При
в
сосуде будет
кг
соли.