Задачи09_1

1

аниченноеОгр

грань.(нижняя)Верхняямножество.снизу)

лиЯвляется.чЗ

íî

âîåñ

2 3

Свойсточная Т

n

−

n N

{(снизу)?−n) } n N

(аксиоsup xN

inf

xN

åñëè:,

.

à)

1)n

N

ижняя) (сверху,

;вещественных

,граньмножества.б)ху;лнотысверпоымíма)верхняяограниченНай

чисел.

{

}

{

}

xN =

N

;

á)

xN =

N

2

4

Метод

N2+9

2n

..индукциинеравенство:матическойазатьматеа)Док

суммыпоîперщью. . . û

−

<

1 +

+

+ . . . +

> √n

n

2

1

·

3

·

·

2N

1

1

1

1

1

2

4

äàхмето

àòåìì

îéатическ;б)

èí

ó

àçêдокции

äëÿ.ìóëó)î(àòü

2N

√

√

√

√N

≥

2N+1

2

3

З5. Бесконечноч . Справедлималаясправедмалойи бесконечноn членовутвервательностьждение:геб льшаятрическпоследовательностьой (ари мельностиическ.ой) пðогрессии.

онечно

àòîã

ëüê

когдаогда,

{xN} являетсмалая?бес

.етс ЯвпримЕссвязи

òîâî,ëèпоследли

азать,

противном{|xNслучае|} бескпривестионечно контр-

.76

СходящаясТеоремаВернопосли,ледбесконечночтоватееслипоследовательностьбольшой.ибеск.малойn

..большойльностейонечноледоватебеск

xN

= n(−1)

ведливотожСпр

веря?ждение:òхлидиу

{xN}

частьцелаяитодится,х

{[xN]}

{xN} сходитс

Найтитольк

тогда,

îãäà

õ

òñÿ

тогда

чтоазать,Док

?

прительность

xN = q

N

{|xN|}N) бесконечно малая последова-

(èëè xN = nq

1)Ç ÷ .

предел:

|q| < 1.

3

lim

√

,

ãäå

a > 1;

2)

lim

√

;

a

n

n

n

N→∞ p

N→∞

α

p

α

. 13980

ìà ìåîðåЛеМонотонныеÒ

√

R

льности...йсяавенствахпоследовате.нерпоследовательностьдящсх.лиахльностиавая)гпереходе,нностиявляетследоватебдвухпредеограничпосмилиционерльноВыяснить,

Nlim

1 +

N

Nlim

N

= 0

→∞

→∞

1

1

1

xN =

√

+

√

+ . . . +

√

2

.(левая,онноймоноОкрестность

ïð

точки

2

3

N

лВерноЗ ч .

÷òî

любой окр стностиx.

точки

чиселиздно

x = 1 можно найти хотя бы

íèå. Ïïредел .ункции. Предеcos n,

гбесконде n åчностиN. . Бесконечный предел. Односторон-

ǫ − δ

X lim f (x) = +∞

→−∞

З4 Связьч . Найтиобычногоlim fпреде(x преде= : а)ла ункции и односторонних пределов.

X 1 0

∞

.

→ −

1

| LN X|

x

x ;

á)

ческими165. ПеречисОпредео лениеерлитьациямивести примеры. ла ункцииlimосновныетаких(1 +подвухнеопреде)ейнебеск. limонечноленности,2 малыхсвязанныеункцийс ари мети-

(четыре) X→0

|

|

X→1

X +X−2

ðèï

равен:

α(x) β(x)

x

a,

пределчто

lim

α(X)

..онечноститочкелбескпредевункцияв)ункциильныйдвум,линулю,яб)замечатеа)Являетса)ч .НепрерывностьВторой

.

. 87Ç1

→

X

A

β(X)

→

e

1/X

x

6= 0,

1

ïðè x 6= 0 x 6= 1,

y =

á) y =

LN |X|

точкеïðèнепрерывнойазрыва

(0

x = 0.

(0

x

= 0

21954320. СрКлассОсновныеТМонотонныеАриеореипыавнениеìКакпорточекэетичлэквивалентныхядкментарныхаяэбесколеизскиеприункциианныхтарныеечывностисвойства.малых:ункцииункцийункцийобрункцииx епрерывныхатнойб.малые.Непрерывность= 0.являетс.. болееункцииявысокогобескункций.онечно. ..

.высокогоболееэквивалентныемалой

.

порядка,

СравнВычислитьдвеxáå

X

− 2

èëè g(x) = ln x.

fсконечноx

Таблица6

→ 1

(

) = 2

2

X

−Например,1 x → 0.

áâíûå

малыхf (x) =ïðèsin x è g(x) = e

ч . Перечис.7Ç2

(три)пределоñ îстепеннонеопреде-показательноголенностиxсо→выражстепенью.0 ения.

1

SIN X

1

2

28. Определениеаписатьпроизводнойкасуравнениеxтель .к сательной к SINкривой.x

lim (ln x)

, lim

x

,

lim (cos x)

X→+∞

X→+0

X→0

ОпираясьИмеетс

ðàá

ëà

y = x3 в точкней, (1, 1).

2

-икуголкасанияобзорапро.хоградящая

Ç ÷ . Нкчерезблюараболынадатеча ь нахкорäèyтснат=я.вНайтиначалекооркоординатыасательная.Найтиточкиx + 3x + 4

y

x2

X

1 .

З31290. ТСвязьОпредеабчлица. Привестиизкнел основныхниеункцииерывностиоизводныхпримерна.элементопределение=. непрерывной,ди.+арныхеренцируе+произвоункцийномостидной,не.ди вычислить. еренцирупроизвоемойданнойднуюднойточ-

√3

3

лиЯвляетсяЗ ч .

X

X

4

X

à)

(sin x + cos x)e

1+X2

sin

3x x

x = x0

ункции:дляэкстремуматочкой

34 ПроизводныеНайтиy = xпроизвовысших3 + 3x2äíóþ+порядков3x,2009x =.-ãî 1ïîð; á)ÿäêày =

x2

2

1 ,

x

6= 0

,

x

= 0.

äëÿ sin

X

−

(0,

ïðè x = 0,

0

y = ln(1 + x)

точке x = 0

y = cos x

в точке x = π .

.

ТейлораВычислить:Формула.

остат чным членом в орме Пеано (Лагранжа)6

доВывеститочнточностью

;

á)

3

0, 005

√e

с точностью до 0, 01;

√8

Записжитьмногочленln(0, 9)

äî

10−3; ã) cos 1

очностью до 0, 05.

35. Формула Мàклоренаорму. лу Маклорена4 3

ункциидля

K.

x

+ 2x

+ x + 3

ïî

епеням

(x − 1)

y =

1

(èëè

y = eX,

y =

ln(1àçëî+ x), y

ïî= sinîðìó,ëåx y = cosМаклорена)x .

äî

1−X

.

o(xN ) ункцию:

y =

sin x

;

á) y =

(x2 − 1)2 − 1

рЗнаяЗ ч .

зложенияx

по ормупоследовательности:Маклоренадляx

ункций

y = f (x) è y =

gà)(x), íàписать разложение для ункции y = f (x)g(x):

á f (x) = eX

g(x) = sin x,

o(x4);

X

3

азложивf (x) = eïî,

g(ормулеx) = ln(1Маклорена,+ x o(xункцию.)

ункциялиубывающиеЯвляетсяВозрастающие36.

ункции.

y = x2eX,

найти y(2008)(0).

y = f (x)

монотон

возрастающей

(−∞; +∞):

Найтиà) f (x)наибольший;= x + sin x

á)÷ëåíf (x) = [x].

√

N

n

.

ункции.

внизункцияб)лойчто;ûïóêвлениеИзвестно,

√n

37. Опреде xN = 2N+67

xN

=

(ââåðõ)

чизнить,касакое

сел больше:y = f (x)

больше:отрезкнавверхвыпукла

[a; b].

-Âûÿñ

f

A+2B

èëè

F (A)+2F B)

.

числаПусть

3

a

3

a+2b

a

b

положительны

= b.

×òî

3e

3

èëè

Ç ÷ . Являетс?яA B

ункцияли

6

e + 2e

выпуклой вниз (ââåðõ) íà (−∞; +∞):

à)

y = f (x

1

4

ательнойинтервалы

оТеорема8

√

2; á)

;îñикугравыпукл

â)

√

2

f (x) = x

f

(x) =

2

f (x) = x

x

Ç39. Признак÷ . Íàéточкиточкиперегибперегибадваждыункцдии: а)еренцируемой ункции1

.

2 .

y = 4x2 +

;

á)

y = e−X

x

y = x4

− 6x2 + 5x;

1

á)

y = e x .

Ньютонабинома

N

N

K K

ормулуобщую

P

Íàé

(a + b)N =

N CNK aK bN−K .

CN x

З ч . Доказ ть с п мощью ормулы (1 + x) =

K=0

K=0

1

павенствоСуммаНер

lim

(N+1)10

P