Osnovy_teorii_inzhenernogo_experimenta_Uch_posobie_26_04_02

центраций варьируемых факторов может быть представлена согласно

табл. 3.10.

(3.24), подставив в него значения отклика и численные значения пере-

0,086 а0 а1 0,48 а2 1,4 а3 0,2304 а4 1,96 а5 0,672 ;

0,081 а0 а1 0,24 а2 2,8 а3 0,0576 а4 7,84 а5 0,672 ;

0,087 а0 а1 0,24 а2 0 а3 0,0576 а4 0 а5 0 ;

0,082 а0 а1 0,24 а2 1,4 а3 0,0576 а4 1,96 а5 0,336 .

81

Следует обратить внимание, что сейчас в уравнениях (3.25) неиз-

вестными являются параметры a0, a1, a2, a3, a4 и a5. Этих неизвестных шесть, а уравнений девять. Но избыток уравнений позволяет получить более точную модель, усредняя результаты с помощью МНК.

Составим согласно МНК систему шести уравнений (по числу па-

раметров ao, a1,…, a5) минимизирующих выражение U (3.18) по каждому параметру. Решение этой системы в матричном виде записывается в ви-

де уравнения (3.22):

Z – матрица всех значений факторов z1, z2, z3, z4 и z5, использованных при проведении опытов:

Zт – матрица транспонированная по отношению к матрице Z,

Y – вектор-столбец опытных значений изучаемой величины y:

82

Прежде, чем приступать к решению матричного уравнения, насто-

ятельный совет повторить основы линейной алгебры, например по учеб-

нику [5].

Решим матричное уравнение A = (ZтZ)-1ZтY с использованием воз-

можностей программы Excel.

1.) Введѐм матрицу Z (в нашем случае еѐ размер 9×6) в диапазон ячеек, например, B4:G12.

2.) Введѐм матрицу Y (в нашем случае еѐ размер 9×1) в диапазон ячеек, например, I4:I12.

3.) Найдѐм транспонированную матрицу ZT. Для этого проделаем следующее:

выделим блок ячеек под транспонированную матрицу — размер мат-

рицы ZT, как известно, будет 6×9 — например, B16:J21;

нажмѐм кнопку Вставка функции на панели Стандартная. В по-

явившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Кате-

гория выберем Ссылки и массивы, а в рабочем поле Функция — имя функции ТРАНСП. Щѐлкнем на кнопке ОК;

появившееся диалоговое окно ТРАНСП отодвигаем мышью в сторо-

ну от исходной матрицы и вводим диапазон B4:G12 исходной мат-

рицы Z в рабочее поле Массив (указателем мыши принажатой левой кнопке). После этого нажимаем сочетание клавиш

CTRL+SHIFT+ENTER. Получим транспонированную матрицу:

83

4.) Найдѐм произведение матриц ZтY. Для этого:

выделим блок ячеек под результирующую матрицу (еѐ размер будет

6×1), например, блок K5:K10;

нажмѐм кнопку Вставка функции на панели Стандартная. В по-

явившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Кате-

гория выберем Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МУМНОЖ. Щѐлкнем на кнопке ОК;

появившееся диалоговое окно МУМНОЖ отодвигаем мышью в сто-

рону от исходных матриц и вводим в рабочее поле Массив 1 диапа-

зон транспонированной матрицы B16:J21 (указателем мыши при нажатой кнопке), а в рабочее поле Массив 2 — диапазон матрицы Y

—I4:I12. После этого нажимаем сочетание клавиш

CTRL+SHIFT+ENTER. Получим в диапазоне K5:K10 результат пе-

ремножения матриц:

5.) Найдѐм аналогично произведение матриц ZтZ.

выделим блок ячеек под результирующую матрицу (еѐ размер будет

6×6), например, блок M5:R10;

84

Далее действуем в порядке, изложенном в пункте 4. Получим в диа-

пазоне M5:R10 результат перемножения матриц:

6.) Находим обратную матрицу (ZтZ)-1. Для этого:

выделим блок ячеек (указателем мыши при нажатой кнопке) под ре-

зультирующую матрицу (еѐ размер будет 6×6), например, блок

M16:R21;

нажмѐм кнопку Вставка функции на панели Стандартная. В по-

явившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Кате-

гория выберем Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МОБР. Щѐлкнем на кнопке ОК;

появившееся диалоговое окно МОБР отодвигаем мышью в сторону от исходной матрицы и вводим в рабочее поле Массив диапазон ис-

ходной матрицы ZтZ — M5:R10. После этого нажимаем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. Получим в диапазоне M16:R21 об-

ратную матрицу:

7.) В заключение умножением матрицы (ZтZ)-1 на ZтY. Находим вектор A. Для этого:

выделим блок ячеек под результирующую матрицу (еѐ размер будет

6×1), например, блок B25:B30;

85

нажмѐм кнопку Вставка функции на панели Стандартная. В по-

явившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Кате-

гория выберем Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МУМНОЖ. Щѐлкнем на кнопке ОК;

появившееся диалоговое окно МУМНОЖ отодвигаем мышью в сто-

рону от исходных матриц и вводим в рабочее поле Массив 1 диапа-

зон обратной матрицы M16:R21 (указателем мыши при нажатой кнопке), а в рабочее поле Массив 2 — диапазон K5:K10 матрицы ZтY

После этого нажимаем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. По-

лучим в диапазоне B25:B30 столбец значений А:

Значит, искомая модель будет иметь следующий вид:

y = 0,263 – 0,965x1 – 0,178x2 + 0,807 x12 + 0,0264 x22 + 0,630x1x2.

Графический вид построенной модели представлен на рис. 3.10

ниже. Круговые зоны, проведѐнные белой линии на поверхности модели

— зоны оптимума, показывающие при каком содержании добавки 1 и

добавки 2 обеспечивается минимальный коэффициент трения. Для наглядности на нижней плоскости показаны проекции контурных линий.

Как видно, построенная эмпирическая модель даѐт наглядное представ-

ление о влияние добавок на коэффициент трения, обеспечиваемый пла-

стичным смазочным материалом ЦИАТИМ-201.

86

возможно только после проведения предварительных пассивных экспе-

риментов. Поэтому основная область применения планирования экспе-

римента — это планирование массовых однотипных испытаний, когда вид модели известен заранее. Ни один серьѐзный исследователь не начнѐт исследование неизвестного ранее явления или процесса с состав-

ления плана активного эксперимента, потому как отсутствует какая-

либо информация о принципиальном виде зависимости исследуемой фи-

зической величины от факторов. Само же применение МНК не зависит от того каким образом получали экспериментальные данные: на основе варьирования значений факторов по предварительно составленному плану, или случайным образом. То есть реализация МНК представляет собой независимую стадию активного эксперимента

После определения параметров модели (множественного уравне-

ния регрессии (3.15)), производят проверку значимости полученной мо-

дели, т. е. качества предсказания с помощью полученной модели резуль-

татов опытов. Эта проверка не отличается от таковой, изложенной для однофакторного эксперимента в п. 3.1.3, при этом в знаменателе выра-

жения для остаточной дисперсии (3.11) применительно к модели (3.15)

число параметров l = 6.

Для уточнения полученной модели полезно провести множествен-

ный корреляционный анализ, методические основы которого изложены в § 3.3 учебного пособия [3].

3.4. Контрольные вопросы к разделу 3

1.Что называется откликом?

2.В чѐм суть пассивного эксперимента?

3.В чѐм суть графоаналитического метода определения вида аппрок-

симирующей функции?

4.Что понимается под термином «регрессия»?

88

5.Какое требование к уравнению аппроксимирующей функции должно выполняться, чтобы было возможным проведение регрессионного анализа?

6.Выполнение какого условия обеспечивается при построении уравне-

ния аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов?

7.В каких координатах нужно перестроить функцию y = a0 +a1/x, что-

бы получить уравнение линейное по параметрам a0 и a1?

8.В каких координатах нужно перестроить функцию y = a0 +a1x2, что-

бы получить уравнение линейное по параметрам a0 и a1?

9.В каких координатах нужно перестроить функцию y aо xа1 , чтобы

получить уравнение линейное по параметрам a0 и a1?

10.В каких координатах нужно перестроить функцию y aоea1x , чтобы

получить уравнение линейное по параметрам a0 и a1?

11.Как оценить значимость полученной методом наименьших квадратов модели?

12.Запишите формулу для экспериментального значения F-критерия Фишера.

13.Что такое остаточная дисперсия?

14.Что характеризует коэффициент корреляции?

15.Как располагаются экспериментальные точки в координатах y – x,

если коэффициент корреляции случайных величин y и x равен 1.

16.Как располагается линия регрессии у по x по отношению к линии ре-

грессии x по у?

17.В чѐм преимущество активного эксперимента по сравнению с пас-

сивным?

18.Чем определяется число уровней для каждого фактора при составле-

нии плана эксперимента?

19.Дайте определение рототабельности плана.

89

20.Изобразите план эксперимента для модели в виде гиперболоида.

21.В чѐм преимущество ненасыщенных планов по сравнению с насы-

щенными?

90