Osnovy_teorii_inzhenernogo_experimenta_Uch_posobie_26_04_02

Как видно, решают те же задачи, что и при пассивном экспери-

менте, однако добавляется задача составления плана. План эксперимен-

та — совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. При этом последовательность решения этих задач несколько иная. Если при проведении пассивного эксперимента основ-

ная аналитическая работа проходит после проведения эксперимента, и

связана она с обработкой полученных данных, то в активном экспери-

менте большой объѐм аналитической работы проводится до эксперимен-

та, и начинают еѐ с установления вида аппроксимирующей функции.

Рассмотрим в качестве примера простейший случай, когда иссле-

дуемая физическая величина зависит от двух факторов, т. е. является функцией двух переменных y = f(x1, x2).

Для того, чтобы предложить вид аппроксимирующей функции обычно анализируют имеющиеся данные ранее проведѐнных экспери-

ментов, например, в научной литературе. Как правило, можно найти ин-

формацию по однофакторным зависимостям: y = f(x1) и y = f(x2). По виду однофакторных зависимостей можно предложить вид функции y = f(x1, x2).

Так как любую функцию y = f(x1, x2, …, xk) можно представить в виде многочлена, то чаще всего и используют описания функций в виде многочлена соответствующей степени. Тот факт, что модели в виде мно-

гочлена не бывают компактными, с развитием вычислительной техники не имеет решающего значения.

Если предварительный анализ показал, что

1. Функции y = f(x1) и y = f(x2) линейные, то аппроксимирующую функцию y = f(x1, x2) можно описать моделью:

в виде плоскости

или в виде гиперболоида

71

(3.14)

2. Функции y = f(x1) и y = f(x2) имеют вид кривых постоянной по знаку кривизны (окружности, эллипсы, гиперболы, параболы), тогда ап-

проксимирующую функцию y = f(x1, x2) можно описать моделью второго порядка:

y ao a1 x1 a2 x2 a3 x1 x2 a4 x12 a5 x22 . (3.15)

3. Функции y = f(x1) и y = f(x2) имеют вид кривых разной по знаку кривизны, тогда аппроксимирующую функцию представляют многочле-

ном степени большей 2.

На практике в подавляющем большинстве случаев обходятся мо-

делями в виде плоскости (3.13), гиперболоида (3.14) и моделью второго порядка (3.15).

Очевидно, что минимальное количество необходимых опытов (а,

значит, и уравнений) для определения параметров aо, a1, …, ak выбран-

ной модели зависит от количества этих параметров (табл. 3.8).

Таблица 3.8 Необходимое число опытов в зависимости от вида выбранной модели

После выбранного уравнения аппроксимирующей функции при-

ступают к составлению плана эксперимента.

72

Сначала определяется число уровней для каждого фактора, т. е.

число значений, которые будет принимать каждый фактор в экспери-

ментах. Очевидно, что число уровней определяется порядком модели,

например, для моделей в виде плоскости или гиперболоида число уров-

ней равно 2 (прямая линия определяется двумя точкам), а для модели второго порядка число уровней равно 3 (минимальное количество точек для определения кривой второго порядка).

Затем определяют нулевую точку, т. е. точку относительно кото-

рой факторы будут изменять своѐ значение в опытах и диапазон варьи-

рования факторов. Обычно, если функция отклика y = f(x1, x2) имеет экс-

тремум, то нулевую точку стараются принять ближе к экстремуму. Если же таковой отсутствует, то за нулевую точку принимают просто центр локализованной области, ограниченной диапазоном варьирования фак-

торов. Диапазон варьирования определяется той областью, которая ин-

тересна по тем или иным причинам экспериментатору. Сверху величина фактора ограничена областью определения фактора, а снизу – величиной ошибки фиксирования данного фактора. Например, если цена деления прибора, показывающего частоту вращения шпинделя машины трения равна 10 об/мин, то неразумно назначать диапазон варьирования равным

10 об/мин.

Для двух и трѐхфакторных экспериментов удобно представлять планы графически в координатах факторов x1 и x2 или x1, x2 и x3 соответ-

ственно. Одно из желательных требований к планам — рототабель-

ность плана. Рототабельность плана обеспечивается, если точки, со-

ответствующие опытам, находятся в пространстве факторов на рав-

ном расстоянии друг от друга и равных расстояниях от центра (нуле-

вой точки). Когда говорят о равных расстояниях, то подразумевают, что по осям откладываются кодированные значения факторов:

73

xi xo , xi

xi

где xi – кодированное значение фактора; xo – нулевой уровень; xi – те-

кущее значение фактора; xi – интервал варьирования фактора xi.

Применительно к некодированным значениям рототабельность плана означает, что уровни каждого фактора расположены симметрично отно-

сительно центра плана, однако такие планы графически ненаглядны.

На рис. 3.7 представлен возможный план для моделей в виде плос-

кости и гиперболоида, предполагающий постановку четырѐх опытов 1,

2, 3 и 4. Для модели в виде гиперболоида такой план насыщенный, т. е.

количество опытов равно количеству параметров модели (см. табл. 3.6).

Для модели же в виде плоскости такой план ненасыщенный, так как ко-

личество опытов (четыре) превышает число параметров (три). В прин-

ципе для модели в виде плоскости можно отказаться от одного из четы-

рѐх опытов, например, 3-го, но тогда план становится нерототабельным,

т. е. неравноточным по разным направлениям.

Рис. 3.7. План эксперимента для моделей в виде плоскости и гиперболоида: курсивом обозначены номера опытов, обычным шрифтом внутри квадрата – значения кодированных факторов

Насыщенные планы не позволяют усреднять погрешности экспе-

риментальных данных, тогда как ненасыщенные планы за счѐт избыточ-

ности количества опытов позволяют производить такое усреднение.

74

Для возможности усреднения погрешностей как при использова-

нии насыщенных, так и ненасыщенных планов, когда позволяют условия эксперимента, следует повторять все опыты плана 2–3 раза.

Для модели 2-го порядка — y ao a1x1 a2 x2 a3x1x2 a4 x12 a5 x22

— возможные планы представлены на рис. 3.5.

Для получения модели второго порядка каждый фактор необходи-

мо варьировать на 3-х уровнях. Поэтому к плану, представленному на рис. 3.7 добавляются ещѐ пять опытов: 5, 6, 7, 8, располагающиеся в се-

рединах сторон квадрата, и обязательно точку 9 в центре квадрата. В

простейшем случае получается план как показано на рис. 3.8 (а). Для придания плану рототабельности точки 5, 6, 7, 8 сдвигаются от центра на расстояние α, называемое звѐздным плечом. Такой план будет являть-

ся ненасыщенным. При этом, если предполагается, что в точке 9 реали-

зуется экстремум функции отклика, то рекомендуется ставить в этой точке не один, а несколько дублирующих экспериментов.

а б

Рис. 3.8. Планы нерототабелльный (а) и рототабельный (б) для модели второго порядка

Следует помнить, что хотя теоретически строгий рототабельный план лучше, чем нерототабельный, а насыщенный план экономичнее,

чем ненасыщенный, их нельзя рассматривать как единственно возмож-

ные решения. К таким решениям следует стремиться, но в зависимости

75

от целей и условий эксперимента можно, например, предпочесть нерототабельный план на рис. 3.8 (а) рототабельному (рис. 3.8, б) и т. д.

Допустим, в соответствии с планом рис. 3.8 (б) провели опыты и

где первый индекс в обозначениях факторов означает номер опыта, а

второй индекс – номер фактора.

Подставим значения факторов в модель (3.15), получим 9 уравне-

ний:

y1 ao a1x11 a2 x12 a3 x11x12 a4 x112 a5 x122 ;

y2 ao a1x21 a2 x22 a3 x21x22 a4 x212 a5 x222 ;

.

.

y9 ao a1x91 a2 x91 a3 x91x92 a4 x912 a5 x922 ,

где yi – значение функции отклика после подстановки в (3.16) значений факторов, применяемых в i-м опыте.

76

Последняя система в матричной форме записывается таким обра-

Z – матрица всех значений факторов z1, z2, z3, z4 и z5, использованных при проведении опытов:

Zт – матрица транспонированная по отношению к матрице Z,

Y – вектор-столбец опытных значений изучаемой величины y:

y1 y2 y3

y4 Y y5 .

y6 y7 y8 y9

78

Для решения системы (3.15) умножим выражение (3.18) слева на матрицу обратную матрице (ZтZ). Получим:

(ZтZ)-1(ZтZ)A = (ZтZ)-1ZтY.

Так как (ZтZ)-1(ZтZ) = E, где E – единичная матрица, решение системы

Матричное уравнение (3.22) легко решается в программе Excel.

Пример. Необходимо построить эмпирическую модель, описыва-

ющую влияние порошковых антифрикционных добавок (условно: до-

бавка 1 и добавка 2) в пластичный смазочный материал ЦИАТИМ-201

на коэффициент трения стали по стали.

Решение. Предварительные эксперименты показывают, что зави-

симость коэффициента трения, обеспечиваемого смазкой ЦИАТИМ-201,

от содержания в смазке каждой из добавок — нелинейная. Поэтому в

качестве модели функции отклика возьмѐм функцию второго порядка:

где у — коэффициент трения;

х1 – концентрация добавки 1 (масс. %);

х2 – концентрация добавки 2 (масс. %).

Для построения рототабельного плана второго порядка воспользу-

емся схемой рисунка, представленного ниже. По осям координат на схе-

ме отложены значения варьируемых факторов х1 и х2 в условных едини-

цах. Причѐм точки -1 и +1 соответствуют значениям x1min и x1max по оси х1 и значениям x2min и x2max по оси х2, при этом точка 0 (начало коорди-

Рис. 3.9. Схема рототабельного плана второго порядка

В табл.3.9 показана схема варьирования факторов в опытах. Зна-

чения +1; –1; +1,4 и –1,4 соответствуют условному расстоянию точек на схеме рисунка от центра (т. 0).

Предварительные эксперименты показывают, что оптимальное значение концентрации добавки 1 лежит в диапазоне 0…0,5 мас.% и

добавки 2 — в диапазоне 0…2 мас.%. Тогда табл. 3.9 в значениях кон-

80