Osnovy_teorii_inzhenernogo_experimenta_Uch_posobie_26_04_02

точна модель, например, модель, описывающая результаты опытов на

5%-м уровне значимости более точная, чем модель, описывающая вы-

борку на 10%-м уровне значимости.

Для проверки значимости полученного уравнения регрессии ис-

пользуют F-критерий Фишера, который, как об этом уже подробно гово-

рилось в п. 2.2.1, представляет собой отношение дисперсий двух сравни-

ваемых выборок. В нашем случае с помощью F-критерия Фишера необ-

ходимо определить, во сколько раз уравнение регрессии предсказывает

результаты опытов лучше, чем среднее значение y . Поэтому экспери-

ментальное значение критерия Фишера запишем в следующем виде:

рис. 3.2), характеризующая разброс значений yi относительно среднего

где l – количество параметров (коэффициентов) в уравнении регрессии

(в нашем случае l = 2).

Необходимо ещѐ раз во избежание путаницы обратить внимание

на обозначения yi, y и yi , применяемые в формулах (3.10) и (3.11):

yi — значение ординаты i-й экспериментальной точки, т. е. эксперимен-

тальной точки с координатами (xi, yi);

62

yi — значения y, рассчитанные по модели y = b0 + b1x при подстановке в

неѐ значения xi, т. е. yi = y(xi);

y — среднее арифметическое значение всех ординат yi эксперименталь-

Следует несколько слов сказать об остаточной дисперсии Sост2 , так как она имеет большое значение в теории построения эмпирических за-

висимостей. В литературе можно встретить другие названия Sост2 : сумма квадратов остатков; остаточная сумма квадратов. Смысл остаточной дисперсии Sост2 понимается лучше, если сравнить эксперименты, состо-

ящие в многократном измерении одного и того же значения физической величины (см. разд. 2), с экспериментами по определению зависимости какой-либо физической величины от разных факторов. В эксперимен-

тах по многократному измерению одного и того же значения измеряе-

мой величины центром распределения полученных отсчѐтов является

63

Таблица 3.6 Табличная форма для вычисления общей и остаточной дисперсий

Тогда экспериментальное значение критерия Фишера примет сле-

дующее значение:

По табл. 2.5 для уровня значимости q = 5 % и числа степеней свободы v1 = n – 1 = 10 –1 = 9 и v2 = n – l = 10 – 2 = 8 найдѐм, что табличное значения критерия Фишера Fтабл = 3,39.

Так как Fэкс >> Fтабл, то полученное уравнение регрессии значимо описывает результаты эксперимента на уровне существенно меньше

5%, т. е. очень точно.

3.2.Основы корреляционного анализа. Коэффициент кор-

реляции

В отличие от математики, где чаще всего имеют дело с функцио-

нальными зависимостями, в соответствии с которыми между значения-

ми величин, находящихся в функциональной связи, имеет место одно-

значное соответствие, в технике при изучении различных явлений при-

65

ходится в большинстве случаев иметь дело со стохастическими (корре-

ляционными) зависимостями, когда каждому значению одной физиче-

ской величины (фактора) может соответствовать множество значений другой величины (отклика). При этом часто возникают ситуации, когда необходимо оценить, насколько сильна связь между физическими вели-

чинами. Распространѐнной мерой степени связи (зависимости одной от другой) между физическими величинами является коэффициент корре-

ляции.

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты группи-

рования экспериментальных точек вокруг прямой линии. Значение ко-

эффициента корреляции ρ лежит в следующем диапазоне5: –1 ≤ ρ ≤ 1

(рис. 3.4).

Рис. 3.4. Связь между случайными величинами x и y характеризуется коэффициентом корреляции: близким к нулю (а); бóльшим 0,7 (б); близким к –1 (в)

Когда коэффициент корреляции по абсолютной величине равен 1,

все точки располагаются точно на прямой линии, если абсолютная вели-

чина коэффициента корреляции больше 0,7, то считают, что между пе-

ременными y и x сильная корреляции, если коэффициент корреляции меньше 0,2, то – корреляция практически отсутствует (рис. 3.4).

Особенность МНК в том, что, он оперирует не с (кратчайшими)

расстояниями экспериментальных точек до линии регрессии, а с их от-

5 ρ > 0, когда с увеличением x значение y имеет тенденцию к увеличению; ρ < 0, когда с увеличением x значение y имеет тенденцию к уменьшению

66

клонениями вдоль оси y или x. Расстояния, как известно, определяются по перпендикулярам, опущенным из точек на предполагаемую линию регрессии, а отклонения вдоль осей координат — отрезками, проведѐн-

ными из точек до линии регрессии параллельно оси y или x соответ-

ственно. Поэтому, если по имеющейся выборке значения построить ре-

грессию y по x, выражаемую уравнением y = b0 + b1x, а затем – x по y,

выражаемую уравнением x = a0 + a1y, то эти две прямые не совпадут, а

образуют «ножницы»6 (рис. 3.5), причѐм всегда регрессия x по y идѐт круче регрессии y по x. Если уравнение x = a0 + a1y представить в более

6 При малом коэффициенте корреляции эти «ножницы» становятся очень большими, и считается, что МНК становится неэффективным. В этом случае целесообразно переходить от МНК к методу ортогональной регрессии.

67

Коэффициент b0' регрессии x по y определим с учѐтом того, что линии регрессии проходят через центр тяжести поля экспериментальных точек.

Центр тяжести имеет координаты x, y , где x — среднее арифметиче-

ское значение абсцисс экспериментальных точек, а y — среднее ариф-

метическое значение ординат экспериментальных точек.

Тогда, подставив значения x = –1,42 и y = 1,66 в уравнение регрессии x

по y: y bo' b1' x , то получим:

1,66 bo' 0,651 ( 1,42),

69

Отсюда bo' 1,66 0,651 1,42 0,736. А значит уравнение регрессии x по y запишется в виде:

y = 0,736 – 0,651x.

Как видно из рис. 3.6, две регрессии образуют не очень большие

«ножницы», что объясняется очень высоким коэффициентом корреля-

ции экспериментальных данных.

Важно отметить, что изложенную методику проверки адекватно-

сти модели на основе F-критерия Фишера, можно с таким же успехом использовать и применительно к моделям, полученным графоаналити-

ческим методом (в нашем случае это модель (3.6)), только предвари-

тельно их надо преобразовать к линейному виду.

3.3. Активный эксперимент

Недостаток пассивного эксперимента – резкое возрастание коли-

чества опытов с ростом числа факторов, поэтому, когда требуется оце-

нить влияние двух и более факторов на интересующую исследователя физическую величину, прибегают к помощи активного эксперимента.

Вопросами эффективной постановки активного эксперимента за-

нимается теория планирования эксперимента.

При проведении аналитической части активного эксперимента решаются следующие задачи:

1.Установления вида аппроксимирующей функции,

2.Составления плана эксперимента,

апосле проведения собственно экспериментальной части ещѐ и

3.Расчѐта параметров аппроксимирующей функции,

4.Определения погрешности предсказания построенным уравне-

нием аппроксимирующей функции (уравнением регрессии) ре-

зультатов опытов.

70