Osnovy_teorii_inzhenernogo_experimenta_Uch_posobie_26_04_02

В качестве математической основы обработки результатов как пассивных, так и активных экспериментов используют регрессионный анализ.

3.1. Пассивный эксперимент

Процесс обработки экспериментальных данных, полученных с помощью пассивного (однофакторного) эксперимента состоит из последовательного решения трѐх задач:

1.Установления вида статистической зависимости (аппроксимирующей функции),

2.Расчѐта параметров аппроксимирующей функции,

3.Определения погрешности предсказания построенным уравнением аппроксимирующей функции (уравнением регрессии) результатов опытов.

Задача № 1(установление вида аппроксимирующей функции) – неформализуемая, т. е. еѐ выполнение зависит от опыта и интуиции инженера.

Расчѐт же параметров аппроксимирующей функции (задача №2) и определение погрешностей предсказания построенным уравнением аппроксимирующей функции результатов опытов (задача №3) – операции чисто формальные, которые в настоящее время во многих случаях легче осуществлять на компьютере.

Таким образом, решение задачи №1 — самый сложный этап. Как только будет определѐн вид аппроксимирующей функции, нахождение еѐ параметров и оценка точности предсказания с еѐ помощью результатов опытов становятся «делом техники».

51

3.1.1. Решение задачи установления вида аппроксимирующей функ-

ции

В большинстве случаев можно определить вид зависимости, поль-

зуясь графоаналитическим методом. На графике однозначно можно опознать только прямую линию. Поэтому суть графоаналитического ме-

тода в том, чтобы изменением шкал на осях координат «выпрямить» имеющуюся статистическую зависимость.

Например, если предполагаемая аппроксимирующая функция – степенная y aо xа1 (рис. 3.1, а), достаточно нанести экспериментальные точки на график с логарифмическими шкалами (рис. 3.1, б), чтобы это проверить. Если точки сгруппируются у прямой линии как на рис. 3.1 (б), значит предположение верно.

Рис.3.1. Перестроение степенной зависимости (а) в координатах с логарифмическими шкалами (б)

В табл. 3.1 приведены примеры преобразования координат, чтобы

различные аппроксимирующие функции приняли линейный вид.

52

Таблица 3.1 Примеры функций и линеаризующих преобразований координат

3.1.2. Решение задачи расчѐта параметров аппроксимирующей

функции. Регрессионный анализ. Метод наименьших квадратов

(МНК)

Для расчѐта параметров аппроксимирующей функции необходимо сначала через нанесѐнную на график совокупность точек провести ли-

нию.

В большинстве случаев достаточно применить для проведения ли-

нии какой-нибудь простейший экспресс-метод, например, метод обве-

дения контура (вся полоса рассеяния точек обводится плавным конту-

ром и проводится на глаз осевая линия контура (рис. 3.1, б) или метод медианных центров.

При этом параметры аппроксимирующей функции рассчитывают-

ся на примере рис. 3.1 следующим образом: показатель степени a1 опре-

деляется по наклону прямой (рис. 3.1, б), а именно по формуле:

После этого проверяют значимость полученного уравнения (см. ниже). Если уровень значимости удовлетворяет исследователя, то на этом обработку данных заканчивают.

В более сложных случаях прибегают к регрессионному анализу.

Регрессионный анализ — статистический метод анализа и обработки экспериментальных данных для получения формальных зависимостей, связывающих значение выходной переменной (отклика) объекта с факторами. Метод регрессионного анализа был разработан на рубеже 18 и 19 веков Лежандром и Гауссом и получил также второе название — ме-

тод наименьших квадратов (МНК).

Термин «регрессия» (от английского «regression» — возвращение к предыдущему состоянию, на более раннюю стадию развития) ввѐл английский статистик Ф. Гамильтон применительно к частной задаче, в которой исследовалось влияние на рост детей роста их предков; такую модель Гамильтон назвал регрессией, как описывающую движение назад по генеалогическому дереву (т. е. противоположное движение вперѐд — прогрессу). В настоящее время термин «регрессия» понимается в широком смысле, как любая статистическая связь между случайными величинами.

Для проведения регрессионного анализа должно выполняться одно требование к форме уравнения аппроксимирующей функции (уравнения регрессии): уравнение регрессии должно быть линейным по пара-

метрам или допускать возможность линеаризации. В табл. 3.2 представлены примеры линеаризующих преобразований исходных функций,

т. е. когда исходно нелинейные по параметрам a0 и a1 функции преобразуются в функции линейные по параметрам.

Рассмотрим для простоты в качестве примера простейший случай: пусть в результате предварительного анализа (задача №1) в качестве аппроксимирующей функции выбрана линейная модель y = b0 + b1x. Оче-

54

видно, что между рассчитанными по модели значениями yi и экспери-

ментальными отсчѐтами yi будут наблюдаться отклонения i yi yi

(рис. 3.2).

Таблица 3.2 Примеры замены переменных в уравнениях исходных (нелинейных) функций для

получения уравнений удобных для применения МНК

Рис.3.2. Отклонения экспериментальных точек относительно линии регрессии

Цель МНК: выбрать параметры уравнения регрессии (в нашем

случае – bо и b1) таким образом, чтобы выполнялось условие:

где i — значение отклонения по оси ординат i-й экспериментальной точки от линии регрессии, описываемой в нашем случае уравнением y = b0 + b1x;

yi — значения y, рассчитанные по модели y = b0 + b1x при подстановке в

неѐ значения xi, т. е. yi = y(xi);

n — количество экспериментальных точек.

Для выполнения условия (3.1) необходимо вычислить значения коэффициентов bо и b1, минимизирующих сумму отклонений U. Для это-

го, как известно из математического анализа, необходимо найти частные производные функции U по коэффициентам bо и b1 решить систему уравнений:

U 0,bo

U 0. (3.2)

b1

Подставим в (3.2) выражение (3.1), получим:

Решим полученную систему, пользуясь правилом Крамера, опу-

стив для краткости индексы при знаке суммы Σ. Тогда, имеем:

Для определения вида исходной функции параметры b0 и b1,

найденные по формулам (3.3) и (3.4), затем с помощью соотношений,

указанных в табл. 3.2, преобразуются обратно в параметры a0 и a1 ис-

ходной функции.

Следует отметить ещѐ раз, что для проведения регрессионного анализа функция должна быть линейная по параметрам. Например, про-

цедура проведения регрессионного анализа одинакова для функций y = b0 + b1x и y = b0 + b1x2. Эти функции линейные по параметрам b0 и b1, при этом последнее уравнение нелинейное по переменной x, но его можно привести к первому, если произвести подстановку x1 = x2.

Теоретически МНК применим к уравнениям с любым количеством параметров (если уравнение — линейное по этим параметрам), т. е.

можно найти, к примеру, параметры квадратичной регрессии (уравнение с тремя параметрами)

y= b0 + b1x + b2x2

ипараметры кубической регрессии (уравнение с четырьмя параметрами)

y = b0 + b1x + b2x2 + b3x3.

Если раньше уже для кубической регрессии из-за резкого возрастания трудоѐмкости расчѐтов их трудно было производить вручную, то в настоящее время современные программные продукты для обработки больших массивов данных предлагают инструменты подбора аппрокси-

мирующих функций с автоматическим определением их параметров на основе МНК.

Пример. Необходимо установить вид аппроксимирующей функции графоаналитическим методом и МНК по результатам исследования вли-

яния содержания воды в смазочном масле на срок службы подшипника скольжения. Результаты эксперимента приведены в табл. 3.4.

Решение. Нанесѐм экспериментальные точки (по табл. 3.4) на гра-

фик рис. 3.3 (а). Как видно, имеет место выраженная нелинейная зави-

58

Если по осям абсцисс и ординат выдержан одинаковый масштаб,

то параметр a1 можно найти просто по тангенсу угла наклона линии графика к оси абсцисс, для этого можно просто измерить транспортиром угол в градусах.

Постоянную ao определим по формуле:

Значит, по результатам графоаналитического анализа аналитиче-

ский вид аппроксимирующей функции будет выглядеть следующим об-

разом:

дѐм замену переменных: y = lgY и x = lgX. При этом степенная функция

преобразуется в линейную: y = b0 + b1x.

Найдѐм параметры b0 и b1 новой (линейной) функции по выраже-

ниям (3.3) и (3.4), предварительно рассчитав суммы, стоящие в этих вы-

ражениях, в табличной форме (табл. 3.5).

Таблица 3.5

Табличная форма обработки экспериментальных данных