Osnovy_teorii_inzhenernogo_experimenta_Uch_posobie_26_04_02

Если Fэкс < Fтабл, то нулевая гипотеза для заданного уровня значимости правомерна. Если Fэкс > Fтабл, то правомерна гипотеза H1, т. е. нулевую гипотезу отвергают.

Пример. В качестве исходных данных возьмѐм те же две выборки образцов бетона (табл. 2.4).

Выдвигаем нулевую гипотезу, что две партии бетона принадлежат одному и тому же замесу.

Таблица 2.5 F-распределение Фишера при уровне значимости q = 0,05 (значения критерия Fкр в

зависимости от чисел степеней свободы числителя (v1) и знаменателя (v2)

Таблица 2.6 F-распределение Фишера при уровне значимости q = 0,10 (значения критерия Fкр в

зависимости от чисел степеней свободы числителя (v1) и знаменателя (v2)

Рассчитываем дисперсии:

Для уровня значимости q = 0,1 и числа степеней свободы v = na + nb – 2 = 8 +14 – 2 = 20 табличное значение критерия Фишера Fтабл = 2,83 (табл.

2.3).

Так как Fэкс > Fтабл, то партии бетона принадлежат разным генеральным совокупностям, т. е. разным замесам.

2.2.2. Сравнение двух выборок с использованием непараметриче-

ских критериев

F-критерий Фишера и t-критерий Стьюдента являются параметри-

ческими критериями, т. е. они рассчитываются по специальным форму-

лам. Для того, чтобы использовать указанные критерии, необходимо,

чтобы сравниваемые выборки подчинялись нормальному закону распре-

деления. Однако, если выборки не подчиняются нормальному распреде-

лению, или нет уверенности, что они ему подчиняются, то тогда исполь-

зуют непараметрические критерии.

Кнепараметрическим критериям относятся, ранговые критерии:

T-критерий Вилкоксона;

U-критерий Манна-Уитни.

42

Таблица 2.7 Результаты обработки двух выборок для сравнения их по T-критерию Вилкоксона

Затем рассчитываем экспериментальное значение критерия Tэкс.

Для этого находим разности значений измерений в двух выборках и рас-

ставляем их по рангам. Ранг приписывается по модулю разности значе-

ний: самой маленькой (по абсолютной величине) разности приписывает-

ся ранг 1, а затем последовательно следующей по абсолютной величине разности приписывается ранг 2, затем 3 и т. д. Если разность равна нулю

(третья строка табл. 2.6), то эти разности в анализе не учитываются. Ес-

ли равные по модулю разности встречаются несколько раз, то их после-

довательные ранги складываются и делятся на число одинаковых разно-

стей, и найденное среднее арифметическое значение ранга приписывает-

ся каждой из одинаковых разностей. Например, в таблице встречаются три значения разности, равных –5, последовательно в порядке обнару-

жения им были присвоены ранги 4, 5 и 6, среднее арифметическое сум-

мы этих рангов равно 5, значит, всем трѐм разностям приписываем оди-

наковый ранг 5. Следующей по абсолютному значению разности (–6)

приписываем ранг 7, так как ранг 6 был уже занят одной из разностей,

равных –5.

44

Затем суммируем отдельно ранги плюсовых и минусовых разно-

стей. Из двух значений берут меньшее, это и будет искомым значением

Tэкс.

В нашем случае для положительных разностей сумма рангов равна

2, а для отрицательных — 34. Значит, Tэкс = 2.

По таблице критических значений критерия Вилкоксона (табл.

2.7) для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы v = n – 1 = 9 – 1 = 8 (число нулевых разностей равно 1) находим Tтабл = 4.

Так как Tэкс < Tтабл, то нулевую гипотезу отвергаем, значит, добав-

ка легирующего элемента влияет на твѐрдость алюминиевого сплава.

U-критерий Манна-Уитни. Проверка статистических гипотез по ранговому критерию Манна-Уитни является несколько более сложной процедурой, чем проверка с использованием W-критерия Вилкоксона,

однако критерий Манна-Уитни имеет то преимущество, что он может использоваться для сравнения выборок разного объѐма.

Объѐм выборочной совокупности меньшего объѐма всегда обозначают n1, а большего — n2, т. е. всегда n1 ≤ n2.

При использовании U-критерия Манна-Уитни после выдвижения нулевой гипотезы сравниваемые выборки объединяются в один ряд и в пределах этого единого ряда вариантам присваиваются ранги: самому маленькому значению варианты присваивается 1, а затем последова-

тельно в порядке возрастания вариант — 2, 3 и т. д.

Затем отдельно подсчитываются сумма рангов R1 для первой вы-

борки и отдельно сумму рангов R2 вариант второй выборки. После этого рассчитываются критерии U1 и U2:

45

Меньшее из вычисленных значений U1 и U2 и будет являться экс-

периментальным значением критерия Манна-Уитни Uэкс.

При использовании U-критерия Манна-Уитни возможны две ситу-

ации использования полученного значения Uэкс. В первой ситуации имеют дело с небольшими выборками: объѐм выборок не превышает 8,

т. е. n1 ≤ 8 и n2≤ 8. Во второй ситуации имеют дело с большими выбор-

ками, т. е. объѐмы выборочных совокупностей одной или обеих больше

8: либо n1 ≤ 8 и n2 > 8, либо n1 > 8 и n2 > 8. Различие в том, что в этих двух ситуациях пользуются разными таблицами. В первом случае по значениям n1, n2 и Uэкс из таблиц определяют вероятность Pтабл справед-

ливости нулевой гипотезы. Принято считать, что если найденное значе-

ние Pтабл > 0,05, то нулевая гипотеза подтверждается. Во втором случае по таблицам определяют критическое значения критерия Uтабл, при этом, если Uэкс ≤ Uтабл, то нулевая гипотеза отвергается, а если Uэкс > Uтабл, то нулевая гипотеза принимается.

Так как в большинстве случаев приходится иметь дело с малыми выборками, объясним суть методики проверки статистических гипотез с помощью U-критерия на примере сравнения двух выборок малого объ-

ѐма (n1 ≤ 8 и n2≤ 8).

Пример. Осуществлялась проверка принадлежности двух загото-

вок сплава одной марки, состоящего из двух фаз (α+β), одной и той же плавке. Проверку осуществляли подсчѐтом числа точек, из общего их количества, расположенного беспорядочно, но статистически равномер-

но, попавших на фазу β, при рассмотрении структуры сплава в микро-

скоп. Результаты проверки представлены в табл. 2.8.

Решение. Выдвигаем нулевую гипотезу: выборки 1 и 2 принадле-

жат одной генеральной совокупности, т. е. сплав, из которого изготовле-

ны две заготовки из одной и той же плавки. Производим ранжирование вариант в ряду, составленному из двух выборок, при этом ранг для зна-

46

чений, которые встречаются в этом ряду несколько раз, находился как

средний, т. е. сумма рангов делилась на число повторов.

Затем находим сумму рангов для каждой из выборок в отдельно-

сти:

R1 = 1,5 + 3 + 5 + 7 = 16,5;

R2 = 1,5 + 4 + 6 + 8 + 9 = 28,5.

Вычисляем значения U-критерия для каждой выборки:

Так как U1 < U2, то Uэкс = U1 = 6,5.

Разыскиваем нужную таблицу Манна-Уитни. В нашем случае это таблица для n2 = 5 (табл. 2.9).

По таблице с учѐтом того, что n1 = 4 и Uэкс = 6,5, находим интерпо-

ляцией, что вероятность справедливости нулевой гипотезы Pтабл = 0,242.

Так как 0,242 > 0,05, то нулевая гипотеза справедлива, т. е. заготовки из-

готовлены из сплава одной плавки.

47

2.3.Контрольные вопросы к разделу 2

1.Почему всегда необходимо проводить параллельные опыты (измере-

ния)?

2.Для чего требуется проводить многократные опыты в случае преоб-

ладания случайной погрешности?

3.Расскажите, каким образом определяют наличия промахом в выбор-

ке.

4.Почему очень важно, чтобы результаты выборки подчинялись нор-

мальному закону распределения?

5.При каком законе распределения случайной величины x для оценки погрешности ей определения можно использовать коэффициенты Стьюдента?

6.Почему указание погрешности случайной величины (при известном законе еѐ распределения) без доверительной вероятности лишено смысла?

7.Что такое статистическая гипотеза?

48

8.С помощью каких критериев можно определить, принадлежат ли две выборки одной генеральной совокупности или нет?

9.Чем отличаются параметрические критерии значимости статистиче-

ских гипотез от непараметрических?

10.На чѐм основано сравнение двух выборок с помощью t-критерия Стьюдента?

11.На чѐм основано сравнение двух выборок с помощью F-критерия Фишера?

12.В чѐм суть проверки статистических гипотез с помощью T-критерия

Вилкоксона?

13.В чѐм суть проверки статистических гипотез с помощью U-критерия

Манна-Уитни?

14.Перечислите основные этапы процедуры проверки статистических гипотез.

49

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ИССЛЕДУЕМОЙ

ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ ОТ ВНЕШНИХ ФАКТОРОВ

В экспериментах по определению зависимости исследуемой физи-

ческой величины от внешних факторов физическая величина — это за-

висимая переменная. И целью эксперимента является получение функ-

ций следующего вида: y = f(xi)

или

y = f(x1, x2, …, xn),

где y — исследуемая физическая величина, называемая откликом; x1, x2, …, xi, …, xn — факторы.

В зависимости от требуемого вида получаемой функции отклика экспериментальные (статистические) данные могут быть получены дву-

мя способами:

на основе пассивного (однофакторного) эксперимента,

с помощью активного (многофакторного) эксперимента.

Суть пассивного эксперимента — варьирование в экспериментах только значением одного фактора, другие же поддерживаются постоян-

ными. То есть, если физическая величина у зависит от факторов x1, x2 и x3, то для получения, например, функции y = f(x2), изменяют последова-

тельно в опытах значение фактора x2 и определяют соответствующие значения у, при этом факторы x1 = const и x3 = const.

Суть активных экспериментов – варьирование в экспериментах одновременно значениями всех факторов по определѐнному правилу. То есть, если физическая величина у зависит от факторов x1, x2 и x3, то в опытах варьируют одновременно значения x1, x2 и x3. При обработке по-

лученных экспериментальных данных получают функцию отклика y = f(x1, x2, x3).

50