Osnovy_teorii_inzhenernogo_experimenta_Uch_posobie_26_04_02

где x – среднее значение результатов опытов; xi – результат i-го опыта,

причѐм i = 1, 2,…, n.

2.) Затем вычисляют оценку СКО S по формуле (1.3):

3.) Рассчитывают среднее абсолютное отклонение САО:

Если выборка имеет приближѐнно нормальный закон распределе-

ния, тогда должно выполняться неравенство:

Пример. Продемонстрируем процедуру проверки гипотезы нор-

мального распределения по САО применительно к ряду значений пре-

делов прочности, очищенному (см. выше) от промахов.

Решение. Среднее арифметическое очищенной выборки будет сле-

дующим:

Оценка СКО очищенной от промахов выборки:

Значение среднего абсолютного отклонения для очищенной вы-

борки равно:

31

Рассчитаем значения левой и правой частей неравенства (2.3):

Так как 0,089 < 0,151, то можно считать, что выборка значений пределов прочности подчиняется нормальному закону распределения

(закону Гаусса).

Если выборка подчиняется нормальному закону, то случайную по-

грешность полученного среднего значения оценивают с использованием

закона распределения Стьюдента. Под законом распределения Стью-

дента понимается семейство законов, которые описывают плотность ве-

роятности значений среднего арифметического, вычисленного по вы-

борке из n случайных отсчѐтов из нормально распределѐнной совокуп-

ности. Существование целого семейства законов Стьюдента обусловле-

но тем, что вид распределения Стьюдента зависит от числа отсчѐтов n,

по которым рассчитывается среднее значение. Распределение Стьюдента используется для квантильной оценки погрешности результата при ма-

лом объѐме выборке (n ≤ 30).

При определении случайной погрешности полученного среднего

значения x сначала рассчитывают оценку СКО среднего арифметиче-

ского по формуле (2.4):

Очень важно понимать различие оценки S от S . Оценка S харак-

теризует ширину полосы рассеяния всех результатов xi, входящих в вы-

32

борку, а оценка S характеризует в n раз более узкую ширину рассея-

ния самого среднего арифметического x (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Сравнение ширины полос рассеяния исходных данных 2Δx и среднего арифметического 2 x .

Таким образом, оценка S применяется всегда, когда нам нужно

определить погрешность того числа, которое мы получаем в результате всех параллельных измерений (или многократно поставленного одного и того же опыта).

В тех же случаях, когда мы хотим характеризовать точность при-

меняемого способа измерений, следует использовать оценку S. То же самое можно сказать, если мы описываем методику по определению ка-

кой-либо физической величины — следует указывать именно оценку S.

Погрешность P полученного среднего значения вычисляют по формуле (2.5):

где tP,n – коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероят-

ности Pд, с которой оценивают погрешность и объѐма выборки n. Значе-

ние коэффициента Стьюдента определяют по табл. 2.2, по значениям Pд

и n.

Окончательно, результат представляют в виде:

Очень важно помнить, что указание погрешности (при извест-

ном законе распределения случайной величины) без доверительной веро-

ятности лишено смысла.

Назначение доверительной вероятности, как уже говорилось выше обусловлено традициями, сложившиеся в той или иной области знаний.

В большинстве инженерных экспериментов не имеет смысла назначение доверительной вероятности выше 0,95.

Пример. Определить погрешность полученного предела прочности литейного алюминиевого сплава по выборке значений, приведѐнной выше.

Решение. Среднее арифметическое значение выборки, очищенной от промахов, и оценка СКО были рассчитаны выше:

x = 124 МПа.

S = 9,03.

Тогда согласно (2.4) оценка СКО среднего арифметического равна

34

Для числа вариант выборки n = 7 и доверительной вероятности

Рд = 0,9 коэффициент Стьюдента (табл. 2.2) tP,n = 1,9. Тогда погрешность

P полученного среднего значения вычисляем по формуле (2.5):

P tP,n S 1,9 3,4 6,5.

Окончательно результат определения предела прочности записы-

вается так:

x 124 6,5 МПа.

Использование коэффициентов Стьюдента и выражения (2.5) для оценки погрешности определения случайной величины x, если еѐ распре-

деление отличается от нормального, является некорректным.

2.2. Проверка статистических гипотез

При обработке экспериментальных данных или данных наблюде-

ний часто возникает необходимость в формулировке и эксперименталь-

ной проверке разных гипотез (предположений).

Статистическая гипотеза – это всякое предположение относи-

тельно генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

Проверка статистической гипотезы — процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющимися выборочными дан-

ными.

При таком сопоставлении рассматривается вероятность двух про-

тивоположных (альтернативных) гипотез.

Первая гипотеза является основной. Она обозначается H0 и назы-

вается нулевой гипотезой. В качестве примера нулевой гипотезы можно привести такое предположение: «Различий между двумя выборками нет

(т. е. различия носят случайный характер)».

Противоположная (альтернативная) гипотеза обозначается H1. Со-

гласно приведѐнному выше примеру нулевой гипотезы формулировка

35

гипотезы H1 в этом случае будет такой: «Различия между двумя выбор-

ками существуют (т. е. они носят не случайный характер)».

Для проверки выдвинутых гипотез используют критерии досто-

верности или критерии значимости, позволяющие определить, соответ-

ствуют ли выборочные показатели принятой гипотезе, или нет.

Критерии значимости могут быть параметрическими и непарамет-

рическими.

Параметрические критерии вычисляются по формулам с подста-

новкой в них выборочных характеристик. Они могут быть использованы только в том случае, когда распределение изучаемой случайной величи-

ны подчиняется закону Гаусса (нормальному закону).

Непараметрические критерии менее точны, но они имеют следу-

ющие преимущества: 1) они проще, не требуют вычисления выборочных характеристик и позволяю быстрее проводить оценку рассматриваемых гипотез; 2) их можно применять не только к нормальному распределе-

нию.

Тем не менее, в технических областях знаний чаще применяются параметрические критерии. Существуют таблицы, в которых указаны критические значений параметрических критериев значимости для за-

данных уровней значимости q и числа степеней свободы v. Вывод о пра-

вомерности выдвинутой гипотезы делают из сравнения значения крите-

рия, вычисленного по выборке, с табличным значением.

Таким образом, основные этапы процедуры проверки статистиче-

ских гипотез следующие:

1.Выдвигается гипотеза;

2.Выбирается величина уровня значимости;

3.По заданному уровню значимости и числу степеней свободы по таб-

лицам находят критические значения критерия;

36

4.Рассчитывается экспериментальное значение критерия по имеющей-

ся выборке;

5.Сравниваются экспериментальные значения критерия с табличными

(критическими), и делается вывод о правомерности выдвинутой ги-

потезы.

Винженерной практике часто требуется проверить достоверность следующего предположения: «Две выборки относятся к одной и той же генеральной совокупности». Оценку правомерности этого утверждения можно производить или с помощью t-критерия Стьюдента или с помо-

щью F-критерия Фишера.

2.2.1. Сравнение двух выборок с использованием параметрических критериев

t-критерий Стьюдента. Применение t-критерия Стьюдента осно-

вано на сравнении средних значений, полученных для двух выборок.

Выдвигается нулевая гипотеза H0, что обе выборки принадлежат одной генеральной совокупности, иными словами: M xa M xb , где M xa

и M xb — математические ожидания генеральной совокупности xa и гене-

ральной совокупности xb соответственно.

Тогда альтернативная гипотеза H1 формулируется следующим образом: M xa M xb .

Пусть na — выборка, отобранная из генеральной совокупности xa,

а nb — выборка, отобранная из генеральной совокупности xb, причѐм na < 30 и nb < 30. Для этих выборок найдены выборочные средние: xa и xb . Формула для расчѐта экспериментального значения критерия tэкс для проверки достоверности гипотезы H0 выглядит следующим образом:

37

где Sсум — оценка СКО, вычисленная для объединѐнной выборки:

По табл. 2.3, исходя из уровня значимости q и числа степеней сво-

боды v = na + nb – 2, находят табличное значение критерия tтабл и сравнивают значения |tэкс| и tтабл. Если |tэкс| < tтабл, то нулевая гипотеза подтверждается; если |tэкс| > tтабл, то нулевая гипотеза для рассматриваемого уровня значимости отвергается.

Таблица 2.3

t-распределение Стьюдента

(значение критерия tкр в зависимости от числа степеней свободы v и уровня значимости q)

Пример. Из двух партии бетона, предназначенной для постройки плавучего дока, по истечении трѐх дней после приготовления, взяты пробы и подвергнуты испытаниям на сжатие. Полученные значения пределов прочности представлены в табл. 2.4.

Экспериментальное значение критерия tэкс:

39

Для уровня значимости q = 0,1 и числа степеней свободы v = na + nb – 2 = 8 +14 – 2 = 20 табличное значение критерия Стьюдента tтабл =

1,73 (табл. 2.3).

Так как |tэкс| > tтабл, то нулевая гипотеза для рассматриваемого уровня значимости отвергается. Таким образом, партии бетона принад-

лежат разным генеральным совокупностям, т. е. разным замесам.

F-критерий Фишера. С помощью F-критерия Фишера по резуль-

татам сравнения значений оценок дисперсий двух выборок na и nb дела-

ют вывод о том, принадлежат ли эти две выборки одной генеральной со-

вокупности. То есть, если применение t-критерия основано на сравнении средних значений выборок, то применение F-критерия — на сравнении изменчивости (размаха) значений вариант в выборках.

Выдвигается нулевая гипотеза H0: «Обе выборки принадлежат од-

ной генеральной совокупности», Тогда альтернативная гипотеза H1:

«Сравниваемые выборки принадлежат разным генеральным совокупно-

стям».

Для применения критерия F-критерия Фишера сначала рассчиты-

вают оценки СКО двух сравниваемых выборок: Sa и Sb. Тогда оценки дисперсий выборок na и nb будут равны соответственно Sa2 и Sb2 . Экспе-

риментальное значение критерия Фишера Fэкс определяется, как отно-

шение этих двух дисперсий, при этом необходимо поделить бóльшую дисперсию на меньшую. Допустим Sa2 > Sb2 , тогда:

Fэкс SSa22 .

b

Затем из табл. 2.5 или 2.6 в зависимости от уровня значимости q, а

также числа степеней свободы v1 (для выборки na, т. е. с бóльшим значе-

нием дисперсии) и числа степеней свободы v2 (для выборки nb, т. е. с

меньшим значением дисперсии) определяют табличное значение Fтабл.

40