Osnovy_teorii_inzhenernogo_experimenta_Uch_posobie_26_04_02

При большом объѐме выборки значение S будет мало отличаться от значения СКО для генеральной совокупности, и этим отличием на практике можно пренебречь. Однако при малом объѐме выборки значе-

ние оценки S может содержать большую погрешность, и тем большую,

чем меньше n, поэтому оценка ширины полосы рассеяния результатов,

произведѐнная как показано на рис. 1.8, будет также иметь большую по-

грешность.

1.4. Цели и этапы эксперимента

Проводя эксперимент, исследователь преследует одну из двух це-

лей:

1. Определения отдельно взятого значения какой-либо физической величины – износа, нагрузки разрушения, деформации, коэффициента трения и т. п. – то есть значения, реализуемого в определѐнных условиях

(при определѐнных значениях факторов).

Фактор – измеримая переменная величина, которой можно прида-

вать в определѐнный момент некоторое определѐнное значение, харак-

теризующая один из возможных способов воздействия на объект иссле-

дования. В качестве факторов могут выступать: нагрузка, скорость скольжения, температура, вязкость смазочного материала, концентрация какого-либо компонента. Другими словами факторы – это независимые переменные.

2. Определения зависимости какой-либо физической величины от внешних факторов, например износа от нагрузки и скорости скольже-

ния, или коэффициента трения от концентрации различных компонен-

тов в смазочном материале. В этом случае результатом эксперимента будет функция y = f(x1, x2, …, xi, … xn), где y — исследуемая физическая величина, а x1, x2, …, xi, … xn — факторы, играющие роль переменных.

Любой эксперимент состоит из трѐх последовательных этапов:

22

1-й этап. Составление плана эксперимента (в широком смысле)

2-й этап. Проведение собственно эксперимента с получением ис-

ходных (экспериментальных) данных,

3-й этап. Обработка полученных опытных данных.

В последующих разделах будут рассматриваться главным образом вопросы, касающиеся особенностей третьего этапа, т. е. обработки опытных данных, а также при рассмотрении многофакторного экспери-

мента – вопросы 1-го этапа. В последние десятилетия с развитием вы-

числительной техники в распоряжении экспериментатора появилось много превосходного программного обеспечения, позволяющего прово-

дить обработку быстро и эффективно. Однако это не исключает необхо-

димости знания элементарных основ теории такой обработки.

В соответствии с указанными в самом начале целями выделим условно два вида экспериментов:

1.Эксперименты по определению (отдельного) значения какой-либо физической величины. К таким экспериментам можно отнести,

например, следующие:

определение твѐрдости стали, из которой изготовлен коленчатый вал судового дизеля;

измерение вязкости моторного масла при конкретной температуре;

определение предела прочности корпусной стали при одноосном растяжении образцов из этой стали;

оценка шероховатости окрашенной обшивки корпуса судна и др.

2.Определение зависимости какой-либо физической величины от од-

ного или нескольких внешних факторов. К экспериментам этого вида относятся, например, эксперименты по определению:

зависимости сопротивления модели судна от скорости его движе-

ния в опытовом бассейне;

23

зависимости износа хромового покрытия при трении по стали в за-

висимости от скорости и нагрузки;

зависимости порога хладноломкости углеродистой стали от содер-

жания в ней углерода и фосфора. И многие др.

Рассмотрим в последующих разделах подробно каждый из этих

двух видов эксперимента.

1.5.Контрольные вопросы к разделу 1

1.Что такое погрешность измерения?

2.Чем действительное значение измеряемой величины отличается от истинного?

3.Можно ли получить истинное значение измеряемой величины?

4.Что понимается под генеральной совокупностью генеральной сово-

купностью значений случайной величины?

5.Что такое выборка?

6.С чем работает инженер, проводящий эксперимент, с выборкой или генеральной совокупностью?

7.Что является наиболее исчерпывающей вероятностной характери-

стикой непрерывной случайной величины?

8.Чем теоретический закон распределения случайной величины отли-

чается от эмпирического?

9.Какой закон распределения имеет наиважнейшее значение в теории инженерного эксперимента?

10.Дайте определение (интегральной) функции распределения вероят-

ностей.

11.Какая связь между функцией плотности распределения вероятно-

стей и интегральной функцией распределения?

12.Как ещѐ называют функцию плотности распределения вероятно-

стей?

24

13.Дайте определения медианы и моды распределения случайной вели-

чины.

14.Приведите пример распределений, для которых понятие моды отсут-

ствует.

15.Существуют ли распределения, у которых мода равна медиане?

16.Что такое квантиль?

17.Дайте определение понятия центра распределения.

18.Запишите формулу для определения математического ожидания не-

прерывного распределения.

19.Как находится центр распределения по выборке значений непрерыв-

ной случайной величины?

20.В чѐм преимущество квантильной оценки погрешности?

21.Что такое число степеней свободы?

22.Дайте определение уровня значимости.

23.Запишите формулу для расчѐта оценки СКО значений случайной ве-

личины (в выборке).

24.Чем отличается оценка СКО значений случайной величины от оцен-

ки СКО среднего арифметического выборки?

25.Изложите процедуру построения гистограммы распределения частот.

26.Какие виды погрешностей вы знаете?

27.Что называется фактором?

28.На какие последовательные этапы можно разбить любой экспери-

мент?

25

2. ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЗНАЧЕНИЯ ИССЛЕДУЕМОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ

2.1. Оценка результата эксперимента по многократному измерению значения физической величины

При проведении эксперимента, заключающегося в многократном измерении одного и того же значения какой-либо физической величины,

можно выделить три ситуации:

1-я ситуация. Определяющей является систематическая погрешность,

то есть еѐ величина существенно больше случайной ошибки,

2-я ситуация. Определяющей является случайная погрешность,

3-я ситуация. Систематическая и случайная погрешности сопоставимы.

Исследователя или инженера, занимающегося экспериментальной работой, интересует, прежде всего, 2-я ситуация. Однако независимо от того, какая ситуация имеет место, всегда надо проводить многократные

(параллельные) опыты. В случае преобладания систематической по-

грешности (1-я ситуация) многократность опытов необходима для того,

чтобы не допустить промаха. В этом случае достаточно ограничиться

тремя или даже двумя параллельными опытами. В идеальном случае – если бы была гарантия, что промахи будут отсутствовать – достаточно было бы провести опыт один раз.

Как правило, систематическая погрешность измерений определя-

ется классом прибора (систематическая неисключаемая погрешность), с

помощью которого они выполняются. Для того, чтобы убедиться, что преобладающей является систематическая погрешность, проводят не-

сколько последовательно измерений. Если они повторяются с погрешно-

стью, допускаемой точностью (классом) прибора, то действительно, си-

стематическая неисключаемая погрешность является преобладающей.

26

Если последовательные измерения каждый раз дают новый результат, и

отклонения превышают значения, допускаемые классом прибора, то имеет место случайная погрешность.

Если систематическая и случайная погрешности сопоставимы (3-я ситу-

ация), то ни одной из них пренебрегать нельзя. Вопрос о правилах сло-

жения систематической и случайной погрешностей до сих пор не имеет строгого научного решения и решается разным образом. Для обычного пользователя измерительным прибором удобнее, если погрешность вы-

ражена каким одним числом, в этом случае пользуются рекомендациями

ГОСТ 8.736-2011 Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения. Однако с научной точки зрения представляется правильным отказаться вообще от нахождения суммарной погрешности и давать в качестве меры суммарной погреш-

ности две погрешности систематическую и случайную.

В случае преобладания случайной погрешности (2-я ситуация)

многократность проведения опыта при одних и тех же значениях факто-

ров необходима для решения следующих пяти задач:

1.Определения наличия промахов.

2.Оценки закона распределения значений определяемой физической величины;

3.Определения (как более точного) усреднѐнного результата;

4.Оценки случайной погрешности исходных экспериментальных дан-

ных;

5.Оценки погрешности усреднѐнного результата.

Число параллельных опытов целесообразно выбирать таким, что-

бы случайная погрешность среднего арифметического была меньше си-

стематической ошибки.

Рассмотрим последовательно перечисленные задачи.

27

Для исключения грубых погрешностей необходимо использовать статистический критерий Граббса. Критерий Граббса основан на пред-

положении, что группа результатов измерений принадлежит нормаль-

ному распределению. Предполагая, что наибольший xmax и (или)

наименьший xmin результат измерений вызван грубыми погрешностями,

вычисляют для этих значений критерии Граббса G1 и G2:

где x — координата центра распределения, вычисляемую как среднее арифметическое по формуле (1.2):

S — оценка СКО результатов отдельных измерений, определяемая по формуле (1.3):

Затем сравнивают G1 и G2, вычисленные по формуле (2.1), с теоре-

тическим значением GТ критерия Граббса при выбранном уровне значи-

мости q (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Критические значения GТ для критерия Граббса

Если G1 > GТ, то xmax исключают из полученного ряда результатов измерений как маловероятное значение, если G2 > GТ то из полученного

28

ряда результатов измерений исключают xmin как маловероятное значе-

ние. Далее вновь вычисляют среднее арифметическое и среднее квадра-

тическое отклонение по формулам (1.3) и (1.5) для ряда результатов из-

мерений, из которого исключены xmax и (или) xmin, и процедуру проверки наличия промахов повторяют.

Если G1 ≤ GТ, то xmax не считают промахом и его сохраняют в ряду результатов измерений; аналогично, если G2 ≤ GТ, то xmin не считают промахом и его сохраняют в ряду результатов измерений.

Пример. Провели испытания на одноосное растяжение образцов из литейного алюминиевого сплава. Получили следующие значения преде-

ла прочности (МПа): 122, 129, 131, 122, 165, 128, 130, 105. Требуется определить наличие промахов в выборке.

Решение. Определяем для выборки среднее арифметическое зна-

чение и оценку СКО:

По табл. 2.1 для n = 8 и уровня значимости q = 5 %, находим тео-

ретическое значение критерия Граббса GТ = 2,13.

Так как G1 > GТ, то значение xmax = 165 МПа считают промахом и исключают из результатов опыта.

29

Так как G2 < GТ, то значение xmin = 105 МПа не считают промахом и сохраняют в выборке.

Затем очищенную от промахов выборку проверяют на соответ-

ствие нормальному закону распределения. Очень важно, чтобы резуль-

таты испытаний подчинялись нормальному распределению, так как ин-

женерная методика оценки погрешности основывается на нормальном законе распределения случайной величины.

Для основательной проверки соответствия эмпирического распре-

деления нормальному закону, подразумевающей определение формы распределения и использования сравнительно сложных критериев согла-

сия — например, очень распространѐнной является проверка по крите-

рию χ2 («хи квадрат») Пирсона — выборка должна быть представлена в виде гистограммы. Однако для этого требуется сравнительно большая выборка, так как критерий Пирсона даѐт хорошие результаты при объѐ-

ме выборке n ≥ 50.

В подавляющем числе случаев при проведении эксперимента вы-

борка редко включает более 10 значений случайной величины. А для расчѐта погрешности достаточно определения оценок математического ожидания и СКО. Для этого не требуется какого-либо группирования экспериментальных данных. Эти оценки могут быть найдены по исход-

ной неупорядоченной выборке. Для малых выборок пользуются специ-

альными критериями проверки гипотезы нормального распределения.

Например, по среднему абсолютному отклонению (САО).

Проверку гипотезы нормального распределения по САО осу-

ществляют следующим образом.

1.) Сначала находят координату центра распределения, вычисляемую как среднее арифметическое (оценка математического ожидания) по формуле (1.2):

30