Osnovy_teorii_inzhenernogo_experimenta_Uch_posobie_26_04_02

Функцию F(x) также называют интегральной функцией распределения.

Интегральная функция имеет один недостаток: по ней трудно судить о характере распределения непрерывной случайной величины в окрестно-

сти конкретной точки. Более наглядное представление о характере рас-

пределения непрерывной случайной величины даѐт функция p(x), назы-

ваемая плотностью распределения вероятностей непрерывной случай-

ной величины:

p(x) = F′(x).

Функцию p(x) иногда называют дифференциальной функцией распреде-

ления непрерывной случайной величины (рис. 1.2).

Рис. 1.1. Интегральная функция нормального распределения непрерывной случайной величины x

Рис. 1.2. Дифференциальная функция нормального распределения непрерывной случайной величины x

11

В теории эксперимента занимает центральное место и имеет наи-

важнейшее значение нормальное распределение (нормальный закон рас-

пределения или закон Гаусса). На рис. 1.1 схематично показана инте-

гральная функция нормального распределения, а на рис. 1.2 — диффе-

ренциальная функция нормального распределения.

Вероятность попадания случайной величины в определѐнный ин-

тервал значений равна площади под кривой p(x) между значениями ар-

гумента, ограничивающими это интервал. К примеру, вероятность того,

что случайная величина x попадѐт в интервал от –∞ до x1 равна

x1

P p(x)dx.

Применительно к распределению, подчиняющемуся нормальному зако-

ну (рис. 1.2), площадь, соответствующая указанному интегралу, заштри-

хована.

Помимо нормального распределения существует много других распределений случайных величин: равномерное (рис. 1.3), Пуассона,

показательное (рис. 1.4), Симпсона (треугольное) (рис. 1.5) и многие др.

а б

Площадь под кривой плотности распределения p(x) равна единице.

Т. е. отражает вероятность появления всех возможных значений случай-

ной величины. Эту площадь можно разбить на части вертикальными ли-

12

ниями. Абсциссы таких линий называют квантилями. Квантили часто используют при описании непрерывных распределений.

Рис. 1.4. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции показательного распределения

а б

Рис. 1.5. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции о распределения Симпсона

Квантиль — это такое значение xP на оси абсцисс графика плотно-

сти распределения, при котором функция распределения принимает зна-

чение равное вероятности Р, т. е. F(xP) = Р. Иными словами, квантиль xP

— это значение абсциссы на графике p(x), соответствующее заданной вероятности Р.

Некоторые квантили имеют собственные названия. Так на рис. 1.6 x25 — 25 %-й квантиль, так как слева от него площадь под кривой p(x)

равна 25 % всей площади, а слева — 75 %. Соответственно x75 — 75 %-й

квантиль. 25%- и 75%-й квантили называют сгибами или квартилями.

13

50%-й квантиль x50 называется медианой. Медиана — эта абсцисса на графики плотности распределения, которая делит площадь под кри-

вой p(x) на две равные части.

Мода распределения — это абсцисса, при которой плотность рас-

пределения p(x) достигает максимума. Не у всех распределений есть мо-

ду. Очень наглядно существование моды на нормальном (рис. 1.2) и тре-

угольном (рис. 1.5 б) распределениях. Для равномерного (рис. 1.3) и по-

казательного (рис. 1.4) распределений понятия моды не существует.

р(x)

Рис. 1.6. Схема положения 5% -, 25% -, 50% -, 75% - и 95 % -ного квантилей на оси абсцисс

Для исследователя важно знать центр распределения, т. е. значе-

ние искомой случайной величины, вокруг которого группируется поле рассеяния значений случайной величины, и погрешность определения этого центра, т. е. ширину поля рассеяния.

Понятие центра распределения. Координата центра непрерывно-

го распределения определяется как медиана распределения.

Центр распределения может также быть определѐн по-иному, а

именно, как абсцисса центра тяжести площади под кривой распределе-

ния:

M x xp(x)dx. (1.1)

14

Центр распределения Mx, определѐнный по формуле (1.1), называ-

ется математическим ожиданием.

Следует помнить, что не для всех распределений центр тяжести может быть найден как математическое ожидание случайной величины,

так как интеграл (1.1) может расходиться (например, в случае распреде-

ления Коши1).

Оценка ширины распределения. Погрешность распределения.

Необходимо отметить, что распределения, имеющие чѐткие границы,

как например, равномерное (рис. 1.3) или треугольное (рис. 1.5) распре-

деление, являются скорее исключением, чем правилом. В большинстве случаев распределения плотности вероятности не имеют чѐтких границ

(рис. 1.2, 1.4), а поэтому указание для них предельных (максимальных и

(или) минимальных) границ рассеивания неправомерно. В подавляющем большинстве случаев в инженерной и научной практике используют

квантильные оценки погрешности.

Квантильная оценка погрешности — погрешность с заданной до-

верительной вероятностью Pд, т. е. с указанием границ интервала не-

определѐнности в пределах которого встречаются Pд процентов всех значений погрешности, а (1 – Pд) процентов от общего числа остаются за границами этого интервала.

Величина q = 1 – Pд называется уровнем значимости. Уровень зна-

чимости выражает вероятность того, что значение исследуемого пара-

метра не попадает в доверительный вариант. Иными словами значение q

показывает относительное количество результатов, погрешность кото-

рых значима (т. е. еѐ нельзя игнорировать, и учѐт результатов с такой погрешностью в зависимости от ситуации требует особого похода).

Исторически сложилось так, что в разных областях знаний исполь-

зуют разные, традиционные для этих областей, значения доверительной вероятности: 50, 80, 90, 95, 99 %. Так например, если погрешность ре-

зультата указана с доверительной вероятностью Pд = 90 %, то 9 из 10

значений случайной величины попадут в интервал между 5%- и 95%-м

квантилями (рис. 1.6).

Для характеристики ширины полосы рассеяния (неопределѐнно-

сти) используется понятие среднего квадратического отклонения (СКО) σ случайной величины:

где D — дисперсия, т. е второй центральный момент случайной величи-

ны.

СКО имеет такую же размерность, что и случайная величина и яв-

ляется нормированным показателем погрешности. Саму погрешность указывают в виде значений, кратных значению СКО, т. е. умножая на соответствующий квантильный коэффициент, зависящий от доверитель-

ной вероятности. Для нормального распределения:

погрешности равной значению 0,675σ соответствует Pд = 50 %,

погрешности равной значению σ соответствует Pд = 68 %,

погрешности равной значению 1,64σ соответствует Pд = 90 %,

погрешности равной 2σ соответствует Pд = 95 %,

погрешности равной 3σ соответствует Pд = 99,7 %.

Аналитическое описание нормального закона распределения.

Сприменением рассмотренных выше характеристик теоретического распределения дифференциальную функцию нормального закона рас-

пределения (рис. 1.2) можно записать следующим образом:

16

где p — плотность распределения величины случайной величины x;

Мx — математическое ожидание; σ — СКО.

Кривая p(x) симметрична относительно значения x = Мx, и в этой точке функция имеет максимум:

Согласно выражению (1.2) интегральная функция нормального распределения (рис. 1.1) записывается в следующем виде:

Сделаем следующую замену переменных: t = (x – Mx)/σ, тогда

В выражении (1.3) функция Ф(t) — нормальная функция распреде-

ления. Для нормальной функции распределения в справочниках имеется таблица, в которой приводятся еѐ значения при разных значениях t.

Функцией Ф(t) удобно пользоваться для того, чтобы определить вероят-

ность попадания случайной величины x в интервал от x1 до x2; для этого необходимо рассчитать соответствующие значения t:

t1 = (x1 – Mx)/σ и t2 = (x2 – Mx)/σ.

Затем по таблице определить значения Ф(t1) и Ф(t2) и рассчитать вероят-

ность попадания случайной величины в интервал от x1 до x2 следующим образом:

P(t1 < x < t2) = Ф(t2) – Ф(t1).

17

1.3.2.Эмпирические распределения и их характеристики

Висследовательской и инженерной практике в большинстве слу-

чаев имеют дело с выборками, содержащими сравнительно небольшое количества значений случайной величины. А значит, работают с эмпи-

рическими распределениями случайной величины и, как следствие, с

выборочными оценками (или просто оценками, или статистиками) слу-

чайной величины.

Координату центра эмпирического распределения находят как оценку математического ожидания в виде среднего арифметического:

n

xi

x i 1 , (1.2) n

где xi — i-е значение случайной величины x, часто называемое вариан-

той; n — количество вариант (значений случайной величины) в выбор-

ке.

Варианта — это отдельное значение изучаемой случайной вели-

чины. Отбор вариант из генеральной совокупности должен происходить случайным образом, т. е. все варианты должны иметь одинаковую веро-

ятность попадания в выборку. Тем самым обеспечивают репрезента-

тивность выборки.

Репрезентативная выборка правильно представляет генеральную совокупность.

Преимущество использования в качестве оценки координаты цен-

тра распределения выражения (1.2) не в том, что это эффективная2

оценка, а в том, что эта единственная оценка, которую можно выразить аналитически, т. е. в виде формулы, и использовать эту в формулу в ма-

тематических выкладках.

Оценку СКО определяют по формуле:

2 Эффективная оценка — это оценка, обладающая среди прочих оценок того параметра наименьшей дисперсией.

18

Следует обратить внимание, что в знаменателе формулы (1.3) сто-

ит не n, а именно (n – 1). Это очень важно при работе с малыми выбор-

ками.

Значение (n – 1) в формуле (1.3), также как и значение n в формуле

(1.2) называют ещѐ числом степеней свободы.

Число степеней свободы v — это число независимых переменных

(вариант) минус количество наложенных связей (ограничений).

При вычислении среднего арифметического по формуле (1.2) ни-

каких ограничений ещѐ нет, т. е. v = n. При вычислении же оценки СКО имеется одно ограничение, так как значение СКО вычисляется по всем значениям вариант в выборке с использованием значения среднего арифметического. Но среднее арифметическое также рассчитывалось по всем значениям вариант в выборке. Это и будет ограничением. То есть одна степень свободы «израсходовалась» на определение среднего арифметического, а поэтому при вычислении СКО единица вычитается из числа n, тем самым оценка СКО получается несмещѐнной3.

Для определения оценок математического ожидания и СКО не требуется какого-либо группирования экспериментальных данных. Од-

нако для определения медианы, сгибов, других квантилей, для обнару-

жения промахов и т. п. необходимо произвести ранжирование.

Ранжирование — это расположение всех имеющихся вариант в выборке в порядке возрастания или убывания.

Для определения формы распределения, сопоставления гипотез о форме распределения и определения более сложных характеристик рас-

пределения простого ранжирования уже недостаточно: необходимо по-

3 Оценка параметра называется несмещѐнной, если при любом числе наблюдений n еѐ математическое ожидание точно равно значению оцениваемого параметра.

19