Kaschenko_I.S._Asimptoticheskoe_Razlozhenie

Если домножить это уравнение на "4=5 и перейти к пределу при " ! 0, то получим

®012 ¡ 2®07 + ®2 + lim "4=5o("¡4=5) = 0:

"!0

Предел, стоящий в выражении, равен нулю (по определениюо-малого ). Значит, ®0 определяется из уравнения

®012 ¡ 2®07 + ®2 = 0:

Это уравнение имеет нулевой корень, нам он не нужен, поэтому разделим уравнение на ®02.

этих значений имеет кратность 2. Значит, мы нашли главные части асимптотических приближений оставшихся десяти корней.

Несмотря на то что главные части некоторых корней (например x3 è x4, x5 è x6 и т. п.) совпадают, это еще не дает основания считать, что эти корни равны.

Обратим также внимание на то, что 10 из 12 корней (корни x3, x4, : : :, x12) стремятся к бесконечности при " ! 0. Методы прямого разложения по малому параметру, описанные в главе 2, не позволят найти приближение таких корней.

31

Контрольные вопросы

1.Что такое диаграмма Ньютона? Для решения каких задач она нужна?

2.Какие точки используются для построения диаграммы Ньютона? Как строится диаграмма Ньютона? Как по ней вычислить значения ±0?

3.Как, зная значение ±0, найти коэффициент ®0? Сколько (с учетом кратности) может быть вариантов значений для ®0?

4.Как найти второе слагаемое ряда (3.2), если мы знаем ®0 è

±0? Как затем отыскать третье, четвертое и последующие слагаемые?

32

4. Задачи для самосто-

ятельного решения

Задание 1.

Учитывая, что 0 < " ¿ 1, найдите первые два слагаемых асимптотического приближения для каждого решения уравнения:

1."2x3 ¡ "x + "2 = 0.

2."x3 ¡ x + " = 0.

3.x3 ¡ 3"x + "3 = 0.

4."3x3 ¡ (1 + ")x2 + (1 + "2)x + "3 = 0.

5."2x3 + 2"x2 + x + 2"2 = 0.

6."2x3 ¡ 4"x2 + 4x + " = 0.

7.2"2x3 ¡ 2p2"x2 + x + 3"3 = 0.

8.4"2x3 + 4"x2 + x + " = 0.

9.¡"2x3 ¡ 2"x2 ¡ x + 4" = 0.

10.¡"2x3 + 4"x2 ¡ 4x + 2"2 = 0.

11.¡4"2x3 ¡ 4"x2 ¡ x + 3"3 = 0.

12.9"2x3 ¡ 6"x2 + x + 2" = 0.

13.4"2x3 ¡ 8"x2 + 4x + 3" = 0.

14."2x3 + "x2 + 14 x + "2 = 0.

15."x3 + "x2 + 2"3 = 0.

16.6"x3 + 6"x2 + 4"2 = 0.

17.6"2x3 + 6"x2 + 4"2 = 0.

33

18."2x3 + 2"x2 + x + 2"2 = 0.

19.¡"2x3 ¡ 4"x2 ¡ 4x + 4" = 0.

20.¡("2 + "4)x3 + 4"x2 ¡ 4x + 2"2 = 0.

21.¡4"2x3 ¡ 4"x2 ¡ x + 2" = 0.

22.9"4x3 ¡ 6"2x2 + "2x + 2 = 0.

23."x3 ¡ "2x ¡ " = 0.

24."x4 + x2 + 2"x = 0.

25.2"2x3 ¡ 4"x2 + 2x + 5" = 0.

26."2x3 ¡ "2x2 + x + 2" = 0.

27."3x3 ¡ 3"x2 + "x + 2"2 = 0.

28.2"4x3 + 3"x2 + 3"x + 2"4 = 0.

29.4"3x3 ¡ x2 + "2x + " = 0.

30.5"2x3 + 5x2 + 3"2x + 3"2 = 0.

Задание 2.

Найдите главный член асимптотического приближения для каждого из решений уравнения (0 < " ¿ 1):

1."5x9 ¡ 3"3x7 + "x5 + 2x3 ¡ x2 + "3 = 0.

2.2"5x9 ¡ 4"3x7 + 2"x5 ¡ x3 ¡ 2x2 + 4"3 = 0.

3.5"5x9 + 10"3x7 + 5"x5 + 2x3 + 2x2 ¡ "3 = 0.

4."5x9 + 3"3x7 + 2"x5 + x3 ¡ 3x2 ¡ 5"3 = 0.

5.2"5x9 ¡ 3"3x7 + "x5 ¡ 7x3 + 7x2 ¡ 7"3 = 0.

6.¡"5x9 + "3x7 + "x5 ¡ 2x3 + 4x2 + 8"3 = 0.

7."5x9 + "x5 ¡ x3 + x2 ¡ "3 = 0.

34

8."7x8 ¡ 2"5x7 + "3x6 ¡ 2"2x5 + "x4 ¡ x2 + 9 = 0.

9.¡"7x8 + 2"5x7 + "3x6 + 3"2x5 + "x4 + 4x2 + 4 = 0.

10.2"7x8 ¡ 4"5x7 + "3x6 ¡ 3"2x5 ¡ 2"x4 + x2 ¡ 1 = 0.

11."7x8 ¡ 4"5x7 + 2"3x6 ¡ 3"2x5 ¡ 2"x4 + x2 ¡ 1 = 0.

12."7x8 ¡ 3"3x6 ¡ 3"2x5 ¡ 2"x4 + x2 ¡ 1 + " = 0.

13.¡2"7x8 + 4"5x7 ¡ 2"3x6 ¡ 3"2x5 + 6"x4 + 3x2 ¡ 3 = 0.

14."7x8 ¡ 6"5x7 + 6"3x6 ¡ 12"2x5 + 6"x4 + 2x2 ¡ 2 = 0.

15."2x8 ¡ 2"x6 + x4 ¡ x3 + "x ¡ 4"4 = 0.

16."2x8 + 2"x6 + x4 ¡ 3x3 + 2"x ¡ 3"3 = 0.

17."2x8 ¡ 4"x6 + 3x4 + x3 + 2"x ¡ 2"2 = 0.

18.¡2"2x8 ¡ 8"x6 ¡ 6x4 + 2x3 + "x ¡ 2"3 = 0.

19."2x8 ¡ 8x4 + x3 + 2"x + 3"2 = 0.

20."2x8 ¡ 8x4 + x3 + 2"x + 3"2 = 0.

21."2x8 ¡ 3"x6 + 2x4 ¡ 4x3 + "x ¡ 4"2 = 0.

22."x7 ¡ x6 + 2x5 ¡ x4 + "3x3 + "x2 ¡ 5"3x + 4"5 = 0.

23."x7 ¡ x6 + 3x5 ¡ 2x4 ¡ 2"2x3 + 4"x2 ¡ 4"3x + "5 = 0.

24."2x7 ¡ 2x6 + 6x5 ¡ 4x4 ¡ 4"4x3 + 4"x2 + 4"3x ¡ "5 = 0.

25.¡"2x7 + 3x6 + 2p3x5 + x4 ¡ 4"3x3 + "x2 ¡ "3x ¡ 2"5 = 0.

26."2x7 ¡ 2x6 + 2p2x5 ¡ x4 + p2"2x3 + 2"x2 ¡ "4x ¡ 4"5 = 0.

27.3"2x7 ¡ 2x6 + 3x4 + 23 "3x3 ¡ 2"x2 + 23 "3x ¡ 2"5 = 0.

28.2"7 ¡ "3x + 4"2x2 ¡ 4"x4 + 7"5x5 + x6 + 5"6x7 + "3x8 = 0.

29."6"7 ¡ "3x6 + "x5 ¡ x4 + x3 ¡ "x2 + "3x + "6 = 0.

30.2"6"7 + 3"3x6 + p2"x5 ¡ 3x4 + p3x3 + "3x + 2"6 = 0.

35

Задание 3. Найдите первые три члена асимптотического разложения при x ! 0 y(x) одного из корней данного уравнения, который определяется значением в точке x = 0.

36

Приложение

Уравнение

является характеристическим для дифференциального уравнения с запаздыванием

Расположение корней (4.1) относительно мнимой оси определяет устойчивость нулевого решения (4.2) (подробнее об этом см. [10, 11]).

В уравнении (4.1) " малый положительный параметр. Известно (см., например [11]), что у (4.1) нет корней с положительной и отделенной от нуля вещественной частью, т. е. нет таких корней ¸("), для которых выполняется Re ¸(") > d > 0 при всех достаточно малых значениях ". При этом уравнение имеет корни, которые стремятся к мнимой оси при " ! 0. Асимптотика таких корней существенно используется для изучения локальной динамики уравнения (4.2) в окрестности нуля (см. [11, 12, 13]). Поставим задачу: найти асимптотическое приближение корней (4.1), действительная часть которых стремится к нулю.

Воспользуемся идеями главы 2. Корень, асимптотику которого мы ищем, можно представить в виде

¸(") = i!(") + o(1):

Причем возможно, что !(") не ограничена (или даже стремится к бесконечности) при " ! 0.

После подстановки в (4.1) получаем:

Модуль правой части равен единице. Возможны следующие варианты.

1 случай. "!(") не ограничено при " ! 0. Однако остальные слагаемые в (4.3) ограничены, следовательно, равенство (4.3) невозможно.

37

2 случай. "!(") ограничено. Для каждой ограниченной (при " ! 0) функции можно выбрать последовательность "n ! 0 такую, что "n!("n) сходится к некоторому частичному пределу !¤. Приравняем в (4.3) квадраты модулей правой и левой

частей:

!2(") + (1 + o(1))2 = eo(1):

Перейдем к пределу при " = "n ! 0, получим

!¤2 + 1 = 1:

Отсюда видно, что !¤ = 0. Значит, все частичные пределы "!(") при " ! 0 равны нулю. Следовательно, "!(") ! 0, т. е. "!(") = o(1). Перепишем (4.3)

1 = ¡e¡i! + o(1)

Из этого следует, что !(") = ¼ + 2¼k, где k 2 Z. Если выбрать некоторое фиксированное k, то дальнейшее построение асимптотики завершается без труда. Действительно, положим

¸k = i¼(1 + 2k) + "¸k1 + "2¸k2 + o("2):

В результате действий, описанных в главе 2, получим, что

¸k1 = ¡i¼(1 + 2k); ¸k2 = ¡¼2(1 + 2k)2 + i¼¡1 + 2k¢: 2

Пусть теперь k зависит от ", причем k(") ! 1 при " ! 0. Такую зависимость мы представим в следующем виде

z

k = "° + µ("):

Здесь z произвольное положительное число. Параметр ° должен быть положительным (чтобы k(") ! 1), но меньше 1 (чтобы "!(") ! 0). Функция µ(") служит для того, чтобы значение правой части получалось целым. Например, можно определить ее следующим образом: µ 2 [0; 1) такое, что "z° + µ(") целое. Используя целые части, можно сказать, что µ(") =]"z° [¡"z° , где ]x[большая целая часть самое маленькое целое, не меньшее x.

38

Понятно, что µ разрывная ограниченная функция, принимает значения из полуинтервала [0;1). Причем при " ! 0 каждое свое значение µ принимает бесконечное число раз.

Значит, корень уравнения (4.1) записывается как

Более того, для любого целого n

³ z ´

¸(") = i 2"° n + 2µ(")n + 1 ¼ + o(1):

Уточним эту асимптотику. Подставим в (4.1)

¸(") = i ³2"z° n + 2µ(")n + 1 + "q¸1´ ¼ + "p¸2; p; q > 0:

ãäå ¸1 è ¸2 действиетльные.

Получаемое уравнение будет иметь вид

"i ³2"z° n + 2µ(")n + 1 + "q¸1´ ¼ + "p+1¸2 + 1 =

h ³ z ´ i

= ¡exp ¡i 2"° n + 2µ(")n + 1 + "q¸1 ¼ ¡ "p¸2 :

Используем свойства функции µ и экспоненты

i¼ ¡2zn"1¡° + 2"µ(")n + " + "1+q¸1¢ + "p+1¸2 + 1 = = exp[¡i¼"q¸1 ¡ "p¸2] :

Перепишем выражение в левой части:

1 + 2i¼zn"1¡° + "p+1¸2 + io("1¡°) = exp[¡i¼"q¸1 ¡ "p¸2] :

Здесь мы сохраняем множитель i перед о-малым чтобы показать, что все переменные и константы могут принимать только вещественные значения.

Разложим теперь правую часть в асимптотический ряд (используем для этого разложение экспоненты в ряд Тейлора)

1 + 2i¼zn"1¡° + "p+1¸2 + io("1¡°) = 1 ¡ [i¼"q¸1 + "p¸2]+

39

Самое большое по порядку мнимое слагаемое в левой части имеет порядок "1¡°, в правой "q. Отсюда получаем, что q = 1¡°, тогда ¸1 находится из равенства мнимых частей

"1¡°2¼zn + o("1¡°) = ¡¼"1¡°¸1 =) ¸1 = ¡2zn + o(1):

После сокращения единиц, в (4.4) самое большое по порядку слагаемое в левой части имеет порядок "1+p, а в правой таких слагаемых два. Они имеют порядки "2q è "p. Понятно, что "1+p = o("p), следовательно, для существования ¸2 должно выполняться равенство p = 2q = 2 ¡ 2°. Тогда если приравнять действительные части, то получается уравнение

o("2¡2°) = ¡"2¡2°¡12¼2"2¡2°¸21+o("2¡2°) =) ¸2 = 2¼2z2n2+o(1):

Таким образом, получаем, что у уравнения (4.1) есть корни с асимптотикой (n 2 Z)

¡ "2¡2° ¡2¼2z2n2 + o(1)¢ :

(4.5) Несмотря на то что формула (4.5) зависит от непрерывных параметров z > 0 и ° 2 (0; 1), уравнение (4.1) имеет лишь счетное число корней. При " ! 0 мы как бы перескакиваем из окрестности одного корня в окрестность другого за счет разрывной функции µ. Таким образом, модуль каждого ¸n неограниченно растет при " ! 0. Выбор z и ° влияет лишь на скорость

перехода с одного корня на другой.

40