СЕМИНАР 1 Кинематика точки Вектор скорости, модуль вектора скорости, вектор ускорения, модуль вектора ускорения.

Тангенциальное ускорение.

- тангенциальное ускорение – производная от модуля скорости по времени. Для нахождения тангенциального ускорения сначала находим модуль скорости как функцию времени и затем дифференцируем эту функцию по времени.

Нормальное ускорение.

Вектору скорости присущи два атрибута: модуль и направление в пространстве. Производная вектора скорости по времени, может быть представлена в виде суммы двух слагаемых. Одно из этих слагаемых – это тангенциальное (касательное) ускорение. Другое слагаемое характеризует быстроту изменения направления скорости – это нормальное ускорение. Таким образом, имеем .

В соответствии с теоремой Пифагора, получаем полезную формулу .

Радиус кривизны траектории.

Можно показать, что нормальное ускорение, характеризующее быстроту изменения направления скорости, связано с величиной скорости формулой . Здесь ρ – радиус кривизны траектории. Отсюда получаем . Именно такой формулой будем пользоваться для нахождения радиуса кривизны траектории в этом разделе.

Вращательное движение твердого тела вокруг постоянной оси

Угловая скорость, угловое ускорение.

При описании вращательного движения твердого тела, наряду с векторами перемещения любых точек твердого тела, вводят единый для всех точек вектор элементарного угла поворота . Кроме линейных скоростей точек твердого тела, вводят единую для всех точек угловую скорость . Угловое ускорение . Формула, связывающая величину угловой скорости и частоты вращения .

Связь угловых характеристик движения с линейными.

, ; , ; , . Здесь - радиус – вектор, рассматриваемой точки твердого тела, начинающийся в любой точке оси вращения; R – расстояние от рассматриваемой точки твердого тела до оси вращения.

Кинематика относительного движения (Галилей, Кориолис)

, - скорость и ускорение материальной точки относительно S - СО; , - скорость и ускорение материальной точки относительно S - СО; - радиус-вектор материальной точки относительно S - СО; , - скорость и ускорение S - СО относительно S – СО в поступательном движении; , - угловая скорость и угловое ускорение S - СО относительно S – СО во вращательном движении. Тогда формула пересчета скорости из движущейся S - СО в «неподвижную» S – СО имеет вид: , то есть, скорость материальной точки относительно “неподвижной” S – СО складывается из скорости материальной точки относительно движущейся S - СО и скорости точки S - СО, через которую проходит (в этот момент) материальная точка, относительно S – СО.

Формула пересчета ускорения из движущейся s - со в «неподвижную» s - со

тоже утверждает, что ускорение материальной точки относительно “неподвижной” S – СО складывается из ускорения материальной точки относительно движущейся S - СО и ускорения точки S - СО, через которую проходит (в этот момент) материальная точка, относительно S – СО. Кориолисово ускорение . Оно связано, во-первых, с тем, что вектор поворачивается вместе с S - СО и, во-вторых, с тем, что из-за перемещения материальной точки относительно S - СО, изменяется радиус-вектор , а значит и скорость .

СЕМИНАР 2 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНО ДВИЖУЩЕГОСЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Инерциальные системы отсчета

Важная роль выбора системы отсчета впервые продемонстрирована Коперником (около 1500г.). В системе отсчета введенной Коперником, связанной с Солнцем и звездами, настолько упростился характер движения планет, что трудолюбивый Кеплер (в 1609-1619гг.) сумел сформулировать три знаменитых закона, описывающих движение планет. Следуя Копернику, Ньютон навсегда в качестве тел отсчета выбрал Солнце и звезды. Опираясь на законы Кеплера, Ньютон установил закон всемирного тяготения, а затем и три закона движения (около 1666г.). Все это было сделано применительно к коперниковой (гелиоцентрической), инерциальной системе отсчета.

Первый закон Ньютона содержит не только закон инерции Галилея, но и определение инерциальной системы отсчета:

Существуют такие системы отсчета, назовем их инерциальными (ИСО), в которых тело, изолированное от других тел, сохраняет свою скорость постоянной.

Нахождение силы из закона движения.

Импульсом материальной точки называется величина, равная произведению массы точки на ее скорость . По определению, сила – это величина, показывающая, как быстро изменяется импульс материальной точки со временем, то есть , причем последние два равенства справедливы, если масса тела постоянна.

Интегрирование уравнения движения. Сила линейно зависит от времени.

- уравнение движения материальной точки в векторной форме. В проекции на оси прямоугольной системы координат уравнения движения принимают вид ; ;

Интегрируем соответствующее дифференциальное уравнение методом разделения переменных.

Интегрирование уравнения движения. Сила зависит от координаты.

В уравнении движения делаем замену . Тогда уравнение принимает вид , то есть переменные разделились и можно выполнить интегрирование.

Неинерциальные системы отсчета

Система отсчета, относительно которой материальная точка движется с ускорением, при условии, что на эту точку не действуют другие тела, называется неинерциальной (НСО).

Можно сказать иначе. Система отсчета, которая движется поступательно с ускорением и/или вращается относительно инерциальной системы отсчета (ИСО), называется неинерциальной (НСО).

Введем следующие обозначения:

, - скорость и ускорение материальной точки относительно неинерциальной S - СО;

- радиус-вектор материальной точки относительно неинерциальной S - СО;

- ускорение неинерциальной S - СО относительно инерциальной S – СО в поступательном движении;

, - угловая скорость и угловое ускорение неинерциальной S - СО относительно инерциальной S – СО во вращательном движении.

В этих обозначениях уравнение движения материальной точки в неинерциальной системе отсчета имеет вид: .

В правой части уравнения:

- сумма всех сил, действующих на материальную точку со стороны других тел, то есть тех сил, которые определены в рамках системы законов Ньютона;

- сила инерции, действующая в НСО, движущейся поступательно с ускорением ;

- сила инерции, действующая в НСО, вращающейся с угловым ускорением ;

- центробежная сила инерции, действующая в НСО, вращающейся с угловой скоростью ;

- сила инерции Кориолиса, действующая в НСО, вращающейся с угловой скоростью , если материальная точка движется относительно НСО со скоростью и при условии, что векторы и составляют угол, не равный 0⁰ или 180⁰.

СЕМИНАР 3 ИМПУЛЬС, МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И МОМЕНТ ИМПУЛЬСА (ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ)

Закон изменения импульса для одной материальной точки.

Второй закон Ньютона для материальной точки, когда на нее действует постоянная сила, может быть переписан в виде закона изменения импульса - приращение импульса материальной точки равно импульсу силы (произведению силы на время, за которое импульс точки изменился на ), действующей на материальную точку.

Система материальных точек.

Импульс системы материальных точек – это сумма (конечно векторная) импульсов материальных точек: . Производная импульса системы материальных точек по времени равна сумме всех сил, действующих на систему, и, с учетом третьего закона Ньютона, равна сумме внешних сил, действующих на систему материальных точек: .

Сохранение импульса системы взаимодействующих тел.

Из закона изменения импульса следует, что если , то . Для проекций на выделенное направление X можно утверждать, что из следует , если .

Уравнение движения тела с изменяющееся массой – уравнение Мещерского Здесь m – масса, - ускорение тела в рассматриваемый момент времени, - сумма всех внешних сил, - реактивная сила.

Центр масс. Система отсчета центра масс.

Центром масс системы материальных точек называется точка пространства, радиус-вектор которой находится по формуле . Соответственно скорость центра масс равна . Системой отсчета центра масс (Ц-системой) называется такая система отсчета, относительно которой покоится центр масс рассматриваемой системы частиц, и, которая движется поступательно относительно инерциальной системы отсчета.

Работа постоянной силы.

- работа постоянной силы, приложенной к телу, определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения тела.

Работа переменной силы.

Разделяем конечное перемещение на такие элементарные перемещения , чтобы на любом из них можно было считать силу постоянной по величине и по направлению. Тогда можно ввести понятие элементарной работы . Затем учитываем замечательное свойство работы - аддитивность (свойство складываться): .

Мощность силы .

Теорема о приращении кинетической энергии. - приращение кинетической энергии материальной точки или поступательно движущегося твердого тела равно работе всех сил, приложенных к материальной точке или к телу.

Потенциальная энергия взаимодействия системы материальных точек.

Для того, чтобы работа силы, приложенной к телу, при переносе тела из позиции 1 в позицию 2 не зависела от формы траектории, необходимо, чтобы сумма была полным дифференциалом. В свою очередь, для того, чтобы указанная сумма была полным дифференциалом, должны выполняться равенства ; ; . Только при выполнении этих условий можно сопоставить точкам пространства некоторую функцию координат и назвать ее потенциальной энергией, а силу потенциальной или консервативной. Определение формулируется не для потенциальной энергии, а для ее приращения , или ее убыли .

Таким образом, потенциальная энергия неопределенна с точностью до постоянной – уровня отсчета потенциальной энергии. Определение приращения потенциальной энергии в дифференциальной форме имеет вид . Отсюда .