§ 6. Применение теории квадратичных форм к кривым и поверхностям второго порядка

Пусть на плоскости задана декартова система координат (декартов базис , и точка О – начало координат). Рассмотрим общее уравнение второго порядка:

. (11)

Обозначим через сумму старших слагаемых:

и рассмотрим квадратичную форму . Её матрица симметрическая.

Задача 9. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом собственных векторов.

Матрица квадратичной формы имеет вид . Найдём её собственные векторы. Характеристическое уравнение: , , его корни: , .

Имеем для : , и Для : и

В базисе матрица оператора диагональная: . Нормируем векторы Матрица перехода от базиса к базису Вернёмся к квадратичной форме. Положим то есть

(12)

Тогда .

Замечание. Формулы (12) – формулы поворота осей координат на угол против хода часовой стрелки. Угол определяется соотношениями

, ( ).

В общем случае преобразование поворота осей координат

(13)

приведёт линию (11) к виду

. (14)

Эта процедура называется приведением линии второго порядка к главным осям (из дальнейшего изложения будет ясно, что, если (11) – эллипс или гипербола, то новые оси и параллельны главным осям кривой).

Коэффициенты и в уравнении (14) – характеристические числа матрицы и могут быть найдены как корни уравнения или

(15)

Обозначим , .

Имеем: (действительно, из (15) находим , или , и по теореме Виета ).

Случай 1. (кривая эллиптического типа).

Преобразуем (14) следующим образом:

обозначив придём к равенству

.

Положим

(16)

и в новой системе координат получим:

. (17)

Формулы (16) – формулы параллельного переноса начала координат в точку .

Случай 1. а) Знак противоположен знаку (и, следовательно, знаку ). Тогда (17) определяет эллипс:

.

Случай 1. б) , - уравнение (17) определяет одну точку: .

Случай 1. в) Знаки и совпадают, – нет точек (мнимый эллипс).

Случай 2. (кривая гиперболического типа).

В этом случае знаки и противоположены.

Случай 2. а) - уравнение (14.33) определяет гиперболу:

.

Случай 2. б) - уравнение (17) принимает вид:

.

Пусть , тогда и уравнение (17) можно переписать в следующем виде

. (18)

Уравнение (18) определя5ет пару пересекающихся прямых: .

Случай 3. (кривая параболического типа).

Пусть для определённости (тогда ). Уравнение (11) преобразованием (13) приводится к виду

. (19)

Пусть , тогда (19) можно переписать следующим образом

.

Получим:

. (20)

Уравнение (20) определяет параболу.

Если же , то уравнение (14.35) перепишем в виде

.

Обозначив и полагая приходим к уравнению

. (21)

Случай 3. а) , - уравнение (21) определяет пару параллельных прямых: .

Случай 3. б) , - уравнение (21) определяет пару совпадающих прямых: .

Случай 3. в) , - нет точек (пара мнимых прямых).

Сведём полученные результаты в таблицу.

кривая эллиптического типа		и разных знаков	эллипс
		и одного знака	мнимый эллипс
			точка
кривая гиперболического типа			гипербола
			пара пересекающихся прямых
кривая параболического типа		и одного знака	пара мнимых параллельных прямых
		и разных знаков	пара параллельных прямых
			пара совпадающих прямых
			парабола

Задача 10. Определить вид и расположение кривой второго порядка

. (22)

Решение. Слагаемые второго порядка в (22) составляют квадратичную форму

,

которую преобразование неизвестных по формулам

(23)

приводит к сумме квадратов (см. задачу 9).

Тогда уравнение кривой (22) преобразованием (23) приведётся к виду

.

Здесь , и, следовательно, , – кривая эллиптического типа.

Как при рассмотрении выше случая 1, соберём слагаемые, содержащие неизвестное и дополним их до полного квадрата, аналогично поступим со слагаемыми, содержащими :

, или

Полагаем и получим . Это уравнение эллипса с полуосями и центром в точке (см. рисунок).

Задача 11. Определить вид поверхности второго порядка, заданной уравнением

Решение. Левая часть уравнения – квадратичная форма. Её матрица: Характеристическое уравнение принимает вид

Корни характеристического уравнения: Следовательно, каноническое уравнение поверхности таково: Оно определяет двуполостный гиперболоид.