1.3. Понятие базиса. Координаты вектора и их свойства

Определение 8. Три вектора , , называются базисом в , если:

1) , , линейно независимы;

2) любой вектор можно представить в виде их линейной комбинации, т.е. найдутся числа , и такие, что .

Определение 9. Два вектора и называются базисом в плоскости, если:

1) и линейно независимы;

2) для любого вектора этой плоскости найдутся числа и такие, что можно представить в виде их линейной комбинации и , т.е. найдутся числа и такие, что .

Из результатов, полученных в 1.2, следует, что любые три некомпланарных вектора составляют базис в .

В самом деле, пусть , и не компланарны. Тогда согласно следствию 2 из теоремы 4 векторы , и линейно независимы. А в силу следствия из теоремы 5 любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации , и , и, таким образом, , и являются базисом в (в соответствии с определением 8).

Аналогично любые два неколлинеарных вектора образуют базис в плоскости.

Действительно, если и не коллинеарны, то согласно следствию из теоремы 3 и линейно независимы. А в силу следствия 1 из теоремы 4 любой вектор плоскости может быть представлен в виде их линейной комбинации и, следовательно, , - базис плоскости (в соответствии с определением 9).

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением базиса в пространстве.

Пусть , , – произвольный базис в , . Тогда

(1.10)

Правая часть равенства (1.10) называется разложением вектора по базису , , , а числа , , – координатами вектора относительно базиса , , .

Теорема 6. Пусть , , – базис в . Координаты любого вектора относительно базиса , , определяются однозначно.

Доказательство. Доказательство проведем от противного.

Допустим, существует другое разложение вектора по базису , , :

Противоположный вектор (см. замечание 4). К обеим частям равенства (1.10) прибавим вектор

и получим

. (1.11)

Равенство (1.11) означает, что линейная комбинация векторов , , равна , откуда в силу линейной независимости , и следует, что коэффициенты при , и равны нулю, а тогда , , .

Теорема 7. Пусть , , – базис в . При сложении любых двух векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Доказательство. Пусть , . Привлекая свойства 1 и 2 операции сложения, получим

.

Далее свойство 4 операции умножения на число дает

.

В силу теоремы 6 о единственности разложения вектора по базису числа , , и являются координатами вектора .

Пусть – произвольное вещественное число, – вектор, введенный выше. Рассмотрим вектор .

Имеем .

Используя свойство 3, а затем 5 умножения вектора на число, получим

.

Используя теорему 6 о единственности разложения вектора по базису, придем к тому, что числа и – координаты вектора относительно базиса , , . Теорема доказана.