1.4. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду.

Линейный оператор тогда и только тогда задается в базисе диагональной матрицей, если все векторы этого базиса являются собственными векторами оператора .

Это следует из равенств:

, i = 1, 2, … , n

Известно, что собственные векторы линейного преобразования , относящиеся к различным собственным векторам, составляют линейно независимую систему.

Следствие: Всякая матрица, все характеристические корни которой действительные и различны, подобна диагональной матрице, т.е. приводится к диагональной форме. Это значит, что в базисе , составленном из собственных векторов, матрица линейного преобразования имеет диагональную форму.

Пример 2: Найти собственные векторы линейного преобразования , заданного в некотором базисе матрицей: . Построить базис, составленный из собственных векторов и матрицу линейного преобразования в этом базисе.

Решение: Решение задачи может проводиться по следующему алгоритму:

1) Находим корни характеристического многочлена:

т.е. корни многочлена (λ): λ₁ = -1, λ₂ = 6.

2) Находим собственные векторы линейного преобразования,

а) собственный вектор b₁ для собственного числа λ₁ = -1:

Пусть x₁ = 1, тогда x₂ = -1, следует: b₁ = (1, -1).

б) собственный вектор b₂ для собственного числа λ₂ = 6:

Пусть x₁ = 2, тогда x₂ = 5, следует: b₂ = (2, 5).

3) строим базис из собственных найденных векторов .

4) составляем диагональную матрицу линейного заданного преобразования в базисе :

Ответ: собственные значения: λ₁ = -1, λ₂ = 6; собственные векторы линейного преобразования: для λ₁ = -1 имеет значение b₁ = (1, -1), для λ₂ = 6 значение b₂ = (2, 5); диагональная форма матрицы линейного преобразования в базисе имеет простейший вид: .

Матрица самосопряженного оператора всегда приводится к диагональному виду. При этом, используя понятие унитарного оператора, ее можно представить в виде

,

где U – матрица унитарного оператора, осуществляющего переход от исходного базиса к базису из собственных векторов оператора , а D – диагональная матрица.

1.5. Задания

Задание 1.1. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного матрицей и проверить результат с помощью функции eig()

>> d=eig(A) %Функция вычисляет собственные значения матрицы A.

>>[V,D]=eig(A) %Матрица V состоит правых собственных векторов, удовлетворяющих соотношению A * V= V * D. Эти векторы нормированы так, что норма каждого из них равна единице.

Задание 1.2. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду и найти соответствующий базис. Результаты поверить с помощью функции eig ()

Задание 1.3. Для матрицы найти диагональную матрицу D и унитарную (ортогональную) матрицу U и проверить результат с помощью функции eig()

2. Билинейные и квадратичные формы

Определение: В действительном линейном пространстве задана линейная форма, если каждому вектору поставлено в соответствие число , причем выполнены условия

Определение: Числовая функция , заданная на действительном линейном пространстве , называется билинейной формой, если при фиксированном y она является линейной формой по x, а при фиксированном x – линейной формой по y.

Билинейная форма называется симметрической, если .