подгон 2018 (легендарный) / 1 семестр / Практикум по линейной алгебре в Matlab / ЛА / Модуль 4 / lab3_m4_vm1_vt_ppavsm_230100_62

1.3.Линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. 4

1.4.Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному

1. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.

Пусть - линейное пространство и каждому вектору , принадлежащему ,

поставлен в соответствие вектор . Соответствие называется

оператором, определенным в линейном пространстве .

1.1. Характеристическая матрица и характеристический

многочлен.

Определение: Матрица называется характеристической матрицей

матрицы А и записывается в виде:

,

где А – квадратная матрица порядка n с действительными элементами и число λ–

некоторое неизвестное число.

Определение: Определитель - многочлен от λ степени n называют

характеристическим, а его корни – характеристическими корнями (могут быть как действительными, так и комплексными).

1.2. Собственные значения и собственные векторы

линейного оператора.

Пусть в пространстве Vn задан линейный оператор A. Если вектор x отличен от нуля и:

Ax = λ0x,

где λ0- действительное число. Тогда вектор x называют собственным вектором

оператора A, а число λ0 - собственным значением этого преобразования.

Теорема: Действительные характеристические корни линейного оператора A, если они существуют, и только они, служат собственными значениями этого преобразования.

Для нахождения собственных векторов удобно пользоваться формой записи

векторов матрица-столбец. Можно записать Аx = λ0x или Аx - λ0x = 0.

Последнее означает, что совокупность ненулевых решений системы линейных уравнений:

Решение: Решение задачи может проводиться по следующему алгоритму:

1) находим корни характеристического многочлена:

т.е. корни многочлена A(λ): λ1 = -1, кратности 3.

2) находим собственные векторы линейного преобразования:

Пусть x3 = с, тогда x1 = 2с, x2 = - с, следует: b = с (2, -1, 1).

Ответ: собственные значения: λ1 = λ2 = λ3 = -1; собственные векторы линейного преобразования имеют вид: b = с (2, -1, 1), где с 0.

1.3. Линейные операторы в пространстве со скалярным

произведением.

Пусть - линейный оператор, действующий в пространстве со скалярным произведением .

Определение: Линейный оператор называется сопряженным к оператору , если для любых векторов , выполняется равенство .

Определение: Линейный оператор H в пространстве со скалярным произведением называется самосопряженным, если . Самосопряженный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве называется так же эрмитовым

(симметричным).

Для того чтобы оператор был эрмитовым (симметричным), необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе его матрица удовлетворяла соотношению . Такие матрицы называются эрмитовыми

(симметричными).

Определение: Линейный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве называется унитарным (ортогональным), если , т.е. .

Для того чтобы оператор был унитарным (ортогональным) необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе его матрица

2) находим собственные векторы линейного преобразования,

а) собственный вектор b1 для собственного числа λ1 = -1:

Пусть x1 = 1, тогда x2 = -1, следует: b1 = (1, -1).

Пусть x1 = 2, тогда x2 = 5, следует: b2 = (2, 5).

3)строим базис из собственных найденных векторов .

4)составляем диагональную матрицу линейного заданного преобразования в базисе

:

Ответ: собственные значения: λ1 = -1, λ2 = 6; собственные векторы линейного преобразования: для λ1 = -1 имеет значение b1 = (1, -1), для λ2 = 6 значение b2 = (2,

5); диагональная форма матрицы линейного преобразования в базисе

имеет простейший вид: .

Матрица самосопряженного оператора всегда приводится к диагональному виду. При этом, используя понятие унитарного оператора, ее можно представить в виде

,

где U – матрица унитарного оператора, осуществляющего переход от исходного базиса к базису из собственных векторов оператора , а D – диагональная матрица.

1.5. Задания

Задание 1.1. Найти собственные векторы и собственные значения линейного

оператора, заданного матрицей и проверить результат с помощью

функции eig()

>> d=eig(A) %Функция вычисляет собственные значения матрицы A.

>>[V,D]=eig(A) %Матрица V состоит правых собственных векторов,

удовлетворяющих соотношению A * V= V * D. Эти векторы нормированы так, что норма каждого из них равна единице.

Задание 1.2. Привести матрицу линейного оператора к

диагональному виду и найти соответствующий базис. Результаты поверить с помощью функции eig ()

Задание 1.3. Для матрицы найти диагональную матрицу D и

унитарную (ортогональную) матрицу U и проверить результат с помощью функции

eig()

2. Билинейные и квадратичные формы

Определение: В действительном линейном пространстве задана линейная форма,

если каждому вектору поставлено в соответствие число , причем выполнены условия

Определение: Числовая функция , заданная на действительном линейном пространстве , называется билинейной формой, если при фиксированном y она является линейной формой по x, а при фиксированном x – линейной формой по y.

Билинейная форма называется симметрической, если .

2.1. Квадратичные формы

то есть

f a11x12 a12x1x2 ... a1n x1x2 a21x2 x1 a22x22 ...

невырожденной (в этом случае ранг матрицы A равен n и матрица A

невырожденная).

Cчитаем, что матрица A квадратичной формы – симметрическая.

Из формулы (2) видно, что квадратичная форма является однородным многочленом

2-й степени от переменных Кроме того, квадратичную форму можно считать функцией от вектора:

В матричном виде квадратичную форму записать:

f XT AX.

Так как квадратичная форма f x1, x2 ,..., xn aij xi xj – это функция от вектора,

i, j

то ее вид зависит от базиса линейного пространства, и при изменении базиса матрица квадратичной формы также изменяется. Закон изменения матрицы дает следующая теорема.

Теорема: Квадратичная форма от n неизвестных с матрицей A после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей Q превращается в квадратичную форму от новых неизвестных с матрицей

A QT AQ.

Определение: Каноническим видом квадратичной формы f называют такой её вид

(в некотором базисе), который представляет собой сумму квадратов неизвестных с некоторыми коэффициентами:

Теорема: (Основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма с действительными коэффициентами может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием переменных к каноническому виду.

Решение. Соберём все слагаемые, содержащие неизвестное x1 , и дополним их до полного квадрата

f x1,...,xn 4 x12 x1x2 x1x3 x22 x32 3x2 x3