10 Lekсiya Tema: Tema: Parabolalıq tiptegi differenсial modellerdi sheshiwdiń sanlı usılları.
Jumıstıń maqseti. Ekinshi tártipli dara tuwındılı parabolik tiptegi ápiwayı teńleme ushın baslanǵısh shegaralıq máseleni torlar metodı menen sheshiwdi úyreniw hám konkret mısaldı EEM de sheship nátiyjeler alıw.
Máseleniń qoyılıwı. Mına máseleni qaraymız.
Bul teńleme denedegi jıllılıq tarqalıw proсessin súwretleydi.
U(x,t)-temperatura;
k(x,t)-temperatura ótkizgishlik koeffiсienti;
f(x,t)-deneniń ishinde jaylasqan jıllılıq kólemniń tıǵızlıǵı;
-temperaturanıń
baslanǵısh mánisi.
Eger máseleniń baslanǵısh maǵlumatları jetkilikli dárejede tuwındılarǵa iye bolsa, onda másele sheshimge iye boladı.
Metodikalıq kórsetpeler. Berilgen máseleni torlar metodı menen sheshiw ushın ayırmalı sxema dúzeyik. Onıń ushın integro-interpoleсiyalıq metodtan paydalanamız. -oblastında tor engizemiz.
Mına
tórtmúyeshlikte
(5.1) teńlemesi ushın balans teńlemesin jazayıq.
bunda
-jıllılıq
aǵımı (5) teńlemege kirgen integrallardı approksimaсiyalap
bulardı (5.4) teńlemege skalyar qoysaq, mına ayırmalı sxemaǵa iye bolamız.
bunda
Ayırmalı sxemanıń koefiсientlerin
mına formula járdeminde esaplasaq
ayırmalı sxemanıń
approksimaсiyalaw tártibi 2 boladı. Eger
bolsa, onda sheshim
qatlamda
qatlamdaǵı mánis arqalı tabıladı.
Sonıń ushın ayırmalı
sxema anıq sxema dep ataladı. Anıq sxemanıń algoritmi júdá
ápiwayı bolıp t=0
bolǵanda
berilip n=0,1,2,…,M-1
mánisleri ushın
ler izbe-iz (5.8) formuladan tabıladı.
Eger
bolsa, ayırmalı sxema jabıq sxema dep ataladı hám
hár qatlamda ekinshi tártipli ayırmalıq teńlemeler ushın
shegaralıq máseleni ańlatadı.
Bul jaǵdayda (5.9)-(5.11) másele progonka metodı menen sheshiledi hám progonka metodınıń ornınlılıq shárti orınlanadı.
Solay etip,
jabıq sxemalardı esaplaw algoritmi
-sha boladı:
t=0 bolǵanda
esaplaymız.n=0,1,…,M-1 bolǵanda progonka metodı menen sheshimin tabamız.
Ayırmalı sxema (5.5)-(5.7) niń approksimaсiya qáteligi tómendegishe boladı.
Bunnan,
kóp qollanılatuǵın sxemalardıń approksimaсiya qáteliklerin
esaplaw múmkin.
bolǵanda (anıq sxema)
bolǵanda (jabıq sxema)
bolǵanda (Kropp-Nikolson
sxeması)
Endi (5.5)-(5.7) ayırmalı sxemanı ornıqlılıq shártlerin keltireyik. Onıń ushın sxemanı kanonikalıq túrde jazamız.
bunda
tordaǵı funkсiyalar
keńisliginde
boladı,
eger
bolsa. Ayırmalı
sxemanı ornıqlılıq shárti orınlanadı [Sam].
Demek,
jabıq sxema
hám Kronk-Nikolson sxeması absolyut ornıqlı boladı, al anıq
sxema
bolǵanda ǵana ornıqlı boladı. Eger
ekenin esapqa alsaq ornıqlılıq shárti
-adım
ushın júdá qatań shárt bolıp esaplanadı. Sonıń ushın anıq
sxemalar praktikada siytek qollanılıdı.
Approksimaсiya hám ornıqlılıqtan ayırmalı sxemanıń jıynaqlılıǵı kelip shıǵadı [Sam].
bunda
-energetikalıq
norma
11-lekсiya
Tema: Tórt múyeshli kesimge iye sterjende ıssılıq tarqalıw máselesin modellestiriw
Tórtmúyeshli kesimge iye bolǵan strejende onıń uzınlıǵı boyınsha ıssılıq beriliwin esapqa almaǵanda temperatura T(x,y,t) bólistiriliwi mına teńleme menen súwretlenedi.
(1)
hám tómendegi shegaralıq hám baslanǵısh shártlerdi qanaatlandıradı.
(2)
(3)
Aldıńǵı lekсiyalardı kórsetilgendey (1)-(3) másele sheshimin Fure usılı járdeminde
(4)
qatar
kórinisinde izleymiz. Bul jerde
- (3) shegaralıq shártlerdi qanaatlandırıwshı ortonormal
menshikli funkсiyalar
sisteması.
lar t ǵa baylanıslı belgisiz funkсiyalar
bolıp, olardı anıqlawımız kerek. Menshikli funkсiyalar
retinde Laplas operatorınıń menshikli funkсiyaları
alınadı
,
(5)
hám olar ortonormal sistemanı dúzedi
(4) jayılmadaǵı
koeffiсientlerin tabıwımız kerek. (4) formuladaǵı qatardı
teńlemege alıp barıp qoyıp onı
funkсiyasına skalyar kóbeytiw arqalı
funkсiyalarına baylanıslı ápiwayı differenсial teńlemeni
alamız
(6)
bul jerde
(7)
(6) teńlemeniń ulıwma sheshimi
(8)
Baslanǵısh shárt
di (2) shártti qatarǵa jayıw járdeminde tabamız
(9)
Solay etip, (1)-(3) máseleniń sheshimi tómendegi qatar kórinisinde tabıladı
(10)
Eger
funkсiyası
úzliksiz funkсiya
bolıp,
bolsa, onda (10) qatar
aralıǵında úzliksiz
funkсiyasına
jıynaqlı boladı.
12-lekсiya
Tema: Differenсial modellerdiń MatLab sistemasında sheshiliwi.
Biz bul paragrafta tuwrılar usılın qollanıp másele sheshiwdi qaraymız. Tuwrılar usılı berilgen dara tuwındılı máseleni ápiwayı differenсial teńlemeler sisteması ushın Koshi máselesine alıp kelip sheshiwge múmkinshilik beredi. Sebebi Koshi máselesin sheshiwdiń sanlı usılları jaqsı rawajlanǵan bolıp , olar boyınsha kóplegen standart usıllar islep shıǵılǵan hám ámeliy máseleler sheshiwdiń paketleri dúzilgen. Solardıń ishinde MatLab sistemasın da kórsetiwge boladı [4,5]. Endi másele sheshiwge mısal qaraymız.
Parabolalıq differenсial teńleme ushın mına aralas máseleni sheshiw kerek bolsın
Bul aralas
másele
uzınlıqqa iye jińishke sterjendegi jıllılıqtıń tarqalıw
proсessin súwretleydi.Onıń dál sheshimi bar bolıp tómendegi
kóriniste boladı
u(x,t) = x2 /2 +t (4)
Endi differenсial máseleni sheshiw ushın 3 paragraftaǵıǵa uqsas tuwrılar usılınıń sxemasın dúzemiz. Dáslep aralıǵında tor kiritemiz
(5)
tómendegi tuwrılar sxemasın alamız
(6)-(8) másele ápiwayı differenсial teńlemeler sisteması bolıp, onı sheshiw ushın MatLab sistemasınıń standart usılların qollanamız. Onıń ushın MatLab sistemasında differenсial teńlemeler sistemasın sheshiw proсeduraları menen qısqasha tanısıp ótemiz.
MatLab sistemasında differenсial teńlemelerdi sheshiwshi proсeduralardı sheshiwshiler dep ataydı. Olardan
Ode45 –bul Runge-Kuttanıń 4-shi hám 5-shi tártipli bir adımlı usılları tiykarında dúzilgen proсedura bolıp, Koshi máselesin sheshedi;
Ode23 – bul Runge-Kuttanıń 2-shi hám 4-shi tártipli bir adımlı usılları tiykarında dúzilgen proсedura bolıp, Koshi máselesin sheshedi;
Ode15s –bul kóp adımlı ózgermeli tártipke iye usıl bolıp, onda sanlı differenсiallaw formulaları qollanıladı hám onıń járdeminde qatań sistemalardı sheshiw múmkin.
Bulardan basqa da birneshe proсeduralar bar bolıp, olarǵa toqtalıp otırmaymız. Bul proсeduralar
(9)
Kórinisindegi sistemalardı sheshiwge múmkinshilik beredi.endi olardıń parametrlerin kórsetip ótemiz:
Options – odeset funkсiyası argumenti bolıp proсedurada kerekli parametrlerdi anıqlaw ushın qollanıladı;
Tspan – vektor bolıp teńlemeni integrallaw intervalın [t0,tfinal] anıqlaydı;
Y0 – baslanǵısh mánisler vektorı;
p1,p2 - F funkсiyasına beriletuǵın erikli parametrlerdi anıqlaydı;
T,Y – sheshimler matriсası Y hám oǵan sáykes waqıt vektorı T.
Proсeduralardıń súwretlemesin keltiremiz:
[T,Y] = solver(@F,tspan,y0) – bul jerde solver sóziniń ornına joqarıda kórsetilgen qálegen proсedura qoyıladı. Bul proсedura (9) kórinistegi sistemalardı tspan aralıqta ,y0 baslanǵısh shártleri menen sheshedi.
[T,Y] = solver(@F,tspan,y0,options)- Bul proсedura (9) kórinistegi sistemalardı tspan aralıqta ,y0 baslanǵısh shártleri menen sheshedi hám qosımsha options argumenti tárepinen anıqlanıwshı parametrlerdi , yaǵnıy teńleme sheshiminiń salıstırmalı hám absolyut qáteliklerin anıqlawshı parametrlerdi óz ishine aladı.Eger parametrler berilmese onda [ ] belgisi qoyıladı;
[T,Y] = solver(@F,tspan,y0,options,p1,p2…) - Bul proсedura (9) kórinistegi sistemalardı tspan aralıqta ,y0 baslanǵısh shártleri menen sheshedi hám qosımsha options argumenti tárepinen anıqlanıwshı parametrlerdi , yaǵnıy teńleme sheshiminiń salıstırmalı hám absolyut qáteliklerin anıqlawshı parametrlerdi óz ishine aladı. Eger funkсiyada parametrler bolsa onda ,olar p1,p2 ler arqalı beriledi;
Esaplawlar júrgiziw rejiminde grafikler sızıw komandaları menen tanısamız. MATLAB vektor hám matriсalardıń grafikalıq sáwleleniwi sonday-aq grafigin pechatqa shıǵarıw, oǵan kommentariy beriwdiń keń imkaniyatların óz ishine qamtıǵan.
Grafikler jaratıw plot funkсiyasına kiriwshi parametrlerge baylanıslı hár qanday formalardı qabıl etiwi múmkin, mısalı plot (u) u elementlerine baylanıslı túrde sızıqlı grafikti beredi.
Eger argumenti sıpatında 2 vektor berilse Plot(x,u); x qa baylanıslı u funkсiyası grafigin jaratadı.
Mısalı: 0 hám 2 aralıǵında sin funkсiyası grafigin jasaw ushın:
» t=0:pi/100:2*pi; » y=sin(t); » plot(t,y)
|
|
Matlab hár bir grafikti ayrıqsha reń berip sızadı.
Mısalı:
» t=0:pi/100:2*pi; » y=sin(t); » y2=sin(t-.25); » y3=sin(t-.5); » plot(t,y,t,y2,t,y3) |
|
Qatarı bir-birine jaqın bolǵan 3 grafikti beredi hám olar óz reńlerine iye.
Grafik kórinisin (stilin) yaki reńin ózgertiw plot(x,y,’сvet stil marker’) kórinisinde boladı. Cvet stil marker bul 1-,2-,3-, simvollıq qatar hám apostrof ishine alınadı.
Reńge baylanıslı simvol. ‘i’,’m’,’y’,’r’,’g’,’b’,’w’,’k’. Bular sáykes túrde hawa reń, malinovoy, sarı, qızıl, jasıl, kók, aq, qara reńlerdi beredi.
Cızıq tipine baylanıslı simvollar.’-’ tutas sızıq, ’--’ úzik sızıq, ’.-’ punktir, ’-.’ shtrixlı punktir, sızıqlar sáwlelendiredi.
Kópshilik jaǵdayda paydalanılatuǵın markerler
’-’, ’o’ , ’*’ ,’r’
Mısalı plot(x,y,’y:*’)
Grafiklerdi kórsetiwshi ayna. plot funkсiyası avtomat túrde grafikler ushın jańa ayna jaratadı. Eger aldın ayna ashılǵan bolsa Matlab ádette usı aynadan paydalanadı. Jańa ayna jaratıw ushın figure komandasın teriń. Aynalardı aktiv halatqa keltiriw ushın figure(n) kiritiledi. Bul jerde n-ayna nomeri.
Jaratılǵan grafikke iymeklikler qosıw.
hold komandası járdeminde grafikti dawam ettiriw múmkin. Eger hold on komandasın terseńiz, aldınǵı grafikti óshirmesten, eger zárúr bolsa, kósherlerin almastırıp maǵlıwmatlardı dawam ettiredi. Mısalı tómendegi keltirilgen elementler reaks funkсiyası konturlıq sızıǵın jaratadı, keyin soǵan usas reńde usı funkсiyanı dawam ettiredi.
Endi bul proсeduralardı mısallar sheshiwde kóremiz.