1.3 Анализ временных рядов

Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т. д. Все они изменяются во времени. С течением времени изменяются деловая активность, режим протекания того или иного производственного процесса, глубина сна человека, восприятие телевизионной программы [1.1].

Последовательность наблюдения одного явления или показателя, упорядоченного в зависимости от последовательно возрастающих или убывающих значений другого признака, называется динамическим рядом.

Если в качестве признака, по которому производится упорядочивание, берется время, то такие ряды называют временными рядами [1.7].

Таким образом, данные оказываются упорядочены относительно неслучайных моментов времени, и, значит, в отличие от случайных выборок, могут содержать в себе дополнительную информацию, которую мы постараемся извлечь.

Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди других видов статистического анализа, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения. Если во многих задачах наблюдения статистически независимы, то во временных рядах они, как правило, зависимы, и характер этой зависимости может определяться положением наблюдений в последовательности. Природа ряда и структура порождающего ряд процесса могут предопределять порядок образования последовательности.

Работа с временными рядами предполагает два аспекта:

1. Анализ временного ряда (time series analysis), т.е. понимание его структуры и закономерностей.

2. Моделирование и построение прогноза на будущее (time series forecasting) [1.1].

Виды и классификация временных рядов:

• ряды абсолютных, относительных и средних величин;

• моментные и интервальные временные ряды;

• ряды с равноотстоящими уровнями и неравноотстоящими уровнями;

• изолированные (одномерные) и компонентные (многомерные) временные ряды;

• стационарные и нестационарные.

Подробнее остановимся на последнем пункте. Разные участки ряда могут описывать различные статистические модели, в этом случае говорят, что ряд нестационарный. Нестационарный временной ряд во многих случаях удается превратить в стационарный путем преобразования данных [1.6].

Если явление, результатом которого является изучаемый ряд, зависит от времени года (или времени суток, или дня недели, или иного фиксированного периода календаря), то из неслучайной компоненты может быть выделена еще одна компонента — сезонные колебания явления. Ее следует отличать от циклической компоненты, не привязанной к какому-либо естественному календарному циклу.

Под трендом (тенденцией) понимают неслучайную и непериодическую компоненту ряда. Первый вопрос, с которым сталкивается исследователь, анализирующий временной ряд, – существует ли в нем тренд?

При наличии во временном ряде тренда и периодической компоненты значения любого последующего значения ряда зависят от предыдущих. Силу и знак этой связи можно измерить уже знакомым вам инструментом — коэффициентом корреляции. Корреляционная зависимость между последовательными значениями временного ряда называется автокорреляцией.

Коэффициент автокорреляции первого порядка определяет зависимость между соседними значениями ряда и , больших порядков — между более отдаленными значениями. Лаг (сдвиг) автокорреляции — это количество периодов временного ряда, между которыми определяется коэффициент автокорреляции. Последовательность коэффициентов автокорреляции первого, 178 второго и других порядков называется автокорреляционной функцией временного ряда.

Анализ автокорреляционной функции позволяет найти лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, связь между текущим и предыдущими уровнями временного ряда наиболее тесная. Если значимым оказался только первый коэффициент автокорреляции (коэффициент автокорреляции первого порядка), временной ряд, скорее всего, содержит только тенденцию (тренд).

Если значимым оказался коэффициент автокорреляции, соответствующий лагу n, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в n моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно сказать, что либо ряд не содержит тенденции (тренда) и циклических колебаний, либо ряд содержит нелинейную тенденцию, которую линейный коэффициент корреляции выявить не способен.

Взаимная корреляция (кросс-корреляция) отражает, есть ли связь между рядами. В этом случае расчет происходит так же, как и для автокорреляции, только коэффициент корреляции рассчитывается между основным рядом и рядом, связь с которым основного ряда нужно определить. Лаг (сдвиг) при этом может быть и отрицательной величиной, поскольку цель расчета взаимной корреляции – выяснение того, какой из двух рядов «ведущий».

Выделяют четыре модели временных рядов, представленные в таблице 1.

Таблица 1.1 — Модели временных рядов

Компонента	Классификация	Определение
Тренд	Систематическая	Общая устойчивая долговременная тенденция
Сезонная	Систематическая	Достаточно регулярные периодические изменения, происходящие в каждом двенадцатимесячном периоде из года в год
Циклическая	Систематическая	Повторяющиеся подъемы и спады, проходящие четыре фазы: пик, рецессия, депрессия, подъем
Случайная	Нерегулярная	Непревиденные воздействия внешних факторов

Анализ временного ряда часто строится вокруг объяснения выявленного тренда и циклических колебаний значений ряда в рамках некоторой статистической модели.

Найденная модель позволяет: прогнозировать будущие значения ряда (forecasting), генерировать искусственный временной ряд, все статистические характеристики которого эквивалентны исходному (simulation), и заполнять пробелы в исходном временном ряду наиболее вероятными значениями.

Нужно отличать экстраполяцию временного ряда (прогноз будущих значений ряда) от интерполяции (заполнение пробелов между имеющимися данными ряда). Не всегда модели ряда, пригодные для интерполяции, можно использовать для прогноза.

Например, полином (степенное уравнение с коэффициентами) очень хорошо сглаживает исходный ряд значений и позволяет получить оценку показателя, который описывает данный ряд в промежутках между значениями ряда. Но если мы попытаемся продлить полином за стартовое значение ряда, то 179 получим совершенно случайный результат. Вместе с тем обычный линейный тренд, хотя и не столь изощренно следует изгибам внутри ряда, дает устойчивый прогноз развития ряда в будущем [1.7].

Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания.

Пусть наблюдаемым временным рядом является . Мы будем понимать эту запись следующим образом. Имеется Т чисел, представляющих собой наблюдение некоторой переменной в Т равноотстоящих моментов времени. Эти моменты для удобства пронумерованы целыми числами 1, 2, ..., Т.

Простейший подход — расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Простое скользящее среднее, определяемое как среднее арифметическое значение, вычисляется по следующей формуле, при условии что m — нечетное число:

(1.1)

где у — фактическое значение t-го уровня;

m — число уровней, входящих в интервал сглаживания m = 2p+1;

— текущий уровень ряда динамики;

i — порядковый номер уровня в интервале сглаживания;

р — при нечетном m имеет значение р = .

Интервал сглаживания, т.е. число входящих в него уровней m, определяют по следующим правилам. Когда необходимо сгладить незначительные, беспорядочные колебания, интервал сглаживания берут большим, если же требуется сохранить более незначительные колебания и освободиться лишь от периодически повторяющихся выбросов — интервал сглаживания обычно уменьшают.

Метод простого скользящего среднего используется обычно в тех случаях, когда график временного ряда представляет собой прямую линию, поскольку при этом динамика исследуемого явления не искажается. Общий вид аддитивной модели представлен в формуле (1.2).

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой ( ), сезонной ( ) и случайной ( ) компонент. Общий вид мультипликативной представлен в формуле (1.3).

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может бьггь представлен как произведение трендовой ( ), сезонной ( ) и случайной ( ) компонент.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений , и для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты .

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных ( + ) в аддитивной или ( * ) в мультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней ( + ) или ( * ) и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений ( + ) или ( * ).

6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов [1.1].

Таким образом, анализ временных рядов является оптимальным методом для исследования процессов, происходящих за промежуток времени.

В практической части курсовой работы будет использоваться метод прогнозирования c помощью модели авторегрессионного интегрированного скользящего среднего — ARIMA. Эта модель использовалась в течение многих лет, поэтому это проверенный метод, способный давать довольно точные прогнозы.

ARIMA — это класс моделей прогнозирования временных рядов, а название является аббревиатурой от AutoRegressive Integrated Moving Average. Основой ARIMA является математическая модель, которая представляет значения временного ряда, используя его прошлые значения. Эта модель основана на двух основных характеристиках: прошлые ценности и ошибки.

В качестве главного преимущества можно выделить то, что модель имеет четкое математическое обоснование. Это делает ее одной из наиболее научно обоснованных моделей из всего множества моделей прогнозирования тенденций во временных рядах.

Еще одним преимуществом является формализованная и наиболее подробно разработанная методика, следуя которой можно подобрать модель, наиболее подходящую к каждому конкретному временному ряду. Формальная процедура проверки модели на адекватность достаточно проста, а разработанные методики по автоматическому подбору наилучшей ARIMA и вовсе значительно облегчает работу прогнозиста.

Кроме того, точечные и интервальные прогнозы следуют из самой модели и не требуют отдельного оценивания.

Один из явных недостатков моделей заключается в требовании к рядам данных: для построения адекватной модели ARIMA требуется не менее 40 наблюдений, что на практике не всегда возможно.

Вторым серьезным недостатком является неадаптивность моделей авторегрессии: при получении новых данных модель нужно периодически переоценивать, а иногда — переидентифицировать.

Третий недостаток заключается в том, что построение удовлетворительной модели ARIMA требует больших затрат ресурсов и времени. Само же построение модели требует большого опыта со стороны прогнозиста [1.10].

Таким образом, построение модели ARIMA является оптимальным и математически обоснованным способом для прогнозирования при наличии большого количества данных. Поэтому именно этот метод будет применен в практической части курсовой работы.