29-10-2014_11-40-41 / Методические указания к практическому занятию ___6 (ОТС)

Методические указания к практическому занятию №6 по дисциплине «Общая теория связи»

Дискретный канал

Красноярск

Золотухин, В.В.

Методические указания к практическому занятию №6 «Дискретный канал» по дисциплине «Общая теория связи» / В.В. Золотухин. – Красноярск, 2013. – 9 с.

В данных методических указаниях к практическим занятиям по дисциплине «Общая теория связи» студентам предстоит изучить и закрепить методы математического описания дискретного канала, в частности, методы расчёта вероятности ошибки в дискретном канале.

Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 210700.62.

© В.В. Золотухин

вероятности P(b /a), приведённые во второй строке табл. 6.2. Для каждого случая запишите, чему равен вектор ошибки e и вес этого вектора ошибки t.

Продолжение таблицы 6.2

Решение:

Особенностью двоичного симметричного канала является то, что он является каналом без памяти, то есть вероятность передачи i-го бита кодовой комбинации никак не зависит от вероятности или значения предыдущих и последующих битов (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Модель двоичного симметричного канала

По этой причине условную вероятность приема кодовой комбинации b при условии передачи кодовой комбинации a согласно теореме умножения вероятностей для независимых событий можно рассчитать по следующей формуле:

n

Pn(b /a) P(bi /ai).

i 1

Таким образом, условную вероятность приема кодовой комбинации b = 00011 при условии передачи кодовой комбинации a = 10011, то есть P(00011/10011) можно рассчитать по формуле:

P(00011/10011) P(0/1) P(0/0) P(0/0) P(1/1) P(1/1) 1 4 .

При этом вектор ошибки e представляет собой кодовую комбинацию (вектор) длины n, в котором единицы на отдельных позициях означают ошибки, а нули – правильный прием. Весом вектора ошибки t называют число его ненулевых элементов или число ошибок. Для данного случая вектор ошибки будет иметь вид e 10000, а вес вектора ошибки t будет равен

1.

Задача 6.4: Определите вероятность однократной, двукратной и трехкратной ошибок (t = 1, 2 и 3), а также вероятность правильного приема всех битов в кодовой комбинации длиной n в двоичном симметричном канале при вероятности ошибки ε (табл. 6.3).

Таблица 6.3

Решение:

Для двоичного симметричного канала вероятность ошибки кратности t в кодовой комбинации длиной n можно рассчитать по формуле Бернулли:

Pn(t) Cnt Pn*(t) Cnt t(1 )n t .

Например, вероятность двукратной ошибки t = 2 в кодовой комбинации длиной n = 5 можно рассчитать следующим образом:

P5(t 2) C52 2(1 )5 2 C52 2(1 )3 .

Задача 6.5: Двоичный канал с памятью с тремя состояниями (K = 3) задан матрицей переходных вероятностей вида

приведённой в табл. 6.4, и вектором вероятностей ошибок в каждом из состояний 1 2 3 .

Определите среднюю вероятность ошибки pср в одном бите.

Решение:

Для примера рассмотрим двоичный канал с двумя состояниями, который задан матрицей P переходных вероятностей вида

и вероятностями ошибок в состояниях 1 и 2, равными ε1 = 10-5 и ε2 = 10-2. Для начала рассчитаем финальные вероятности состояний канала – Р1 и

Р2. Для этого необходимо по матрице переходных вероятностей записать и решить систему уравнений:

P1 P2 1

P1 P1 p11 P2 p21

P1 P1 p11 (1 P1) p21,

P1(1 p11 p21) p21.

Далее подставляем значения переходных вероятностей из матрицы P:

P1(1 0,9 0,2) 0,2,

P1 0,2/0,3 0,67,

P2 1 P1 1 0,67 0,33.

Теперь можно рассчитать среднюю вероятность ошибки:

Pe P1 1 P2 2 3,3067 10 3.

Графически такой канал принято изображать в виде направленного графа (рис. 6.4), в котором все возможные состояния канала изображаются в виде вершин графа, в то время как направленные ребра графа отображают переходы канала из одного состояния в другое. Поскольку любой переход характеризуется определенной вероятностью, очень часто на графе рядом с каждым ребром дописывается число – вероятность соответствующего перехода.

Рис. 6.4. Модель дискретного канала с памятью с двумя состояниями