Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1846

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

3.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 279 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

при начальных условиях y x0 y0 , z x0 z0 процесс нахождения решения y x и z x на i-м шаге сводится к следующим операциям.

При заданных или найденных значениях h, xi , yi , zi вычисляются последовательно:

k i h x , y , z		;	m i h x , y , z		;
1	i i i		1	i i i

k i

m i

h xi

, yi

, zi

;

k i

m i

h xi

, yi

, zi

;

, yi

k i

m i

h xi

2 , zi

;

, yi

k i

, zi

m i

;

h xi

k4i

h xi h, yi k3i , zi m3i ;

m4i

h xi

h, yi k3i , zi m3i .

Затем находят yi и zi

по формулам:

k i

2k i

2k i k i

m i

2m i

m i

Далее определяют значения функций y x и z x yi 1 yi yi ; zi 1 zi zi .

на (i+1)-м шаге:

Глава 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЁТА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

§11. Матричная форма определения перемещений

В стрежневых системах типа балок, рам и так далее, стрежни (элементы) которых в основном работают на изгиб, перемещения от внешних нагрузок определяют по формуле Мора с учётом одного интеграла:

кр	M M
кр	kEI	p dz .	(1)

Здесь k номер сечения, в котором определяется перемещение.

Для случая, когда Мк линейная функция, а функция М р / EI не выше

третьей степени, интеграл (1) вычисляется по формуле Например, для i-го участка длиной li формула (1) получает вид:

M k M p

M ika M ipa

M ikcp M ipcp

M ikb M ipb

dz i

EIi

Симпсона.

(2)

Здесь Mika , Mikcp , Mikb значения изгибающих моментов по концам и в

середине участка l	от единичной обобщённой силы; M a		, M cp , M b значе-
i		ip	ip	ip
	ния изгибающих моментов по
	концам и в середине участка li
	от	внешней		нагрузки;
	EIia , EIicp , EIib			значения
	жёсткостей в начале, середине
	и конце участка li .
	В	матричной		форме
	выражение (2) имеет вид:

gia

Mipa

kp Mik , Mik

, Mik

4gi

Mip

6EI0

Mip

Здесь g j

EI0

, j=a, cp, b;

жёсткость, принятая за эталон.

EIij

Формулу (3) запишем в компактной форме:

kp Mik bi Mip .

(3)

(4)

Здесь Mik матрица-строка (транспонированный столбец) влияния

изгибающих моментов на i-м участке от обобщённой единичной силы, проложенной в k-м сечении:

	a cp	b	(5)
Mik Mik ,Mik		,Mik ;

bi матрица податливости i-го участка:

gia

;

(6)

4gi

6EI0

вектор

изгибающих

моментов

на

i-м

участке

от внешней

нагрузки:

Mipa

(7)

Mip Mipcp

Mip

участка gia gicp gib

При постоянной

жёсткости

по

длине

i-го

матрица податливости bi

принимает вид:

(8)

6EIi

Если жёсткость постоянна и обе функции

M ika

M ipa

линейны,

то

M ikcp 1 M ika

M ikb

;

M ipcp

M ipa M ipb ;

gi 1.

При

этом

формула

(3)

получает вид:

Mipa

Mik

, Mik

(9)

6EIi 1

Mip

Здесь b

матрица податливости.

6EIi

Кроме того, в случае, когда i-м участке один из концевых моментов равен нулю (например, при шарнирном опирании), порядок матрицы податливости понижается до первого:

bi 6EIli i 2 .

Для системы, состоящей из т элементов (стержней), при вычислении перемещения kp следует выполнить суммирование по всем стержням:

kp Mik bi

(10)

i 1

M1k b1

1 p M2k b2

2 p ... Mmp bm

mp Lmk B

Здесь Lmk

матрица-строка влияния изгибающих моментов в заданной

системе от обобщённой силы xk

приложенной в

k м сечении по

направлению искомого перемещения:

Lmk M1k ,

M2k ,...,

Mmk ;

(11)

B квазидиагональная матрица податливости всей системы,

0 ...

b2 ...

(12)

;

...

... ... ...

0 ...

p вектор изгибающих моментов в заданной системе от внешних сил,

1 p ,

2 p ,...,

mp T .

(13)

Справедливость соотношения (10) покажем для системы, состоящей из

двух

m 2

элементов

разной

жёсткости,

когда

эпюры моментов

M k и

M p линейны. Имеем:

kp Mik bi

M1k b1

1 p M2k b2

2 p

i 1

M1ap

M1k

, M1k

6EI

1 p

M 2ap

M 2k , M2k

6EI2 1

M 2 p

M1ap

2M1k

M1k , M1k

2M1k

6EI1

(а)

M1 p

M 2ap

2M2k M 2k , M2k 2M2k

6EI2

M 2 p

6EIl1 1 2M1ak M1bk M1ap M1ak 2M1bk M1bp

6EIl2 2 2M2ak M 2bk M 2ap M 2ak 2M 2bk M 2bp .

Сдругой стороны,

kp Lmk B Mp

M a

6EI

M b

1 p

b a

1 p

M1k , M1k , M2k , M

M2 p

6EI2

M2 p

2M1ak M1bk

M1ak 2M1bk 0 0,

0 0,

6EI1

0 0	l2	2M2ak M2bk , 0 0	l2	M2ak

	6EI2		6EI2

6EIl1 1 2M1ak M1bk M1ap 6EIl1 1 M1ak 2M1bk

6EIl2 2 2M2ak M2bk M2ap 6EIl2 2 M2ak 2M

		M1ap
b		M1bp
b		M1bp
2M2k		a
	M2 p
		b
		b
	M2 p

M1bp

M2bp .

		(б)

Очевидно, что соотношения (а) и (б) равны. Этим доказывается справедливость соотношения (10).

При одновременном вычислении перемещений по "r" направлениям, то

есть при нахождении вектора перемещения				p матричная запись может
быть представлена в виде:
	p Lm B		p .	(14)
		M

Здесь Lm транспонированная матрица влияния изгибающих

моментов, имеющая r строк, состоящих из ординат эпюр моментов от обобщённых сил x1 x2 ... xr 1;

M	M	...	M
11	21		m1
		...
M12	M22	...	Mm2	;	(15)
Lm		... ...		;	(15)
... ...		... ...
	M2r	...	Mmr
M1r	M2r	...	Mmr

B квазидиагональная матрица податливости всей системы, её структура определяется формулой (12);

M p вектор изгибающих моментов в заданной системе от внешней нагрузки, его структура определяется формулой (13);

p вектор искомых перемещений,

	1 p

p	2 p .	(16)
	....


	rp

Здесь ip , i 1,2,...,r перемещение по i му направлению.

Матричный метод позволяет одновременно вычислять перемещения системы по "r" направлениям от действия "t" совокупностей нагрузок. При этом перемещения будут определяться по формуле (14), в которой матрица влияния будет задаваться соотношением (15), матрица податливости – соотношением (12), а вектор изгибающих моментов и вектор искомых перемещений будут записываться в виде матриц:

1 p

...

1 p

...

2 p

;

(17)

M p

...

... ...

...

1 p

...

1 p

2 p1

2 p2

...

2 pt

(18)

... ...

rp1

rp2

...

rpt

Перемещение в ферме, то есть стержневой системе, элементы которой работают в основном на осевое растяжение (сжатие), нагруженной узловой внешней нагрузкой, в матричной форме имеет вид:

p LN BN

(19)

Здесь LN			транспонированная матрица нормальных усилий в стержнях
			фермы от обобщённых единичных сил;
		P	вектор внутренних		усилий		в	стержнях		фермы от	внешней
	N	P	вектор внутренних		усилий		в	стержнях		фермы от	внешней
нагрузки;
BN матрица податливости стержней фермы,
						1	0	...	0

						EA
						1	1
						0	1	...	0
			B							.
			B	N			EA			.	(20)
				N			2
							... ... ...
					...		... ... ...
						0	0	...	1
						0	0	...	EA
									EA
									n

Здесь n количество стержней в ферме.

При расчёте перемещений в матричной форме общая погрешность результата будет складываться из погрешности метода Симпсона для численного вычисления интеграла и погрешности округлений при выполнении арифметических вычислений.

П р и м е р .

Найти горизонтальное перемещение сечения 1 и угол поворота сечения 6 в портальной раме на рис. 22 [28].

Р е ш е н и е .

Разобьём раму на 4 уча-

стка: I, II, III и IV. Поскольку первый участок нагружен распределённой нагрузкой, наметим на нём три сечения:

1, 2, 3; на втором, третьем и четвёртом участках наметим по два сечения: 3, 4; 4, 5 и 5, 6.

На основании условий задачи имеем m 4, r 2 .

Строим грузовую и единичные эпюры моментов (рис. 23).

Рис. 22

Формируем матрицу податливости системы:

													b1				0				0			0
										B				0			b2				0			0
										B				0			0			b3				0		.
														0			0			b3				0
														0			0				0
Здесь														0			0				0		b4
Здесь
				l	1				0 0								6		1				0 0									1	1		0 0
				l													6															1
b		1					0		4 0											0 4 0														0 4 0 ;
b		6EI					0		4 0							6	4EI			0 4 0											4EI			0 4 0 ;
	1	6EI														6	4EI														4EI
		1					0		0 1											0			0 1											0	0 1
							0		0 1											0			0 1											0	0 1
b				l2		2			1				3				2 1					1				4					2
	2			l2									3									1										;
																																;
				6EI2				1	2			6EI										4EI					2			4
				6EI2				1	2			6EI					1 2					4EI					2			4
b			l3			2			1				3				2 1						1			4				2
	3		l3										3										1									;
																																;
				6EI3				1	2		6EI											4EI					2			4
				6EI3				1	2		6EI						1 2					4EI					2			4
b				l4		2			1						3			2 1								1		2 1
	4			l4											3											1							.
																																	.
				6EI4				1	2																4EI				1 2
				6EI4				1	2			6 2EI 1 2													4EI				1 2

Рис. 23

Запишем матрицу влияния изгибающих моментов от обобщённых единичных сил:

0		3	6	6	6	6	3	3	0
Lm	0	0	0	0	1	1	1	1	1	.

Здесь первая строка – это ординаты эпюры моментов M1 ; вторая строка – это ординаты эпюры моментов M 2 в пронумерованных сечениях заданной

стержневой системы (рамы).

Формируем матрицу влияния изгибающих моментов от грузового воздействия:

				p	0	9	36		36	96	96		48		48			0 T .
		M		p	0	9	36		36	96	96		48		48			0 T .
Вектор искомых перемещений имеет вид:

														p		1 p .

На основании соотношения (14) получаем:																2 p
На основании соотношения (14) получаем:
			1 p			0 3 6; 6 6; 6 3;									3 0
															1 1
			2 p			0 0 0; 0 1; 1 1;									1 1
			1 0			0	0	0	0	0	0	0			0
				0	4	0	0	0	0	0	0	0			9
				0	4	0	0	0	0	0	0	0			9
				0	0	1	0	0	0	0	0	0			36
				0	0	1	0	0	0	0	0	0			36
	1			0	0	0	4	2	0	0	0	0			36			1	2349
																			2349
				0	0	0	2	4	0	0	0	0			96					.
				0	0	0	2	4	0	0	0	0			96				366	.
	4EI			0	0	0	0	0	4	2	0	0			96		EI		366
				0	0	0	0	0	4	2	0	0			96
				0	0	0	0	0	2	4	0	0			48
				0	0	0	0	0	0	0	2	1			48
				0	0	0	0	0	0	0	2	1			48
				0	0	0	0	0	0	0	1	2			0
				0	0	0	0	0	0	0	1	2			0

Таким		образом, горизонтальное перемещение сечения 1 равно:
1 p	2349	; угол поворота сечения 6 равен: 2 p	366 .
	EI		EI

§12. Расчёт стержневых систем методом сил в матричной форме

Начальная стадия расчёта статически неопределимых стержневых систем в матричной форме, связанная с определением степени статической неопределённости и выбором основной системы, ничем не отличается от расчёта обычным способом.

Система канонических уравнений метода сил в матричной форме имеет вид:

p 0 .

(1)

Здесь A матрица перемещений в основной системе,

				...
		11	12				1n
	A	21	22	...			2n	;
				...			...
	... ...			...			...
		n1	n2	...			nn
	вектор неизвестных усилий,					X1		X 2 ... X n T ;
X	вектор неизвестных усилий,				X	X1		X 2 ... X n T ;

p вектор перемещений в основной системе от внешней нагрузки,

p 1 p

2 p

... np T ;

nстепень статической неопределимости системы.

Вматрице перемещений ij перемещение по направлению i от дей-

ствия единичной силы, приложенной по направлению j.

Матрицу перемещений A можно представить в следующем виде:

A L0m T B L0m .

(2)

Здесь L0m матрица влияния внутренних усилий (изгибающих моментов

для стержневых систем, элементы которых работают преимущественно на изгиб) в основной системе от единичных сил, приложенных по направлению «лишних» связей

X1 X 2 ... X n 1,

	M11	M12	...	M1n
L0		M22	...		;
L0	M21	M22	...	M2n	;
m	...	...	...	...

		Mn2	...
	Mn1	Mn2	...	Mnn

т – количество элементов (стержней) в стержневой системе; В – матрица податливости отдельных элементов (участков), на ко-

торые разбивают заданную стержневую систему;

Вектор перемещений p в основной системе от нагружения внешними силами можно записать так:

p L0m T B L0mp		.	(3)
	P

Здесь L0mp матрица влияния внутренних усилий (изгибающих моментов)

в основной системе от единичной внешней нагрузки. P вектор-столбец внешней нагрузки на систему.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 279 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20243.24 Mб21841.pdf
#
16.06.20243.26 Mб31842.pdf
#
16.06.20243.27 Mб21843.pdf
#
16.06.20243.27 Mб01844.pdf
#
16.06.20243.28 Mб01845.pdf
#
16.06.20243.28 Mб21846.pdf
#
16.06.20243.28 Mб01847.pdf
#
16.06.20243.28 Mб11848.pdf
#
16.06.20243.29 Mб01849.pdf
#
16.06.2024218.05 Кб0185.pdf
#
16.06.20243.29 Mб01850.pdf

	M11	M12	...	M1n
L0		M22	...		;
L0	M21	M22	...	M2n	;
m	...	...	...	...

		Mn2	...
	Mn1	Mn2	...	Mnn

	M11	M12	...	M1n
L0		M22	...		;
L0	M21	M22	...	M2n	;
m	...	...	...	...

		Mn2	...
	Mn1	Mn2	...	Mnn

	M11	M12	...	M1n
L0		M22	...		;
L0	M21	M22	...	M2n	;
m	...	...	...	...

		Mn2	...
	Mn1	Mn2	...	Mnn