1846

Максимальные изгибающие моменты также возникают в центре плас-

Приближённое значение отличается от точного max M 0,0479q a2 на

11,7 %.

Таким образом, и при расчёте тонких пластин методом Ритца – Тимошенко точность определения перемещений выше точности определения изгибающих моментов. Вычисление поперечных сил показывает, что точность их определения ещё ниже.

§21. Метод Бубнова – Галёркина

Метод Бубнова – Галёркина является одним из методов приближённого решения краевых задач для дифференциальных уравнений прикладной теории упругости. Его идея была высказана кораблестроителем проф. И.Г.Бубновым в 1913 году. Независимо от него этот метод был широко использован академиком Б.Г.Галёркиным в 1915 году при решении задач прикладной теории упругости.

Метод Бубнова – Галёркина основан на свойстве ортогональных функций 0 x1, x2 ,..., xm , 1 x1, x2 ,..., xm ,..., n x1, x2 ,..., xm обращать в нуль интеграл от произведения любых двух различных функций этого семейства на заданном промежутке x1, x2 ,..., xm S :

Здесь S область решения краевой задачи.

С формально-математической точки зрения этот метод состоит в следующем. Пусть дано дифференциальное уравнение

Здесь символом L обозначен дифференциальный оператор уравнения. Например, для стержня, находящегося в условиях плоского поперечного изгиба,

201

для изгиба тонких пластин

Решение дифференциального уравнения (2) будем искать в виде следующего ряда:

нию; f j x1, x2 ,..., xm координатные (базисные) функции, которые

задаём так, чтобы они удовлетворяли всем (кинематическим и силовым) граничным условиям.

Вполне понятно, что уравнение (2) с решением (6) в самом общем случае не будет равно тождественно нулю, то есть L x1, x2 ,..., xm 0. В каждой

точке области решения задачи S величина L x1, x2 ,..., xm будет иметь

своё значение, отличное, вообще говоря, от нуля. Эту величину называют

функцией-ошибкой.

S

Не имея такой возможности, но стремясь к минимальной величине функции-ошибки, потребуем, чтобы она (функция-ошибка) была ортого-

S

Здесь i 1, 2, ..., N .

Для линейного дифференциального оператора (2)

L x1, x2 ,..., xm j L fi x1, x2 ,..., xm .

j

202

В силу этого, после подстановки решения (6) в уравнение (8) и замены интеграла от суммы суммой интегралов, получим систему линейных

Решение системы уравнений (9) и даёт искомые коэффициенты j

разложения (6).

Если уравнение (2) нелинейное, то и система (9) относительно j также

будет нелинейной.

Методу Бубнова – Галёркина можно дать вариационную трактовку, если задача, описываемая исходным дифференциальным уравнением (2), допускает вариационную постановку. Действительно, рассмотрим, например, линейный дифференциальный оператор для изгиба пластин (5).

Функция D 4w x, y q x, y представляет собой проекцию на ось Z всех

внешних и внутренних сил, действующих на бесконечно малый элемент пластины. Функция прогибов w x, y есть перемещение в направлении той

же оси. Значит, функции fi x, y тоже являются перемещениями в направ-

лении оси Z и их вполне можно считать возможными перемещениями. Следовательно, уравнения Бубнова – Галёркина (8) приближённо выражают равенство нулю работы всех внешних и внутренних сил в пластине на возможных перемещениях.

Таким образом, метод Бубнова – Галёркина, как и метод Ритца – Тимошенко, исходит из принципа возможных перемещений, поэтому оба метода равноправны. В обоих случаях аппроксимирующую функцию необходимо выбирать так, чтобы она удовлетворяла геометрическим граничным условиям. Выполнение статических условий необязательно.

Так как уравнение (8) можно трактовать как выражение принципа возможных перемещений, то в качестве базисных функций f j x1, x2, ..., xm , в

203

зависимости от смысла дифференциального оператора L, следует брать не сами функции f j , а какую-либо производную от функции f j так, чтобы

подынтегральное выражение в формуле (8) давало элементарную работу. Опыт показывает, что такой подход обеспечивает большую точность при удержании одного и того же числа членов ряда.

Рассмотрим пример использования метода Бубнова – Галёркина для расчёта изгибаемого стержня [24].

П р и м е р 1 .

Определить наибольший прогиб и максимальные напряжения, возникающие под действием равномерно распределённой нагрузки интенсивностью q в консольной балке длиной l с площадью поперечного

сечения A (рис. 100). Р е ш е н и е .

Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня имеет вид:

В качестве функции z , см. формулу (6), примем ряд:

и в дальнейшем ограничимся одним (первым) членом этого ряда, то есть

204

Таким образом, функция

В соответствии с процедурой Бубнова – Галёркина, подставляем выражение (г) в уравнение (а), умножаем результат на функцию (д) и интегрируем полученное произведение по z от нуля до l :

В соответствии с формулой (г)

Найдём максимальное нормальное напряжение:

Сопоставляя полученные результаты с результатами решения данной задачи методом Ритца – Тимошенко, видим, что точность вполне удовлетворительная.

Рассмотрим пример использования метода Бубнова – Галёркина для расчёта тонкой пластины, находящейся в условиях изгиба [25].

П р и м е р 2 .

Прямоугольная пластина размером 2a на 2b и толщиной h защемлена на краях x a и свободно опирается на краях y b. Нагрузка – рав-

номерно распределённое давление интенсивностью q . Определить прогиб

в центре пластины, если коэффициент поперечной деформации материала пластины 0,3.

205

Рис. 101

Легко видеть, что условия на контуре пластины при этом выполняются. Подставим уравнение (б) в дифференциальное уравнение изогнутой

срединной поверхности пластины:

206

Таким образом, уравнение изогнутой срединной поверхности пластины (а) получает вид:

соотношения (в), будет равен w0 . Численные расчёты показывают, что:

Сопоставление результатов показывает, что точность решения, полученного по методу Бубнова – Галёркина, вполне удовлетворительна.

Метод Бубнова – Галёркина можно также с уверенностью применять и при определении напряжений, возникающих в пластинах. При этом желательно, однако, решать задачу, по крайней мере, во втором приближении, то есть сохранять в разложении (6) не менее двух членов ряда.

§22. Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) – основной метод современной строительной механики и механики деформируемого твёрдого тела, лежащий в основе подавляющего большинства современных программных комплексов, предназначенных для выполнения расчётов строительных конструкций на ЭВМ.

Метод конечных элементов впервые был применён в инженерной практике в начале 50-х гг. XX в. Первоначально он развивался по двум независимым один от другого направлениям – инженерному и математическому.

207

На раннем этапе формулировки МКЭ основывались на принципах строительной механики. Позднее, когда были сформулированы основы метода в вариационной постановке, стало возможным распространение его на другие задачи механики деформируемого твёрдого тела: оптимальное проектирование, учёт нелинейного поведения, динамику конструкций и т.п.

Развитие МКЭ шло параллельно с эволюцией современных информационных технологий в различных областях науки и инженерной практики.

Значительный вклад в разработку МКЭ был сделан Дж. Аргирисом. Им впервые дана общая матричная формулировка расчёта стержневых систем на базе фундаментальных энергетических принципов, определена матрица податливости, а также введено понятие матрицы жёсткости. Работы Дж. Аргириса и его сотрудников, опубликованные в период 1954–1960 гг., стали отправной точкой для матричной формулировки известных численных методов и применения ЭВМ в расчётах конструкций.

Для развития МКЭ особое значение имели вариационные принципы механики и математические методы, основанные на этих принципах. Дискретизацию задачи на основе вариационного метода Ритца впервые в 1943 г. применил Р. Курант. Лишь в 1950-е гг. появились аналогичные работы Ж. Поли, Ж. Герша и др.

Первая работа, в которой была изложена современная концепция МКЭ, относится к 1956 г. Американские учёные М. Тэрнер, Р. Клафф, Г. Мартин

иЛ. Топп, решая плоскую задачу теории упругости, ввели конечный элемент треугольного вида, для которого сформировали матрицу жёсткости

ивектор узловых сил. Название метод конечных элементов ввёл в

1960 г. Р. Клафф. В период 1960–1965 гг. опубликованы работы, в которых на основе вариационных принципов получены матрицы жёсткости конечных элементов для решения задач изгиба плит, тонких оболочек, массивов. Среди них следует отметить работы Р. Мак-Лейа, Р. Мелоша, Дж. Бесселина, Ф. де Веубеке, М. Джонса, Т. Пиана. В 1967 г. издана первая монография о МКЭ О. Зенкевича и И. Чанга, в которой рассмотрены основы метода и область его применения. К семидесятым годам ХХ века относится появление математической теории конечных элементов. Здесь можно выделить труды Р. Галлагера, Ж. Деклу, Дж. Одена, Г. Стренга, Дж. Фикса, А. Розина и др.

Метод конечных элементов, как и многие другие численные методы, основан на представлении реальной конструкции её дискретной моделью и замене дифференциальных уравнений, описывающих напряжённодеформированное состояние сплошных тел, системой алгебраических уравнений. Вместе с тем метод конечных элементов допускает ясную геометрическую, конструктивную и физическую интерпретацию.

Метод конечных элементов в математическом плане относится к группе вариационно-разностных. Устойчивость, сходимость и точность метода в общем случае ещё не имеют строгого математического доказательства. Правильность работы созданных алгоритмов и программ, реализующих

208

метод конечных элементов, проверяют на известных точных решениях либо путём эксперимента. На практике получают суждение о точности и сходимости метода, оценивая результаты расчётов с его использованием по мере увеличения числа вкладываемых в рассматриваемую область конечных элементов (рис. 102). Если по мере увеличения числа узловых точек решение стремится к определённым результатам, то это в некоторой мере служит гарантией возможности достижения нужной точности.

Рис. 102

В методе конечных элементов область, где ищется решение, разбивается с помощью сетки, в общем случае неравномерной, на отдельные подобласти – конечные элементы. Конечный элемент может иметь произвольную форму: треугольник, прямоугольник, ромб и так далее – для плоской задачи; параллелепипед, тетраэдр, пирамида и так далее – для пространственной задачи.

Искомая непрерывная функция, определяющая напряжённо-деформи- рованное состояние тела (функция перемещений, функция напряжений), аппроксимируется кусочно-непрерывной, определённой на множестве конечных элементов. Аппроксимация может задаваться произвольным образом, но чаще всего для этих целей используются полиномы, которые подбираются так, чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах на границах элементов.

При реализации метода конечных элементов возможны два подхода. 1. Решение в напряжениях.

Решение в напряжениях заключается в задании поля возможных напряжений. В этом случае к узловым точкам относят напряжения

ix , iy , τxyi (плоская задача) и вводят предположения об их распределении,

вчастности линейном, в переделах каждого конечного элемента. Далее определяют деформации и перемещения как функции узловых напряжений. Используя потом условие минимума дополнительной энергии, приходят к системе линейных алгебраических уравнений относительно узловых напряжений. Далее решается обратная задача теории упругости, когда в каждой точке тела (в каждом узле) известны напряжения. Подобный подход является аналогом классического метода сил строительной механики.

209

2.Решение в перемещениях.

Решение в перемещениях заключается в задании поля возможных перемещений. В этом случае каждому i-му узлу становятся в соответствие перемещения ui и vi . Далее вводится предположение о линейном распределе-

нии перемещений в пределах каждого конечного элемента. Имея выражения для перемещений, нетрудно найти деформации и напряжения. Минимизируя далее функцию полной потенциальной энергии деформируемого тела, придём к системе линейных алгебраических уравнений, определяющих неизвестные (искомые) перемещения узлов. Далее решается обратная задача теории упругости, когда в каждой точке тела (в каждом узле) известны перемещения. Полученная система алгебраических уравнений является аналогом канонических уравнений метода перемещений строительной механики.

3. Смешанный метод.

Возможно построение такого решения, при котором частью неизвестных являются перемещения узловых точек, а частью – напряжения в узлах. В этом случае получаемая система алгебраических уравнений является аналогом смешанного метода строительной механики.

В методе конечных элементов полную энергию системы представляют как сумму энергий, каждую из которых относят к соответствующему конечному элементу. Такое отношение энергии к конкретному по форме элементу даёт возможность получить сравнительно простые формулы, исключающие необходимость проведения достаточно громоздких вычислений в каждом отдельном случае.

Основное уравнение метода конечных элементов

Рассмотрим сплошное, однородное, изотропное, упругое тело, находящееся в равновесии под действием объёмных F и поверхностных p

сил (рис. 103). Разобьём это тело на отдельные подобласти (конечные элементы) одинаковой формы и, если это необходимо, разных размеров так, чтобы все внешние силы были приложены в вершинах элементов.

210