1846

Несмотря на трудоёмкость, метод Леверрье обладает рядом достоинств: несложная схема вычислений и отсутствие исключительных случаев.

П р и м е р .

Методом Леверрье найти характеристический полином матрицы [9]

Вычисляем суммы элементов главных диагоналей полученных матриц: s1 1 1 1 1 4;

s2 30 18 18 30 96;

s3 208 148 148 208 712;

s4 2108 1388 1388 2108 6992.

По формулам (13) найдём: p1 s1 4;

p2 12 s2 p1s1 12 96 4 4 40;

p3 13 s3 p1s2 p2s1 13 712 4 96 40 4 56;

p4 14 s4 p1s3 p2s2 p3s1 14 6992 4 712 40 96 56 4 20.

61

Витоге характеристический полином исходной матрицы имеет вид:

4 4 3 40 2 56 20 =0.

После развёртывания определителя (4) корни характеристического полинома (5) – собственные значения матрицы A – можно находить методами, предназначенными для решения нелинейных уравнений.

Задача на собственные значения легко решается для некоторых простых форм матрицы A : диагональной, трехдиагональной, треугольной или почти треугольной. В этих случаях определитель (4) также будет иметь диагональную, трехдиагональную и так далее структуру; характеристический полином (5) выродится в произведение диагональных элементов, то есть собственные значения будут равны диагональным элементам матрицы A :

i aii , i 1, 2, ..., n . (14)

Многие численные методы решения задач на собственные значения основаны на приведении матрицы A к одной из перечисленных выше простых форм с помощью преобразований подобия, поскольку преобразования подобия не меняют собственных значений матрицы.

I. Метод Якоби – приведение матрицы к почти диагональному виду.

II. Метод Гивенса – приведение симметричных матриц к трехдиагональному виду.

III. Метод Хаусхолдера – приведение симметричных матриц к трехдиагональному виду.

IV. Метод LR-преобразования – приведение матрицы квазидиагональному виду.

V. Метод QR-преобразования – приведение матрицы к кваздиагональному виду.

З а м е ч а н и е . Матрицы A и B называются подобными, если суще-

ствует такая не особая матрица T , что A T 1 B T. При этом говорят, что матрица A получается из матрицы B преобразованием подобия.

Приложения в механике деформируемого твёрдого тела

Многие задачи механики деформируемого твёрдого тела математически сводятся к решению задач линейной алгебры.

1. Строительная механика.

Расчёт рам методом ”сил”, методом ”перемещений”, ”смешанным методом” сводятся к решению полных систем линейных алгебраических уравнений.

Расчёт стержневых систем на устойчивость (определение критических сил), расчёт на колебания (определение частоты собственных колебаний) сводится к решению однородных систем линейных алгебраических уравнений – определение собственных значений.

62

2. Сопротивление материалов.

Расчёт перемещений в балках и балках на упругом основании методом конечных разностей (краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений) сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.

3. Теория упругости.

Решение плоской задачи теории упругости в перемещениях или напряжениях методом конечных разностей сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей коэффициентов.

Расчёт тонких плит на изгиб методом конечных разностей сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей коэффициентов.

Расчёт конструкций методом конечных элементов сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений с клеточной матрицей коэффициентов.

§8. Приближение функций

Задача о приближении функций ставится следующим образом: данную функцию f x требуется заменить обобщённым полиномом Qm x задан-

c0 c1 ... cm 0 .

Термин «отклонение двух функций» понимается по-разному. При этом мы получаем различные типы задач теории приближений: интерполирование, среднеквадратичное приближение, равномерное приближение и так далее.

63

Рассмотрим аппроксимирующий полином в виде степенного полинома п-го порядка:

Степенной аппроксимирующий полином (4) на указанном множестве точек x0 , x1, ..., xn с коэффициентами, определёнными из системы (3) при

Полином Лагранжа (5) может быть использован для приближенного определения нетабличных значений функции, заданной таблично (рис. 10):

xi , yi ; xi 1, yi 1; xk .

определении коэффициента продольного изгиба по известной гибкости. Недостатки интерполяционного приближения функции:

1)При n приходится решать систему (3) большого порядка.

2)При n работать с полиномом Qm x становится неудобно.

64

3) При m n полином Qm x на множестве X x0 , x1, ..., xn начинает осциллировать (рис. 11):

Рис. 11

П р и м е р .

Построить интерполяционный полином L x , совпадающий с функцией

f x 3x 1 x 1 в точках x0 1, x1 0, x2 1 [10]. Р е ш е н и е .

Полагаем L x a0 a1x a2 x2 . Для определения коэффициентов a0 , a1 , a2 имеем систему линейных алгебраических уравнений вида:

65

II. Точечное квадратичное аппроксимирование функций.

В этом случае полином Qm x , приближающий данную функцию f x ,

i 0

Здесь m n .

Рис. 12

Вполне понятно, что среднеквадратичное отклонение Sm будет

Коэффициенты ck , k 0,1, ..., m , надо подобрать так, чтобы среднеквадратичное отклонение Sm было минимальным. Из условия минимума функции (7) получаем систему уравнений:

66

Учитывая соотношение (1), перепишем систему (8) в явном виде:

n

Вводя сокращённые обозначения j , k j xi k xi , систему (9)

i 0

приводим к виду:

Решая систему линейных алгебраических уравнений (10), находим коэффициенты обобщённого полинома (1): c1 ,c2 ,..., cm .

Недостатком рассматриваемого метода приближения функций является то обстоятельство, что если m 5 , то система (10) становится плохо обусловленной.

Определение. Функции x и x называются ортогональными на множестве X x0 , x1, ..., xn , если

i 0

Ортогональные функции являются, вообще говоря, линейно независимыми.

Для ортогональных функций система (10) приводится к диагональной форме, следовательно:

k xi k xi i 0

67

Коэффициенты ck , k 0, 1, ..., m , определяемые формулами (12), называются коэффициентами Фурье функции f x . Доказано, что обобщённый

полином с коэффициентом Фурье данной функции обладает наименьшим квадратичным отклонением от этой функции по сравнению со всеми другими обобщёнными полиномами того же порядка "m".

Свойства обобщённых полиномов Qm x с коэффициентами Фурье:

1. При увеличении числа слагаемых младшие коэффициенты ck оста-

ются неизменными.

2. При увеличении "m" квадратичная погрешность монотонно убывает, то есть присоединение новых слагаемых в полиноме Qm x увеличивает

точность аппроксимации.

Примерами ортогональных функций являются, в частности, полиномы Чебышева, ортогональные на системе равноотстоящих точек; полиномы Лежандра, ортогональные на отрезке [-1,1]; полиномы Эрмита; полиномы Лагерра.

П р и м е р .

Методом наименьших квадратов подобрать аппроксимирующий полином второй степени Qm x a0 a1x a2 x2 для данных [10]:

Ре ш е н и е .

Внашем случае m 2, n 4 . Следовательно, система (10) имеет вид:

a0 0 , 0 a1 1, 0 a2 2 , 0 f , 0 ; a0 0 , 1 a1 1, 1 a2 2 , 1 f , 1 ; a0 0 , 2 a1 1, 2 a2 2 , 2 f , 2 .

4

0 , 0 0 xi 0 xi 0 x0 0 x0 0 x1 0 x1

i 0

0 x2 0 x2 0 x3 0 x3 0 x4 0 x4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5;

4

1, 1 1 xi 1 xi 1 x0 1 x0 1 x1 1 x1

i 0

1 x2 1 x2 1 x3 1 x3 1 x4 1 x4

x0 x0 x1 x1 x2 x2 x3 x3 x4 x4

0,782 1,562 2,342 3,122 3,812 32,768;

68

4

2 , 2 2 xi 2 xi 2 x0 2 x0 2 x1 2 x1

i 0

2 x2 2 x2 2 x3 2 x3 2 x4 2 x4

x02 x02 x12 x12 x22 x22 x32 x32 x42 x42

0,784 1,564 2,344 3,124 3,814 341,750;

4

1, 0 0 , 1 1 xi 0 xi 1 x0 0 x0 1 x1 0 x1

i 0

1 x2 0 x2 1 x3 0 x3 1 x4 0 x4

x0 1 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1

0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 11,610;

4

2 , 0 0 , 2 2 xi 0 xi 2 x0 0 x0 2 x1 0 x1

i 0

2 x2 0 x2 2 x3 0 x3 2 x4 0 x4

x02 1 x12 1 x22 1 x32 1 x42 1

0,782 1,562 2,342 3,122 3,812 32,768;

4

2 , 1 1, 2 2 xi 1 xi 2 x0 1 x0 2 x1 1 x1

i 0

2 x2 1 x2 2 x3 1 x3 2 x4 1 x4

x02 x0 x12 x1 x22 x2 x32 x3 x42 x4

0,783 1,563 2,343 3,123 3,813 102,762;

4

f , 0 y xi 0 xi y x0 0 x0 y x1 0 x1

i 0

y x2 0 x2 y x3 0 x3 y x4 0 x4

2,50 1 1,20 1 1,12 1 2,25 1 4,28 1

11,350;

4

f , 1 f xi 1 xi y x0 1 x0 y x1 1 x1

i 0

y x2 1 x2 y x3 1 x3 y x4 1 x4

2,50 x0 1,20 x1 1,12 x2 2,25 x3 4,28 x4

2,50 0,78 1,20 1,56 1,12 2,34 2,25 3,12 4,28 3,81

29,770;

69

4

f , 2 f xi 2 xi y x0 2 x0 y x1 2 x1

i 0

y x2 2 x2 y x3 2 x3 y x4 2 x4

2,50 x02 1,20 x12 1,12 x22 2,25 x32 4,28 x42

2,50 0,782 1,20 1,562 1,12 2,342 2,25 3,122 4,28 3,812

94,604.

Таким образом, система уравнений для определения коэффициентов a0 , a1 , a2 имеет вид:

5a0 11,61a1 32,768a2 11,350; 11,61a0 32,768a1 102,761a2 29,770; 31,768a0 102,761a1 341,750a2 94,604.

Решив эту систему, получим: a0 5,045; a1 4,043; a2 1,009. Следовательно, искомый полином есть

Qm x 5,045 4,043x 1,009x2 .

III. Равномерное приближение функций.

В теории приближения функций вводится понятие о равномерном приближении (рис.13). В этом случае под абсолютным отклонением на отрезке a, b [a, b] обобщённого полинома Qm x от данной непрерывной

функции f x понимается число

Здесь – произвольное малое, заранее заданное положительное число. В этом случае говорят, что обобщённый полином Qm x на отрезке a, b

равномерно приближает функцию f x с точностью до .

При решении задачи о равномерном приближении функции f x в ка-

честве обобщённого поли-

нома Qm x следует брать полиномы Чебышева.

Рис. 13

70