1846

Метод прогонки является точным методом решения систем линейных алгебраических уравнений специального вида, таких, у которых матрица коэффициентов A является трёхдиагональной:

Решение системы с трёхдиагональной матрицей коэффициентов выполняется с использованием рекуррентных соотношений. Для их получения выполним следующее.

Таким образом, для i-го уравнения будем иметь:

вычисляются через ki 1 и mi 1 . Значит, зная k1 и m1 (определяются из 1-го

51

Подставив (в) в последнее уравнение системы (1), получим:

С учётом (г) из рекуррентного соотношения (б) можно определить, с учётом формулы (а), все значения xi , i 1, 2, ..., n, то есть найти решение

системы (1). Процесс рекуррентного определения решения системы (1)

называется обратным ходом прогонки.

Если матрица коэффициентов системы (1) имеет диагональное преобладание, то есть ci ai bi , i 1, 2, ..., n , то метод прогонки является

устойчивым.

К системам с трёхдиагональной матрицей коэффициентов сводятся конечные разностные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности второго порядка.

Следует отметить, что симметричные матрицы A приводятся к трёхдиагональному виду путём эквивалентных преобразований. Одна из таких процедур была предложена Парлетом и Ридом в 1970г. (см. Икрамов Х.А. Численные методы для симметричных линейных систем. М.: Наука, 1988). Последовательность соответствующих эквивалентных преобразований приведена ниже:

Компактная схема трехдиагонализации предложена Аасеном 1971г. Это один из самых эффективных симметричных алгоритмов.

Метод блочной диагонализации с полным выбором использует приведение матрицы A , системы уравнений к блочно-диагональному виду с диагональными блоками первого и второго порядка (метод предложен Парлетом и Банчем в 1971г.)

Существуют и другие методы диагонализации исходной симметричной матрицы A . Например, метод нетреугольной диагонализации (Дакс и Каниэл, 1977г.)

Для систем уравнений с ленточной матрицей коэффициентов используется метод LDLT-разложения при условии, что не выполняются перестановки строк или столбцов. При этом ”ленточность” матрицы A не теряется.

52

§6. Системы однородных линейных уравнений

Если главный определитель системы (1) равен нулю, то система имеет бесчисленное множество решений среди которых могут быть и ненулевые.

Системы однородных линейных уравнений возникают при решении физических задач, причём во многих случаях искомые величины не только

составляют вектор неизвестных X x1, x2 , ..., xn T системы (1), но также

входят и в коэффициенты системы. Часть искомых величин, входящих в коэффициенты системы (1), зачастую имеют физический смысл лишь в том случае, когда решение системы (1) отлично от нуля. Таким образом, условие равенства нулю главного определителя системы (1) позволяет определить некоторые из искомых величин.

П р и м е р 1 . Устойчивость рамы.

Математически решение задачи строительной механики об определении критических сил портальной рамы, представленной на рис. 8, сводится к решению системы линейных однородных алгебраических уравнений (канонических уравнений метода перемещений):

r11z1 r12 z2 r13z3 0, r21z1 r22 z2 r23z3 0, r31z1 r32 z2 r33z3 0.

53

Поскольку продольные силы, зависящие от внешней нагрузки, связаны между собой: N2 k N1, то условие равенства нулю главного определителя

системы канонических уравнений позволяет определить усилия в стойках N1 и N2 в момент потери устойчивости.

Итак, не решая систему канонических уравнений метода перемещений, то есть не определяя угловые и линейные перемещения узлов рамы в момент потери устойчивости, находим искомые величины – значения критических сил.

П р и м е р 2 . Определение главных напряжений.

На произвольной наклонной площадке, ориентация которой задаётся нормалью с направляющими косинусами l, m, n , связь между проекциями

плоскостями координатных граней, определяется соотношениями (рис. 9):

Площадки, на которых действуют только нормальные напряжения, называются главными. Пусть площадка a, b, c главная; её ориентация в

пространстве задаётся направляющими косинусами l, m, n нормали . Поскольку площадка a, b, c главная, то касательное напряжение , действующее на этой

площадке, будет равно нулю. Тогда полное напряжение, действующее по площадке a , b, c , совпадает с направлением нормали

n xz l yz m z n.

54

Приводя в полученной системе уравнений подобные слагаемые, будем иметь:

xy y m zy n 0, (в)

xz l yz m z n 0.

Всистеме (в) определению подлежат 4 величины , l, m, n . Её можноx yx zxl

рассматривать как систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно трёх неизвестных l, m, n . Неизвестное главное

напряжение входит в коэффициенты системы (в). Главное напряжение имеет физический смысл только на некоторой площадке, ориентация

определяются главные напряжения 1 2 3 . Кстати, уравнение (г) –

третьего порядка, имеющего три вещественных корня. Подставляя эти корни по очереди в систему (в) и используя дополнительное соотношение

l2 m2 n2 1, получаем три системы линейных алгебраических уравнений для определения направляющих конусов. Каждая из этих систем определяет свой набор направляющих косинусов, задающих направление трёх нормалей к главным площадкам. В курсе теории упругости показано, что эти три нормали являются взаимно ортогональными. Таким образом, в любой точке деформированного тела имеем три взаимно перпендикулярные главные площадки, на которых действуют три главных нормальных напряжения.

Условия, при которых определитель матрицы коэффициентов однородной системы линейных алгебраических уравнений становится равным нулю, называются собственными значениями матрицы; соответствующие ненулевые решения однородной системы линейных уравнений называются

собственными векторами.

З а м е ч а н и е . Собственные векторы определяются, как правило, с точностью до постоянного множителя.

55

§7. Собственные значения и собственные векторы матриц

По определению собственные значения и собственные векторы удовлетворяют соотношениям:

Смысл выражений (1) заключается в том, что собственные векторы – это такие векторы, которые матрица преобразует в коллинеарные им векторы; при этом соответствующие им собственные значения являются коэффициентами растяжения длины исходного собственного вектора.

Для определения всех собственных значений необходимо, как это следует из системы (3), найти корни характеристического многочлена:

56

Уравнение (4) называется “вековым”.

Для больших "n" развертывание векового уравнения – уже проблема. В развёрнутом виде левая часть уравнения (4) представляет собой

полином п-й степени относительно :

n

Здесь 1 a сумма всех диагональных миноров первого порядка

1

матрицы A ;

Таким образом, на основании сказанного заключаем, что непосредственное вычисление коэффициентов векового уравнения чрезвычайно затруднительно. Поэтому созданы специальные методы развёртывания векового определителя: метод Данилевского А.М., метод Крылова А.Н., метод Леверрье, метод неопределённых коэффициентов, метод интерполяции и др. Рассмотрим более подробно некоторые из них.

I. Метод Данилевского А.М.

Сущность метода заключается в приведении векового определителя (4) к нормальному виду Фробениуса:

57

Разлагая матрицу (6) по элементам первой строки, будем иметь

Переход от матрицы уравнения (4) к матрице уравнения (6) осуществляется с помощью n 1 преобразований подобия, последовательно изменяющих строки матрицы (4), начиная с последней, в строки матрицы

(6). Процедура достаточно сложная и останавливаться мы на ней не будем. Метод Данилевского позволяет определять и собственные векторы с

точностью до постоянного множителя.

II. Метод Крылова А.Н.

Пусть характеристический полином матрицы A имеет вид:

ные числа.

Как и метод Данилевского А.Д., метод Крылова А.Н. позволяет определять собственные векторы с точностью до постоянного множителя.

58

П р и м е р .

Методом А.Н. Крылова найти характеристический полином матрицы [9]

59

которая, в нашем случае, имеет вид:

Отсюда получаем: p1 4; p2 40; p3 56; p4 20. Следовательно, характеристический полином исходной матрицы имеет

вид: 4 4 3 40 2 56 20 0 .

III. Метод Леверрье.

Основан на формулах Ньютона для сумм степеней корней алгебраи-

i1

3.Вычисляются коэффициенты pi , i 1, 2, ..., n характеристического

полинома исходной матрицы А

n p1 n 1 p2 n 2 ... pn 0

по формулам:

60