Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1846

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

3.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 274 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Получили верхнюю треугольную матрицу коэффициентов. Выполнив обратный ход метода Гаусса, найдём:

x3 253,3328 9,048 ;

x2 10 7 9,048 7,619 ; 7 7

x1 42 6 9,048 7,619 4,669.

Приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений для систем специального вида (когда многие побочные коэффициенты равны нулю) имеют преимущества по сравнению с методом Гаусса, заключающиеся в следующем:

1.Если итерации сходятся достаточно быстро, затраты времени сокращаются на 20-30%.

2.Случайные ошибки самоисправляются в процессе итераций.

3.Значительно меньше сказываются погрешности округлений.

III. Метод простой итерации.

Система (1) приводится к виду:

x1 c10		c12 x2	c13 x3... c1n xn ,
x2	c20	c21x1	c23x3... c2n xn ,
x2	c20	c21x1	c23x3... c2n xn ,				(6)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,							(6)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
x	c	c x	c x	... c	x	.
n	n0	n1 1	n2 2	nn 1	n 1

	b			aij
Здесь c	i	,	c		, i 1, 2, ...,n;		j 1, 2, ...,n;		i j .
Здесь c		,	c		, i 1, 2, ...,n;		j 1, 2, ...,n;		i j .
i0	aii		ij	aii
	aii			aii
Исходные значения переменных						x 0 , x 0 , ..., x o				начальное прибли-
						1	2	n

жение решения, подставленные в правые части уравнений системы (6),

используются			для	вычисления	новых	значений	переменных
x 1 ,	x 1 ,	..., x 1	первое приближение решения, в левых частях уравнений
1	2	n
системы		(6).	Затем первое приближение решения – значения
x 1 ,	i 1, 2, ..., n,		подставляются в правую часть системы (6) и получают
i

второе приближенное решение xi 2 , i 1, 2, ..., n . Далее процедуру решения повторяют, пока не будет достигнута требуемая точность вычислений:

x k x k 1		.	(7)

i	i

	IV. Метод Зейделя
	Задаёмся		начальным			приближением	решения		системы		(6):
x 0 , x 0 ,		..., x o , которое подставляем в правую часть первого уравнения
1	2	n								x 1 .
системы		(6),	и	определяем		уточнённое значение		величины		x 1 .	Это
					x 1			x 0		1
уточнённое			значение		x 1	используется	вместо	x 0	в	начальном
					1	для определения x 1		1
приближении			x 1 , x 0 ,		..., x o	для определения x 1		из второго уравнения
			1	2	n		2

системы (6). Таким образом, в правую часть второго уравнения подставляем числа x11 , x20 , ..., xno и определяем x21 . В правую часть третьего уравнения системы (6) подставляем числа x11 , x21 , x30 , ..., xno и определяем ݔ . Данную процедуру повторяем для всех уравнений системы (6) и последовательно определяем x11 , x21 , ..., xn1 первое приближение

решения. После этого аналогичным образом можно вычислить второе приближение решения, и так далее. Процесс вычислений заканчивают, когда достигается требуемая точность вычислений:

x k x k 1		.	(8)

i	i

Определение: матрица A имеет диагональное преобладание, если в каждой строке матрицы элемент, стоящий на главной диагонали, по модулю больше, чем сумма модулей остальных элементов данной строки:

a11

a12

a13

a1n

a22

a21

a23

a2n

(9)

a nn

an1

an2

an,n 1

Достаточные условия сходимости методов простой итерации и Зейделя состоят в том, что если матрица коэффициентов A исходной линейной системы (1) имеет диагональное преобладание, причём хотя бы одно неравенство в совокупности неравенств (9) является строгим, то оба метода сходятся при условии, что итерации проводятся с помощью формул (6). Метод Зейделя сходится при этом быстрее.

Отметим, что путём эквивалентных преобразований матрицу A всегда, вообще говоря, можно привести к виду, удовлетворяющему соотношениям (9).

П р и м е р 1 .

Дана система линейных алгебраических уравнений:

x 10 y 9, 5x y 6.

Поскольку	1	10	51 0, то система имеет единственное
Поскольку	1	10	51 0, то система имеет единственное
	5	1
решение.				1		10	,
Проверим условия (9):
Проверим условия (9):
				1	5.
				1	5.

Следовательно, процедуры метода простой итерации и метода Зейделя не позволяют получить решение исходной системы с помощью формул (6):

x 9 10 y,
	y 6 5x.

Преобразуем исходную систему путём перестановки столбцов к

эквивалентному виду:
			10 y x 9,
			y 5x 6.
			y 5x 6.
При этом,	10	1	51 0.
При этом,	10	1	51 0.
	1	5

Условия (9) будут иметь вид:

10 1,

5 1.

Условия диагонального преобладания выполняются. Решение методами простой итерации и Зейделя можно получить с помощью формул:

y		1		9 x ,
y				9 x ,
	10
	10
		1	6 y .
x		5	6 y .
		5

П р и м е р 2 .

Решить систему линейных алгебраических уравнений

x1 x2 6x3 42 6x1 x2 x3 11,33

x1 6x2 x3 32

методом простой итерации с точностью 0,02 . В качестве начального приближения принять числа: x10 1; x20 1; x30 1.

Р е ш е н и е Матрица коэффициентов исходной системы не имеет диагонального

преобладания. Действительно:

1 1 6;

1 6 1;

1 1 6.

Переставив строки в исходной системе, приведём матрицу коэффициентов к диагональному преобладанию:

6x x x 11,33;

x1 6x2 x3 32;

x1 x2 6x3 42.1 2 3

Приведём эту систему к виду (6):

x		1			11,33 x			2	x ;
1				6				2		3
				6	1 32

	x		2				x	x		;
			2		6		1		3
					6
	x3				1	42	x1	x2 .
	x3				6	42	x1	x2 .
					6

Далее построим итерационный процесс. Первая итерация:

x 1 1		11,33			x 0 x 0 1			11,33 1 1 2,222;
1	6				2	3	6
	6		1	32			6	32 1 1 5,667;
	x 1		1	32	x 0 x 0 1			32 1 1 5,667;
	2		6		1	3	6
			6	42			6	42 1 1 7,333.
	x 1 1			42	x 0 x 0 1			42 1 1 7,333.
	3		6		1	2	6
			6				6

Условие окончания итерационного процесса не выполняется:

x 1	x 0			2,222 1		1,222 0,02;


1	1
1	1

1	0	5,667 1			4,667


x2	x2						0,02;

1	0


x3	x3		7,333 1		6,333		0,02.
			7,333 1		6,333		0,02.

Вторая итерация:

	2		1			1	1	1
x1			6 11,33			x2	x3	6	11,33 5,667 7,333 4,055;
				1	32			1
		2		1		1	1	1	32 2,222 7,333 6,926;
	x2			6		x1	x3	6	32 2,222 7,333 6,926;
				6	42			6
		2		1		1	1	1	42 2,222 5,667 8,315.
	x3			6		x1	x2	6	42 2,222 5,667 8,315.
				6				6

Условие окончания итерационного процесса вновь не выполняется:

x 2 x 1				4,055 2,222	1,833	0,02;


1	1
1	1

2	1		6,926 5,667


x2	x2				1,259 0,02;
2	1

		8,315 7,333			0,982

x3	x3					0,02.
x3	x3					0,02.

Третья итерация:

	3		1			2	2	1
x1			6 11,33			x2	x3	6	11,33 6,926 8,315 4,428;
				1	32			1
		3		1		2	2	1	32 4,055 8,315 7,395;
	x2			6		x1	x3	6	32 4,055 8,315 7,395;
				6	42			6
		3		1		2	2	1	42 4,055 6,926 8,830.
	x3			6		x1	x2	6	42 4,055 6,926 8,830.
				6				6

Условие окончания итерационного процесса опять не выполняется:

x 3		x 2		4,428 4,055		10,373 0,02;


1			1
1			1

	3		2		7,395 6,926	1,009 0,02;


	x2		x2
	3		2



	x3		x3		8,830 8,315	0,515 0,02.
					8,830 8,315	0,515 0,02.

Четвёртая итерация:

x 4 1		11,33 x 3 x 3 1					11,33 7,395 8,830 4,592;
1	6			2	3	6
	6		1			6	32 4,428 8,830 7,543;
	x 4		1	32 x 3 x 3 1			32 4,428 8,830 7,543;
	2		6	1	3	6
			6			6	42 4,428 7,395 8,971.
	x 4 1			42 x 3 x 3 1			42 4,428 7,395 8,971.
	3		6	1	2	6
			6			6

Условие окончания итерационного процесса снова не выполняется:

x 4		x 3	4,592 4,428		0,164 0,02;
x 4		x 3	4,592 4,428		0,164 0,02;
1		1
x24		x23	7,543 7,395

					0,148 0,02;
	4	3		8,971 8,830	0,141 0,02.
	4	3
	x3	x3

Пятая итерация:

x 5 1		11,33 x 4 x 4 1					11,33 7,543 8,971 4,641;
1	6			2	3	6
	6		1			6	32	4,592	8,971 7,594;
	x 5		1	32 x 4 x 4 1			32	4,592	8,971 7,594;
	2		6	1	3	6
			6			6	42		7,543 9,023.
	x 5 1			42 x 4 x 4 1			42	4,592	7,543 9,023.
	3		6	1	2	6
			6			6

Условие окончания итерационного процесса всё ещё не выполняется:

	x 5	x 4	4,641 4,592	0,049 0,02;


1		1
1		1

	5	4	7,594 7,543	0,051 0,02;


	x2	x2
	5	4



	x3	x3	9,023 8,971	0,052 0,02.
			9,023 8,971	0,052 0,02.

Шестая итерация:

x 6 1		11,33			x 5 x 5 1			11,33 7,594 9,023 4,658;
1	6				2	3	6
	6		1				6	32	4,641	9,023 7,611;
	x 6		1	32 x 5 x 5 1				32	4,641	9,023 7,611;
	2		6		1	3	6
			6	42			6	42		7,594 9,039.
	x 6 1			42	x 5 x 5 1			42	4,641	7,594 9,039.
	3		6		1	2	6
			6				6

Условие окончания итерационного процесса выполняется:

x 6	x 5	4,658 4,641	0,017	0,02;


1	1
1	1

6	5	7,611 7,594	0,017


x2	x2			0,02;
6	5



x3	x3	9,039 9,023	0,016
		9,039 9,023	0,016	0,02.
				0,02.

Таким образом, решение исходной системы линейных алгебраических уравнений, полученное методом итераций с точностью 0, 02 , равно:

x1 4,658; x2 7,611; x3 9,039.

П р и м е р 3 .

Решить систему линейных алгебраических уравнений

6x x x 11,33

x1 x2 6x3 42

x1 6x2 x3 321 2 3

методом Зейделя с точностью 0, 02 . В качестве начального приближения принять числа: x10 1; x20 1; x30 1.

Р е ш е н и е .

Матрица коэффициентов исходной системы не имеет диагонального преобладания. Действительно:

61 1;

1 1 6;

1 1 6.

Переставив строки в исходной системе, приведём матрицу коэффициентов к диагональному преобладанию:

6x x x 11,33;

x1 6x2 x3 32;

x1 x2 6x3 42.1 2 3

Приведём эту систему к виду (6):

x	1		11,33 x		2	x			;
1		6			2				3
x		6	1 32 x		x			;
x	2		1 32 x		x			;
	2		6	1		3
			6					.
x	3		1	42 x	x		2	.
	3		6	1			2
			6

Далее построим итерационный процесс. Первая итерация:

		1			1			0			0					1
	x1				6 11,33 x2				x3							6 11,33 1 1 2,222;
					1									1
	x		1		1	32 x	1	x		0				1	32 2,222 1 5,870;
	x					32 x		x							32 2,222 1 5,870;
		2			6	1			3					6
1				1		1		1				1
x3				6	42 x1		x2					6	42 2,222 5,870 8,349.
				6								6

Условие окончания итерационного процесса не выполняется:

								x 1	x 0				2,222 1			1,222 0,02;


								1		1
								1		1

								1		0			5,870 1			4,870


								x2	x2								0,02;
								1		0

												8,349 1				7,349

								x3	x3								0,02.
								x3	x3								0,02.
Вторая итерация:
	2			1	11,33					1			1	1	11,33 5,870
x1				6	11,33				x2		x3			6	11,33 5,870		8,349 4,258;
						1								1
	x		2			1		32	x	2	x		1	1	32 4,258 8,349 7,434;
	x							32	x		x				32 4,258 8,349 7,434;
		2				6			1		3			6
		2				1	42		2				2	1	42 4,258 7,434 8,949.
	x3					6	42		x1		x2			6	42 4,258 7,434 8,949.
						6								6

Условие окончания итерационного процесса вновь не выполняется:

x 2		x 1	4,258			2,222	2,036 0,02;


1		1
1		1

	2	1			7,434 5,870		1,564 0,02;


	x2	x2
	2	1



	x3	x3		8,949		8,349	0,600 0,02.
				8,949		8,349	0,600 0,02.

Третья итерация:

	3			1		11,33				2			2	1
x1					6	11,33				x2		x3		6	11,33 7,434 8,949 4,619;
							1							1
	x		3				1		32	x	3	x	2	1	32 4,619	8,949 7,595;
	x						6		32	x		x			32 4,619	8,949 7,595;
		2					6			1		3		6
			3				1	42			3		3	1	42 4,619	7,595 9,036.
	x3						6	42		x1		x2		6	42 4,619	7,595 9,036.
							6							6

Условие окончания итерационного процесса опять не выполняется:

x 3	x 2		4,619 4,258	0,361 0,02;


1	1
1	1

3	2		7,595 7,434	0,161 0,02;


x2	x2
3	2



x3	x3	9,036 8,949
		9,036 8,949		0,087 0,02.
				0,087 0,02.

Четвёртая итерация:

	4			1	11,33					3		3	1
x1				6	11,33				x2		x3		6	11,33 7,595 9,036 4,660;
						1							1
	x		4			1		32	x	4	x	3	1	32 4,660 9,036 7,616;
	x							32	x		x			32 4,660 9,036 7,616;
		2				6			1		3		6
		4				1	42			4		4	1	42 4,660 7,616 9,046.
	x3					6	42		x1		x2		6	42 4,660 7,616 9,046.
						6							6

Условие окончания итерационного процесса выполняется для третьего уравнения:

x 4		x 3	4,660 4,619		0,041 0,02;


1		1
1		1

	4	3	7,616 7,595		0,021 0,02;


x2		x2

	4	3


	x3	x3		9,046 9,036	0,01 0,02.
				9,046 9,036	0,01 0,02.

Пятая итерация:

x 5 1			11,33			x 4 x 4 1			11,33 7,616 9,046 4,665;
1		6				2	3	6
	x 5	6		1	32			6	32 4,665 9,046 7,619;
	x 5			1	32	x 5 x 4 1			32 4,665 9,046 7,619;
	2			6		1	3	6
	x 5			6				6	42 4,665 7,619 9,047.
	x 5	1			42 x 5 x 5 1				42 4,665 7,619 9,047.
	3			6		1	2	6
				6				6

Условие окончания итерационного процесса выполняется:

	x 5	x 4	4,665 4,660	0,005 0,02;


1		1
1		1

	5	4	7,619 7,616


	x2	x2		0,003 0,02;
	5	4


	x3	x3	9,047 9,046	0,001 0,02.
			9,047 9,046	0,001 0,02.

Итак, решение исходной системы линейных алгебраических уравнений, полученное методом Зейделя с точностью 0,02 , равно:

x1 4,665; x2 7,619; x3 9,047.

Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений

Правые части bj и коэффициенты aij системы (1) известны, вообще

говоря, лишь приближённо (например, они получаются из физических измерений с некоторой степенью достоверности либо путём вычислений с неизбежным округлением). Возникает вопрос: как неточно заданные правые части и коэффициенты системы (1) влияют на получаемое решение?

П р и м е р 4 .

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

x1 0,99x2 1,99; 0,99x1 0,98x2 1,97.

Решение этой системы очевидно: x1 1, x2 1.

Рассмотрим далее ту же систему, но с уточнённой правой частью:

x1 0,99x2 1,989903; 0,99x1 0,98x2 1,970106.

Решение этой системы: x1 3, x2 1,0203.

Как следует из примера, незначительная погрешность в правых частях системы привела к существенному изменению её решения.

Исследования показывают, что между величинами относительной ошибки решения x , относительной погрешности задания правых частей b

и коэффициентов системы a имеют место следующие зависимости:

x C b;

x C a.

(10)

Здесь С – степень обусловленности.

По величине С судят о том, насколько матрица коэффициентов системы

(1)– матрица A – «хороша» с точки зрения вычислений:

если C 1 10 – это хорошо обусловленные системы;

если C 10 103 – это удовлетворительно обусловленные системы;

если C 103 105 – это плохо обусловленные системы;

если C 105 – это почти вырожденные системы.

Решать системы линейных алгебраических уравнений, для которых С>103 любыми методами весьма затруднительно.

Непосредственное определение степени обусловленности является, в общем случае, задачей чрезвычайно сложной. Для симметричных матриц

A aij , где aij a ji , степень обусловленности определяется так:

C max .

min

Здесь max и min – наибольшее и наименьшее собственные значения

матрицы A .

Для плохо обусловленных систем, как правило, главный определитель стремится к нулю: 0 . Плохо обусловленные системы иногда, повидимому, указывают на то, что физическая задача поставлена недостаточно корректно.

Кстати, в рассмотренном выше примере: C 39600; 0,0001.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 274 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20243.24 Mб21841.pdf
#
16.06.20243.26 Mб31842.pdf
#
16.06.20243.27 Mб21843.pdf
#
16.06.20243.27 Mб01844.pdf
#
16.06.20243.28 Mб01845.pdf
#
16.06.20243.28 Mб21846.pdf
#
16.06.20243.28 Mб01847.pdf
#
16.06.20243.28 Mб11848.pdf
#
16.06.20243.29 Mб01849.pdf
#
16.06.2024218.05 Кб0185.pdf
#
16.06.20243.29 Mб01850.pdf