1846

пересечения кривой графика с осью OX и будут корнями уравнения (1). В некоторых случаях уравнение f x 0 удобно представить в эквивалентном

визуально.

Физический способ отделения корней нелинейного уравнения (1) состоит в анализе физического смысла функции y f x . В некоторых

случаях это позволяет определить интервалы, в которых могут находиться корни уравнения (1).

Э т а п 2 . Уточнение корня.

Уточнение корня выполняется различными методами: методом половинного деления, методом простых итераций, методом касательных (метод Ньютона), методом пропорциональных частей (метод хорд), комбинированным методом хорд и касательных. Эти методы различаются скоростью и условиями сходимости к точному решению, условиями окончания итерационного процесса. Рассмотрим метод половинного деления и метод простых итераций более подробно.

I. Методполовинногоделения– один из самых простых и, безусловно,

21

в том, на концах которого функция y f x принимает разные знаки. Таким

a, , и тогда, принимая b , рассматриваем новый интервал a,b , для

которого определяем абсциссу середины интервала и процедуру вычислений повторяем;

если f a f 0, то есть корень уравнения находится на интервале, b , и тогда, принимая a , рассматриваем новый интервал a, b , для

которого определяем абсциссу середины интервала и процедуру вычислений повторяем.

Условие (4) называется условием окончания итерационного процесса. Координата середины интервала a,b есть значение корня с точностью :

a 2 b .

Метод половинного деления сходится для любых непрерывных на отрезке A, B функций y f x . Для достижения требуемой точности

получения каждых трёх верных десятичных знаков необходимо выполнить около 10 итераций.

II. Метод простых итераций состоит в замене исходного уравнения (1)

22

точность вычислений обеспечивается выполнением неравенства:

Итерационный процесс будет сходящимся, если для любых x из интервала a, b выполняется неравенство

П р и м е р .

Найти положительный корень уравнения 2x2 3x 8 0 методом половинного деления и методом итераций с точностью 0, 01.

Р е ш е н и е .

Для определения интервала поиска решения заданного уравнения

то есть a 2,5; b 3. Проверяем условие окончания итерационного процесса: a b 2,5 3 0,5 2 2 0,01 0,02.

Переходим к следующей итерации. Вторая итерация:

23

x 2x2 8 .

3

Проверим условие сходимости итерационного процесса на интервале

24

Приводим уравнение к другому эквивалентному виду: x 1,5x 4 , то есть

Итак, положительный корень уравнения 2x2 3x 8 0, полученный с точностью 0,01 по методу итераций, равен x4 2,884.

Точное значение корня уравнения 2x2 3x 8 0 равно x 2,886 .

§3. Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных уравнений в самом общем случае имеет вид:

Система линейных уравнений имеет единственное решение, если её главный определитель равен нулю:

25

Система имеет бесчисленное множество решений, если главный определитель и все побочные определители равны нулю: 0 , j 0 , причём

Под решением системы понимают совокупность чисел x1, x2 , ..., xn

таких, что при их подстановке в исходную систему (1) получатся верные равенства (тождества).

В матричном виде система (1) имеет вид:

Методы решения систем уравнений подразделяют на точные (прямые) и итерационные (приближенные).

I. Метод Крамера.

Является точным методом решения систем линейных алгебраических уравнений. При этом решение системы определяется по формулам Крамера:

При решении систем сколько-нибудь высокого порядка (п>5) применение формул Крамера нецелесообразно, а при больших п (п>100) даже при применении ЭВМ – абсолютно исключается, так как для вычисления одного определителя необходимо выполнить n n! операций. Как следствие – большое время вычислений и большая погрешность округлений.

26

При прямом вычислении определителя 20-го порядка надо сделать 4,5 1019 операций. На ЭВМ, которая делает 1000000 операций в секунду, потребовалось бы 1,4 106 лет.

П р и м е р .

Решить методом Крамера систему линейных алгебраических уравнений

6x x x 11,33;

x1 6x2 x3 32;

x1 x2 6x3 42.1 2 3

Р е ш е н и е .

Вычисляем главные и побочные определители:

II. Метод Гаусса.

Состоит в том, чтобы исходную линейную систему (3) с помощью преобразований, не изменяющих решение системы, привести к виду:

Здесь A* верхняя треугольная матрица коэффициентов; B* изменённый в процессе преобразований вектор-столбец правых частей исходной системы уравнений:

27

Переход от системы (3) к системе (5) – это прямой ход метода Гаусса; определение неизвестных из системы (5) – это обратный ход метода Гаусса.

В качестве примера рассмотрим систему трёх линейных алгебраических уравнений:

Выпишем расширенную матрицу системы (а):

затем вычтем её из третьей строки. Оставив первую строку матрицы (б) без изменения, получим преобразованную расширенную матрицу:

Выражения в круглых скобках переобозначим. В итоге будем иметь преобразованную расширенную матрицу:

28

Далее рассматриваем подматрицу матрицы (в):

Переобозначая выражения в квадратных скобках, будем иметь:

С учётом результата (д), матрица (в) получает вид:

Теперь система (а) может быть записана в следующем виде:

Прямой ход метода Гаусса выполнен.

Определяя неизвестные из системы (ж), выполняем обратный ход метода Гаусса:

Алгоритм предполагает, что диагональные элементы akk 0 в процессе

решения задачи. Такой алгоритм называется алгоритмом метода Гаусса без выбора главного элемента. Если некоторые диагональные элементы в процессе решения задачи обнуляются, то алгоритм надо модифицировать

29

таким образом, чтобы путём перестановки строк или столбцов исключить деления на нуль. Такой алгоритм называется алгоритмом метода Гаусса с выбором главного элемента.

П р и м е р .

Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений

x1 x2 6x3 42;

x1 6x2 x3 32;

6x1 x2 x3 11,33.

Р е ш е н и е .

Выпишем расширенную матрицу исходной системы:

вычтем её из второй строки. Теперь умножим первую строку расширенной матрицы на 61 6 и затем вычтем её из третьей строки. Оставив первую строку расширенной матрицы без изменения, получим:

вычтем её из третьей строки. Оставив первые две строки без изменения, получим:

30