1846

I. Плоская задача, прямоугольный элемент (рис. 105).

Решив матричное уравнение (36), получим:

Для прямоугольного элемента с началом координат в его центре (как на рис. 105) коэффициенты уравнений (38) равны:

221

На основании уравнений (35) найдём деформации, которые будут уже линейными функциями координат:

Следовательно, для прямоугольного элемента не только перемещения, но и деформации, а значит, и напряжения являются непрерывными функциями пространственных координат.

Уравнение потенциальной энергии деформации прямоугольного конечного элемента при этом запишется так:

U u,v 1 εT D ε dS 1 L α T D L α dS

2 S 2 S

1 L Q-1 u T D L Q-1 u dS

2 S

Следовательно, матрица жёсткости прямоугольного элемента будет равна:

Матрица K будет квадратной, симметричной, восьмого порядка. Матрица жёсткости прямоугольного элемента, определённая формулой

(41), записана в локальной системе координат, когда координатные оси параллельны сторонам прямоугольника, а начало координат совпадает с центром прямоугольника. Для составления матрицы жёсткости совокупности конечных элементов следует перейти к общей (глобальной) системе

координат X~O ~ :

Y

X X0 X cos Y sin ;

Y Y0 X sin Y cos .

Здесь X 0 , Y0 координаты центра прямоугольника в глобальной системе координат; X , Y координаты рассматриваемой точки конечного элемента в локальной системе координат; угол между направлением одноимённых осей локальной и глобальной систем координат.

222

Число степеней свободы прямоугольного конечного элемента равно восьми.

Для пространственных конечных элементов ограничимся лишь тем, что приведём вид функций для перемещений их точек. Получение выражений для матриц жёсткости таких элементов может быть выполнено по методике, рассмотренной для плоских конечных элементов. Следует иметь в виду, что громоздкость математических преобразований при усложнении формы конечного элемента значительно возрастает.

II. Пространственная задача, элемент в форме тетраэдра (рис. 106).

Это простейший элемент для пространственной задачи. Функции перемещений принимаются в виде:

Для конечного элемента в форме прямоугольного параллелепипеда и перемещения, и деформации, и напряжения являются непрерывными функциями пространствен-

ных координат.

Число степеней свободы конечного элемента в виде прямоугольного паралле-

лепипеда равно двадцати четырём.

Рис. 107 Можно и дальше усложнять форму конечных элементов и вид функций для

223

перемещений при решении плоской и пространственной задач: введение дополнительных узлов на границе элементов, использование криволинейных границ элементов (изопараметрические конечные элементы) и так далее. С одной стороны, эти усложнения позволяют более гибко вписываться в форму исследуемого тела и получать непрерывные функции для напряжений и деформаций, больше соответствующие действительной работе конструкции, с другой – это приводит к существенному возрастанию громоздкости выражений и расчётов.

Составление обобщённой матрицы жёсткости совокупности конечных элементов

Обобщённая матрица жёсткости всей системы определяется путём последовательного объединения матриц жёсткости отдельных элементов.

Пусть плоское упругое тело разделено на N треугольных конечных элементов, вершины которых образуют n узловых точек. Совокупность узловых сил образует матрицу-столбец обобщённых сил размерностью 2n :

Ф Фx1, Фx 2 , ..., Фxn , Фy1 , Фy 2 , ..., Фyn T .

Матрица-столбец обобщённых узловых перемещений также имеет размерности 2n :

u u1, u2 , ..., un , v1, v2 , ..., vn T .

Обобщённые силы Ф и обобщённые перемещения u связаны матрицей жёсткости K совокупности конечных элементов размерностью 2n 2n :

Будем считать, что матрицы жёсткости треугольных элементов,

224

Характер разделения сил Фxi , Фyi на составляющие должен быть таким,

чтобы напряжённо-деформированное состояние в каждом элементе соответствовало возникшему в нём при совместной работе всех элементов, объединённых в точке i , то есть необходимо выполнение условия равновесия в этой точке:

Кроме того, в силу неразрывности перемещений, компоненты перемещений вершин конечных элементов, объединяющихся в точке i , должны быть одинаковы (рис. 109) и равны ui , vi , то есть

вычислить составляющие матрицы жёсткости совокупности конечных элементов.

Как это делать, покажем на частном примере. П р и м е р .

Рассмотрим плоское упругое тело, разделённое на три треугольных конечных элемента. На рис. 110 обозначены: арабскими цифрами 1, 2, 3, 4, 5 – номера вершин конечных элементов; римскими цифрами I, II, III – номера конечных элементов; дугой со стрелкой – направление обхода вершин конечных элементов внутри каждого конечного элемента. К вершинам совокупности конечных элементов приложены составляющие внешних сил Фxi , Фyi .

Запишем основное уравнение метода конечных элементов, в котором левый вектор-столбец узловых сил составим из компонент узловых сил, относящихся к каждому отдельному конечному элементу; правый векторстолбец перемещений будет представлять собой совокупность перемещений, также относящихся к вершинам каждого конечного элемента. Тогда матрица жёсткости должна иметь блочную структуру, в которой каждый блок должен связывать узловые силы отдельного конечного элемента с соответствующими перемещениями его вершин.

225

Рис. 110

Пользуясь уравнением (46), составим уравнения равновесия (44) для каждой вершины совокупности конечных уравнений:

c41u2 c42u4 c43u5 c44v2 c45v4 c46v5

b61u1 b36 c41 u2 b62 c42 u4 c43u5

b64v1 b66 c44 v2 b65 c45 v4 c46v5;

227

Фy3 FyI3 a51u1 a52u3 a53u4 a54v1 a55v3 a56v4 ;

Фy4 FyI4 FyII4 FyIII4 a61u1 a62u3 a63u4 a64v1 a65v3 a66v4b51u1 b52u4 b53u2 b54v1 b55v4 b56v2

c51u2 c52u4 c53u5 c54v2 c55v4 c56v5

a61 b51 u1 b53 c51 u2 a62u3 a63 b52 c52 u4 c53u5a64 b54 v1 b56 c54 v2 a65v3 a66 b55 c55 v4 c56v5;

Фy5 FyIII5 c61u2 c62u4 c63u5 c64v2 c65v4 c66v5.

Основное уравнение метода конечных элементов для рассматриваемой задачи в развёрнутом виде записывается в следующей форме:

Сопоставляя уравнение (48) с соотношениями (47) и учитывая, что матрицы жёсткости отдельных конечных элементов симметричны относительно главной диагонали, получаем:

228

Для получения решения в числовом виде неоходимо определиться с координатами вершин конечных элементов, модулем упругости и коэффициентом Пуассона материала упругого тела, действующими на упругое тело внешними нагрузками. Затем вычислить компоненты матриц жёсткости отдельных конечных элементов по формулам (31), а также компоненты матрицы жёсткости совокупности конечных элементов по формулам (49), решить систему линейных алгебраических уравнений (48) относительно перемещений вершин конечных элементов. Наконец, рассчитать напряжения по формулам (47) и оценить прочность упругого тела по одной из теорий прочности. При необходимости можно вычислить деформации по формулам (23) и перемещения по формулам (21).

229

Метод конечных элементов для расчёта тонких пластин

Рассмотрим построение матрицы жёсткости и грузового вектора для прямоугольного конечного элемента, находящегося в условиях поперечного изгиба и описывающего напряжённо-деформированное состояние тонкой изгибаемой пластины [26].

Тонкую пластину (рис. 111), нагруженную поперечной распределённой нагрузкой q x, y , разобьём на прямоугольные четырёхузловые конечные

Рис. 112

230