1846

7.Определяем распределённые реакции. На основании соотношений

(34)получаем:

Vy 0.

181

Вычисления показывают, что распределённые реакции вдоль контура пластины направлены вверх и одинаковы на противоположных сторонах пластины.

8. Определяем сосредоточенные реакции в углах пластины:

то есть сосредоточенные реакции в углах пластины отсутствуют.

Эпюры распределённых реакций по контуру пластины изображены на рис. 96.

Рис. 96

Численные расчёты показывают, что распределённая реакция вдоль жёсткой заделки практически равна нулю.

182

Глава 5. МЕТОДЫ НА ОСНОВЕ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ

§19. Вариационная формулировка задач теории упругости

В самом общем случае любая механическая задача может быть сформулирована с двух точек зрения:

1.С точки зрения движения механической системы и действующих на неё сил.

2.С точки зрения энергетического баланса движущейся механической системы.

Первая точка зрения приводит к математической формулировке задачи

ввиде дифференциальных уравнений. Вторая позиция математически формирует задачу в виде некоторых интегральных соотношений или функционалов. Оба подхода эквивалентны и приводят к одному и тому же результату. Разница заключается в трудоёмкости решения задачи.

Понятие о функционале

Пусть дан некоторый класс (множество) функций K y x , где х –

независимая переменная или совокупность нескольких независимых переменных x x1, x2 , ..., xn .

Говорят, что переменная величина I I y x есть функционал от функции y y x , если каждой функции y x K по заданному закону

ставится в соответствие определённое число I .

Замечание. Функция каждому числу ставит в соответствие другое число; функционал каждой функции ставит в соответствие определённое число; производная каждой функции ставит в соответствие другую функцию.

Основная задача, связанная с исчислением функционалов – это определение его экстремума, то есть нахождение условий, при которых функционал принимает экстремальное (максимальное или минимальное) значение.

П р и м е р 1 .

1) Площадь криволинейной трапеции, как известно, определяется

b

соотношением S y x dx , то есть является функционалом. Требуется: для

a

заданного класса функций (например, только выпуклых или только вогнутых) найти такую функцию, при которой площадь криволинейной трапеции будет максимальна или минимальна.

183

тоже является функционалом. Требуется: для заданного класса функций (например, только выпуклых или только вогнутых) найти такую функцию, при которой длина дуги будет максимальна

или минимальна.

Рис. 97

Уравнения теории упругости в матричной форме

Введём следующие векторы-столбцы: u u,v, w T ;

При этом основные группы соотношений теории упругости можно, очевидно, записать в следующем виде.

1. Геометрические соотношения:

184

Здесь матрица упругой податливости С имеет следующую структуру:

185

l, m, n направляющие косинусы нормали к рассматриваемой площади

поверхности тела.

При записи уравнений теории упругости в матричной форме решение прямой задачи теории упругости в перемещениях сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений вида:

Решение прямой задачи теории упругости в напряжениях сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений следующего вида:

B C σ 0,

(9)

A σ F 0.

Решения системы уравнений (8) и (9) должны удовлетворять условиям на поверхности в перемещениях и напряжениях (7).

186

Вариационный принцип Лагранжа

Полная потенциальная энергия деформированного тела "Э" состоит из потенциальной энергии деформации тела (потенциал внутренних сил) "U"

Будем считать, что в начальном, недеформированном, состоянии полная потенциальная энергия деформированного тела Э0 0 . Следовательно,

полная энергия деформированного тела представляет собой изменение энергии внутренних и внешних сил при переходе тела из начального в деформированное состояние.

Энергия любой системы сил измеряется работой, которую могут совершить эти силы при переводе системы из рассматриваемого состояния в начальное, нулевое, состояние. Поэтому при составлении выражения (10) будем вычислять энергию как работу внутренних сил упругости (для потенциала внутренних сил U ) и внешних сил (для потенциала внешних сил П ) при мысленном переводе тела из деформированного в начальное (недеформированное) состояние.

Удельный потенциал внутренних сил определяется, как известно, соотношением

Полный потенциал внутренних сил будет равен:

Внешние силы, определяемые вектором p, и объёмные силы, задава-

емые вектором F, на перемещениях, соответствующих переводу тела из деформированного в недеформированное состояние, совершают работу, равную:

Отметим, что при этом работа внутренних сил будет положительной, а работа внешних и объёмных сил – отрицательной. То есть соотношение (10) получает вид:

187

Используя закон упругости (5), геометрические соотношения (2), соотношение (11), формулу (14) можно записать в терминах функций перемещений:

Итак, полная потенциальная энергия деформированного тела вполне определяется заданием функций перемещений u, v, w, зависящих, вообще

говоря, от пространственных координат.

Принцип Лагранжа формулируется так: для истинных перемещений u, v, w функционал полной энергии деформиро-

ванного тела Э имеет экстремальное (стационарное) значение, то есть его первая вариация равна нулю.

Согласно этому принципу, если u истинные перемещения точек тела,

при которых имеет место равновесие, то работа внешних и внутренних сил на произвольном бесконечно малом изменении перемещений

u u, v, w T , допускаемом связями тела, должна быть равна нулю, то есть

Так как работа внутренних сил пропорциональна изменению потенциала внутренних сил, а работа внешних сил пропорциональна изменению

потенциала внешних сил, то есть Aвнутр U ; Aвнешн П, то на основании (16) получаем: A Э.

Итак, для истинных перемещений u изменение полной потенциальной энергии деформированного тела Э, вызванное вариациями перемещений

Соотношение (17) представляют в виде ряда, в котором каждое

Здесь Э Э1 u первая вариация функционала энергии;

2Э Э2 u2 вторая вариация функционала энергии.

188

Устремляя в (18) вариации перемещений u к нулю и отбрасывая все слагаемые, кроме первого, как бесконечно малые более высокого порядка малости, приходим к равенству:

Равенство нулю первой вариации функционала (19) является необходимым условием локального экстремума этого функционала, то есть в локальной зоне изменения функций-аргументов, функционал с точностью до бесконечно малых первого порядка сохраняет неизменное (стационарное) значение. В соответствии с теоремой Лежен Дирихле:

состоянии безразличного равновесия.

Итак, решая задачу теории упругости с использованием принципа Лагранжа, следует найти такие функции перемещений u, v, w, зависящие, во-

обще говоря, от пространственных координат, при которых первая вариация полной потенциальной энергии деформированного тела будет равна нулю:

Э 0 .

Помимо рассмотренного принципа Лагранжа в теории упругости известно ещё несколько вариационных принципов, различающихся и выбором варьируемых функций, и видом соответствующего функционала.

В принципе Лагранжа варьируемыми функциями служат перемещения

u, а соответствующий функционал (15) определяет полную потенциальную энергию деформированного тела.

В принципе Кастильяно варьируемыми функциями являются напряже-

ния σ, а соответствующий функционал определяет дополнительную энергию деформируемого тела:

Здесь S2 часть поверхности тела, на которой заданы перемещения.

Принцип Кастильяно говорит о том, что истинные напряжения сообщают дополнительной энергии деформируемого тела стационарное значение.

189

В принципе Рейсснера в качестве варьируемых функций приняты функции и перемещений u, и напряжений σ. Функционал Рейсснера имеет вид:

Здесь S1 часть поверхности тела, на которой задана нагрузка.

Принцип Рейсснера утверждает, что для истинных перемещений и напряжений первая вариация функционала Рейсснера равна нулю.

В принципе Ху и Вашицу в качестве независимо варьируемых функций

Принцип Ху – Вашицу говорит о том, что для истинных перемещений, напряжений и деформаций первая вариация функционала Ху – Вашицу равна нулю.

Решение задач теории упругости на основе сформулированных принципов сводится к отысканию экстремума соответствующего функционала.

§20. Метод Ритца

В 1909 году Вальтер Ритц, швейцарский физик-теоретик и математик, предложил метод решения общей задачи об экстремуме функционала. Метод предусматривает выбор пробной функции, которая должна минимизировать определённый функционал, в виде суперпозиций известных функций, которые удовлетворяют граничным условиям. При этом задача

190