1846

центре пластины H 0 и, следовательно, xy 0. Таким образом, в

и составит:

h 4,111 10 2 м 4,111 см.

5.Определяем распределённые реакции. На основании соотношений

(15)получаем:

1) 0 x a, y 0

171

Вычисления показывают, что распределённые реакции вдоль контура пластины направлены вверх и одинаковы на противоположных сторонах пластины.

6. Определяем сосредоточенные реакции в углах пластины:

точенные реакции в углах пластины показаны на рис. 92.

Рис. 92

Все четыре реакции направлены вниз, то есть в сторону действующей нагрузки. Это значит, что углы пластины стремятся сместиться вверх и их нужно специальным образом закреплять от подъёма.

Решение Мориса – Леви

В решении Мориса – Леви функция прогибов принимается в виде ряда, каждый член которого представляет собой произведение двух функций, одна из которых зависит только от координаты x , а другая – только от координаты y :

Здесь Ym y функции, подлежащие определению.

172

Функции Ym y должны выбираться так, чтобы функция w x, y удовлетворяла уравнению изогнутой срединной поверхности пластинки (1) и

содержат синусы тех же аргументов, что и сама функция. Поэтому и вторые производные на сторонах пластины x 0 и x a обращаются в нуль. Следовательно, граничные условия (22) выполняются.

Для определения функции Ym y подставим выражение (21) в уравнение

(1):

Разложим действующую на пластину нагрузку в одинарный ряд по синусам:

173

Здесь коэффициенты ряда Фурье qm вычисляются по формулам:

Рассматривая соотношения (23) и (24) совместно, видим, что равенство рядов будет соблюдено, если будут равны коэффициенты у соответствующих синусов, то есть

m 1, 2, 3, ... определяются из обыкновенного линейного неоднородного

дифференциального уравнения (26).

Общее решение уравнения (26) для каждого номера m 1, 2, 3, ...

складывается из общего решения Ym0 соответствующего однородного уравнения, когда в правой части уравнения (26) стоит нуль, и частного решения Ymch неоднородного уравнения:

Общее решение можно записать в двух формах: первая – показательная форма

вторая – гиперболо-тригонометрическая

Ym0 y C1m ch m y C2m m y sh m y C3m sh m y C4m m y ch m y . (29)

Здесь m ma ; произвольные постоянные C1m , C2m , C3m , C4m находятся из условий на продольных сторонах пластины при y 0 и y b.

Частное решение уравнения (26) зависит от вида действующей нагрузки, то есть от вида функции qm y . Например, если функция qm y линейно

зависит от координаты y , то есть qm y A By , то

После построения функции Ym y вычисляется функция прогиба (21), а затем и внутренние усилия в пластине.

174

В качестве примера рассмотрим пластину с шарнирным опиранием по краям x 0, x a и жёстким опиранием по краям y b2 . Пластина нагружена равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q .

175

По формуле (25) при q const найдём

qm m4q ; m 1, 3, 5, ...

qm 0; m 2, 4, 6, ...

Учитывая симметрию относительно оси x , в общем решении Ym0 y удерживаем только первых два слагаемых, а частное решение Ymch y

принимаем по формуле (30) при A m4q и B 0. В итоге соотношение (27) получает вид:

На сторонах пластины, имеющих жёсткое защемление, прогиб и угол поворота в направлении оси y равны нулю, то есть