1846

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

b q x, y sin m x

sin n ydxdy.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

3.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2717 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

c ch

C ch

c sh

sin

x B

sin

x ;

C ch

c C

c sh mc m2

sin m x Am sin m x ;

C sh

c C

c sh

mc m c ch

mc m cos m x 0;

C sh

c C

c sh

c ch

cos

x 0.

Решив полученную систему линейных алгебраических уравнений

относительно постоянных C1m , C2m , C3m , C4m , найдём:

A B

mc m c ch mc

;

sh 2 mc 2 mc

С2

B A

ch mc m

c sh mc

;

sh 2 mc 2 mc

Am Bm

m ch mc

;

2 mc 2 mc

С4

A B

m sh mc

sh 2 mc 2 mc

Подставляя полученные выражения для постоянных интегрирования

C1m , C2m , C3m , C4m в функцию Ym y

(формула (4)), получаем окончательные

формулы для напряжений (формулы (5)):

c ch

c sh

y sh

x Am Bm

sh 2 mc 2 mc

c sh

Am Bm

sh 2 mc

2 mc

sin m x ;

161

c ch

c sh

y sh

y Am Bm

sh 2 mc 2 mc

y ch

c sh

Am Bm

sh 2 mc 2 mc

sin m x ;

m c ch mc sh m y m y sh mc ch m y

xy Am

sh 2 mc 2 mc

y sh

y ch

c ch

Am Bm

sin m x .

sh 2 mc 2 mc

Отсюда следует, что по торцам балки-стенки при x 0 и x l напряжения x 0 . Первое слагаемое в формуле касательных напряжений,

пропорциональное Am Bm , даёт касательные напряжения, разнозначные

для верхней и нижней части вертикального сечения балки-стенки, равнодействующая сил от которых равна нулю. Второе слагаемое, пропорциональное Am Bm , даёт касательные напряжения, уравновешивающие

заданную нагрузку.

§18. Расчёт тонких пластин при помощи тригонометрических рядов

Расчёт тонких пластин при помощи тригонометрических рядов хотя и относится к аналитическим методам решения, однако для получения точного решения следует брать бесконечное число членов ряда. Если же ограничиться конечным количеством членов ряда, то решение будет приближённым.

В теории тонких пластин при построении расчёта при помощи тригонометрических рядов различают решение Навье, то есть решение при помощи двойных тригонометрических рядов, и решение Мориса – Леви, то есть решение при помощи одинарных тригонометрических рядов. Характерной особенностью решения Навье является его простота, однако в этом решении присутствуют и существенные недостатки, которые сводятся к следующему:

метод Навье позволяет рассчитывать только те пластины, которые имеют шарнирное опирание по всем четырём сторонам;

двойной тригонометрический ряд Навье медленно сходится, и для построения решения с более-менее приемлемой точностью приходится

162

брать достаточно много членов ряда; в некоторых случаях эти ряды вообще расходятся.

Метод одинарных тригонометрических рядов свободен от этих недостатков, однако его отличает достаточная сложность, и, кроме того, метод Мориса – Леви позволяет рассчитывать только те пластины, которые на двух противоположных сторонах имеют шарнирное опирание, а на остальных двух опирание может быть любым.

В качестве замечания отметим, что методами, которые позволяют рассчитывать тонкие прямоугольные пластинки с произвольным опиранием по контуру, являются, например, метод конечных разностей и метод конечных элементов.

Решение Навье

Решение задачи о поперечном изгибе прямоугольной пластины, шарнирно опёртой по всему контуру (рис. 88), математически сводится к решению краевой задачи для дифференциального уравнения изогнутой срединной поверхности пластинки

4w	2	4w	4w	q x, y
x4		x2 y2	y4	D

совместно с краевыми условиями

w 0 и	2w	0	при x 0 или	x a ;
w 0 и	x2	0	при x 0 или	x a ;
	x2
w 0 и	2 w	0	при y 0 или	y b.
w 0 и	y2	0	при y 0 или	y b.
	y2

Рис. 88

Функция прогибов w x, y строится в виде двойного рического ряда (ряда Фурье):

w x, y Amn sin m x			sin n y .(4)

m 1	n 1	a		b

Здесь коэффициенты Атп подлежат определению. 163

(1)

(2)

(3)

тригономет-

Данное решение, предложенное Навье, пригодно при действии произвольной поперечной нагрузки на пластину, шарнирно опёртую по всем четырём сторонам.

Решение (4) удовлетворяет краевым условиям (2) и (3). Действительно:

при x 0 , sin

m x

sin00 0

(m 1,2,3,...)

, то есть

w 0, y 0 ;

при x a , sin

m a

sin m 0 m 1,2,3,... , то есть w a, y 0 ;

при

y 0, sin

n y

sin00 0

m 1,2,3,... , то есть

w 0, y 0 ;

при

x b , sin

n b

sin n 0

n 1,2,3,... , то есть

w b, y 0 .

Вторые производные функции прогибов

w x, y

m x

n y

Amn

sin

m 1 n 1

x, y

m x

n y

Amn

sin

m 1 n 1

содержат синусы тех же аргументов, что и сама функция. Поэтому и вторые производные на всех сторонах пластины обращаются в нуль. Следовательно, все граничные условия (2) и (3) выполняются.

Коэффициенты Amn определяются из условия, что искомое решение (4)

должно удовлетворять дифференциальному уравнению изогнутой срединной поверхности пластины (1). Подставив (4) в (1), получим:

m x

n y

Amn

sin

m 1 n 1

m x

n y

Amn 2

sin

(5)

m 1 n 1

m x

n y

Amn

sin

m 1 n 1

Разложим внешнюю нагрузку в такой же двойной тригонометрический ряд:

q x, y Cmn sin m x			sin n y .	(6)

m 1	n 1	a	b

164

Коэффициенты этого ряда определяются по формуле, известной из курса высшей математики:

Уравнение (5) с учётом соотношений (6) и (7) можно записать так:

m x

n y

Amn

sin

m 1

n 1

Cmn sin m x sin n y .

m 1 n 1

(7)

(8)

Приравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях левой и правой части в формуле (8), будем иметь:

Amn m 4 2 m 2 n 2 n 4 sin m x sin n ya a b b a b

CDmn sin ma x sin nby ,

Отсюда получаем:

Amn

Cmn

(9)

D 4

a 2 2

Для равномерно распределённой нагрузки q, приложенной по площади прямоугольника а1 x а2 , b1 y b2, формулу (7) можно представить в следующем виде:

Cmn

4q a2

m x

n y

dy.

sin

Произведя интегрирование, получим:

Cmn

4q a

m a

n b

cos

ab m n

или, после элементарных преобразований,

Cmn

m a

n b

cos

(10)

165

Подставив (10) в (9), получим окончательное выражение для коэффициентов Amn :

4qa

m a

n b

cos

(11)

2 a 2 2

mn m

Таким образом, расчёт пластины сводится к определению коэффициентов Стп по формулам (7) от конкретно заданной нагрузки q(x,y), после чего по формулам (9) определяются значения коэффициентов Атп ряда (4), а по выражению (4) – значения прогибов пластины.

Далее приведём расчётные формулы для вычисления изгибающих моментов, крутящего момента, поперечных сил, приведённых поперечных сил (опорных реакций) и сосредоточенных реакций в углах пластины при построении решения в двойных тригонометрических рядах.

Изгибающие моменты:

	2	w2	2	w2
M x x, y D		w2		w2
	x		y

m x

n y

D Amn

sin

;

m 1 n 1

M y x,

y D

m x

n y

D Amn

sin

m 1 n 1

Крутящий момент:

m x

n y

H x, y D 1

D 1 Amn 2 mn

cos

x y

m 1 n 1

Поперечные силы:

mn2

m x

n y

Qx x, y D

D Amn

cos

sin

;

x y

m 1 n 1

nm2

m x

n y

Qy x, y D

D Amn

sin

cos

x y

m 1 n 1

(12)

(13)

(14)

166

Приведённые поперечные силы (опорные реакции):

V	x, y Q	H	D	3w		2	3w
					3			2
x	x	y		x			x y

mn2

m x

n y

D Amn

cos

sin

;

m 1 n 1

Vy x, y Qy

H D

w3 2

nm2

m x

n y

D Amn

3 2

sin

cos

m 1 n 1

Сосредоточенные реакции в углах пластины:

cos n y0 .

R x0 , y0 2H 2D 1 Amn 2

m n cos m x0

m 1 n 1

Здесь x0 , y0 координаты углов прямоугольной пластины.

(15)

(16)

Положительные направления сосредоточенных реакций показаны на рис. 89. Здесь же показаны положительные направления равнодействующих

приведённых поперечных сил Rx0 , Ry0 ,				Rxa,	Ryb . Из формулы (16) следует:
1)	угол при x 0,	y 0	2D 1 Amn 2 m n;			(17)
		R1	2D 1 Amn 2 m n;			(17)

			m 1 n 1		a b
2)	угол при x a,	y 0			m n cos m ;	(18)
		R2 2D 1 Amn 2			m n cos m ;	(18)

			m 1 n 1		a b
3)	угол при x a,	y b

R3	2D 1 Amn 2	m n cos m cos n ;

	m 1 n 1	a b
4) угол при x a,	y 0	m n cos n .
R4	2D 1 Amn 2	m n cos n .

	m 1 n 1	a b

(19)

(20)

167

Рис. 89

П р и м е р 1 .

Подобрать толщину прямоугольной пластины из условия прочности Губера – Мизеса – Генки. Прямоугольная пластина, шарнирно опёртая по всему контуру, загружена равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q по площади прямоугольника ABCD (рис. 90).

Рис. 90

Дано: a 3 м; b 1 м ; a1 0,5 м ; a2 2,5 м; b1 0,25 м ; b2 0,75 м ; q 8 105 Па ; 0,2 ; R 2,1 108 Па.

168

Приближённое уравнение изогнутой срединной поверхности пластины

(4) запишем с использованием четырёх членов ряда:

w x, y A	sin x sin y A			sin x sin 2 y
11	a	b	12		a	b

A	sin 2 x	sin y	A		sin 2 x	sin 2 y .
21	a	b	22		a	b

Р е ш е н и е .

1. Вычисляем коэффициенты A11, A12 , A21, A22 :

A11	6,604 103	Н м2	;	A12	0,00	Н м2	;
	D				D
A21	0,00 Н м2 ; A22			0,00	Н м2 .
	D			D

2. Составляем приближённое уравнение изогнутой поверхности срединного слоя:

w x, y 6,604 103

sin x

sin y .

3. Определяем внутренние усилия:

M x x, y 2,028 104 sin

sin

;

M y x, y 6,662 104 sin

sin

;

Qx x, y 7,576 104 cos

sin

;

Qy x, y

2,275 105 sin x

cos y

;

Hx, y 5,460 104 cos 3x cos 1y .

4.Строим эпюры относительных прогибов и изгибающих моментов в

сечении xm 0,5a и в сечении ym 0,5b . В силу симметрии в этих сечениях

прогибы и изгибающие моменты максимальны. - сечение xm 0,5a :

w 1,5; y	6,604 103	sin		sin	y	;
	D		2		1
Mx 1,5; y 2,028 104 sin				sin y;
			2		1

169

- сечение ym 0,5b :
w x;0,5	6,604 103	sin	x	sin		;
	D		3		2

My x;0,5 6,662 104 sin 3x sin 2.

Соответствующие графики представлены на рис. 91.

Подбираем толщину пластины. Выпишем формулы для напряжений,

Рис. 91

возникающих в сечениях пластины, перпендикулярных её срединной плоскости:

x, y

12M x x, y

x, y

12M y x, y

x, y

12H x, y

yz x, y

6Qy x, y h2

; zx x, y

6Qx x, y h2

Как следует из эпюр, максимальные изгибающие моменты, а следовательно, и максимальные нормальные напряжения x и y возникают в

центре	пластины x xm , y ym			на верхней z z h		и нижней
					2
		h	её поверхностях.	В силу симметрии крутящий момент в
z z		2	её поверхностях.	В силу симметрии крутящий момент в
		2

170

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2717 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20243.24 Mб21841.pdf
#
16.06.20243.26 Mб31842.pdf
#
16.06.20243.27 Mб21843.pdf
#
16.06.20243.27 Mб01844.pdf
#
16.06.20243.28 Mб01845.pdf
#
16.06.20243.28 Mб21846.pdf
#
16.06.20243.28 Mб01847.pdf
#
16.06.20243.28 Mб11848.pdf
#
16.06.20243.29 Mб01849.pdf
#
16.06.2024218.05 Кб0185.pdf
#
16.06.20243.29 Mб01850.pdf