Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1846

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

3.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2714 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Рис. 65

i 1

(0)

uij

u1, j

;

 для 1 i nx

(u,v)

получим

и nl

j np

(0)

i 1

vij

v1, j 1

;

j 1

uij ui,n(u )

;

(u,v)

(u)

 для 2 i nx

будем иметь

и 1 j nl

j 1

vij

v (v)

;

(v)

i,nl

(u )

j ny

;

i,np n(pu) ny

 для 2 i nx

(u,v)

j ny

и np

имеем

j ny

vij

(v)

i,np

(v)

2. На границе расчётной области значения искомых функций uij и vij

определяются так:		j 1,2,...,nu	u	0;
 верхняя граница	i 1;	j 1,2,...,nu	u	0;
		l	ij
	i 1;	j 1,2,...,nv	v	0;
		l	ij
		131

i 1;	j nlu ,...,nup						uij	u1(,0j) ;
i 1;	j nlv ,..., nvp						vij	v1(,0j) ;
i 1;	j nu	,..., n			y		u	0;
	p				y		ij
i 1;	j nv		..., n		y		v	0;
	p,				y		ij
 левая граница i 1,2,..., nx ; j 1				uij ui,1 0;					vij vi,1 0;
 правая граница i 1,2,...,nx ;		j ny					uij	ui,ny	0;	vij vi,ny	0;
 нижняя граница i nx ;	j 1,2,...,ny						uij un , j 0;			vij vn	, j 0.
								x		x
3. Для каждой внутренней точки						ij расчётной сеточной области
записываем систему (а), в	которой			производные					заменяем конечными

разностями с погрешностью в остаточном члене порядка O h2 . Таким образом, для каждой точки ij получаем систему двух линейных алгебраи-

ческих уравнений относительно неизвестных uij , vij . В развёрнутом виде эта система имеет следующий вид:

ui, j 1 2uij

ui, j 1

ui 1, j

2uij

ui 1, j

vi 1 j 1 vi 1, j 1 vi 1, j 1 vi 1, j 1

Fij

;

2lh

ui 1 j 1 ui 1, j 1 ui 1, j 1 ui 1, j 1

2lh

vi, j 1 2vij vi, j 1

4 G

vi 1, j 2vij vi 1, j

4. Решаем систему (б) методом Крамера:

(б)

Fij y .

; v

v .

Здесь a(1)b(2);

c(1)b(2) ;

v a(1)c(2) , причём

(1)

(2)

;

l 2

(1)

( x)

ui, j 1

G0 ui 1, j ui 1, j

Fij

ui, j 1

vi 1, j 1 vi 1, j 1 vi 1, j 1 vi 1, j 1 ;

2lh

132

(2)

( y)

ui 1, j 1

ui 1, j 1 ui 1, j 1 ui 1, j 1

Fij

2lh

G0 vi, j 1 vi, j 1

2 K0

vi 1, j vi 1, j .

5. Проверяем условие окончания процесса итераций:

u(k) u(k 1)

v(k) v(k 1) .

Здесь k – номер итерации; – погрешность вычислений.

При выполнении расчётов параметры геометрии полупространства

принимались следующими: ширина расчётной области L 24 м , толщина

сжимаемой толщи полупространства H 12 м ,

количество узлов сетки по

вертикали

nx 13 ,

количество

узлов

сетки

по

горизонтали

ny 21.

Механические

константы

материала

полупространства

K0 1,1547 G0 .

Вычисления выполнялись с точностью 0,0001. Начальные смещения

границы полупространства показаны на рис. 66.

Э П Ю Р Ы Н А Ч А Л Ь Н Ы Х С М Е Щ Е Н И Й

"u"

Смещение

0 . 5

1 0

1 2

1 4

1 6

1 8

2 0

К о о р д и н а та " Y "

V < O

"v"

Смещение

0 . 5

V > O

1 0

1 2

1 4

1 6

1 8

2 0

К о о р д и н а та " Y "

Рис. 66

На рис. 67 представлены эпюры вертикальных перемещений, построен-

ные для уровней в нуль, три, шесть, девять и двенадцать метров глубины

полупространства.

133

Уровень 0,0 м	12	0	12
Уровень 0,0 м

1,0

Уровень 3,0 м

1,0

Уровень 6,0 м

1,0

Уровень 9,0 м

1,0

Уровень 12,0 м

1,0

Рис. 67

Метод конечных разностей для решения плоской задачи теории упругости в напряжениях

Решение плоской задачи теории упругости в напряжениях математически сводится к интегрированию бигармонического уравнения

x y

удовлетворяющего краевым условиям:

pnx

Fx y Fy x m;

x y

pny

Fx y Fy x l

x y

Зная функцию напряжений x, y , найдём напряжения:

;

F y F X.

x y

(16)

(17)

(18)

134

Далее имеем обратную задачу теории упругости, когда известными являются напряжения в каждой точке тела.

В соответствии с алгоритмом МКР, в каждом внутреннем узле расчётной сетки записывается уравнение (16), в котором производные заменяются конечно-разностными операторами. При этом в часть конечно-разностных

уравнений войдут и значения функции x, y для узлов на контуре и для

узлов, расположенных на расстоянии одного шага вне контура. Записывая краевые условия (17) с использованием конечно-разностных операторов, мы также вынуждены будем использовать внеконтурные узлы. Это обстоятельство приводит к тому, что количество конечно-разностных уравнений будет меньше числа неизвестных. Следовательно, необходимо каким-то образом определить значение искомой функции в контурных и законтурных узлах.

Для определения значений искомой функции x, y в контурных и

законтурных узлах воспользуемся рамной аналогией, предложенной профессорами П.Л. Пастернаком, П.М. Варваком, А.П. Синицыным.

Прежде всего, используя формулы для конечно-разностной аппроксимации первой производной, выразим значения функции напряжений в законтурных узлах через значения этой функции в соответствующих внутриконтурных узлах и значение нормальной производной к контуру.

Рис. 68

135

В соответствии с рис. 68, имеем:

1, j 1, j ;

n 1, j n 1, j ;

2 x

0, j

n, j

i,1 i, 1 ;

i,m 1 i,m 1 .

2 y

i,0

i,m

Отсюда получаем:
1, j 1, j				;
	2 x
		x 0, j
n 1, j n 1, j					;
	2 x		x
				n, j	(19)

				;
i, 1 i,1 2 y		y
			i,0
i,m 1 i,m 1
	2 y		y	.
				i,m

Формулы (19) определяют значения функции x, y в законтурных точках через значения функции напряжений во внутриконтурных точках и значения нормальных производных функции x, y на соответствующих

границах прямоугольной расчётной области.

В качестве расчётной области будем рассматривать балку-стенку под действием произвольной контурной нагрузки, действующей параллельно её плоскости. Балка-стенка будет находиться в условиях обобщённого плоского напряжённого состояния. Далее сопоставим напряжения в балкестенке, действующие на площадках, параллельных её контуру, с внутренними усилиями в элементах (стержнях) рамы, совпадающей с контуром балки-стенки, для одной и той же внешней нагрузки. Следует отметить, что балка-стенка, равно как и соответствующая рама, под действием внешней нагрузки находится в равновесии.

Изобразим балку-стенку (рис. 69) и соответствующую раму (рис.70):

136

137

1.Рассмотрим левый край балки-стенки и левый стержень рамы:

x0, 0 y b.

На площадке, параллельной оси Y и примыкающей к левому краю балки-стенки (рис. 71), напряжения равны:

2 0, y

d 2

y ;

dy2

(20)

2 0, y

q y .

x y

x x 0

Найдём

связь

между

внутренними

Рис. 71

усилиями в левом стержне рамы (рис. 72).

y 0:

N N dN qt y dy 0, то есть

dN q

y .

(21)

x 0:

Q Q dQ qn y dy 0, то есть

dQ q

y .

(22)

M Qdy q

dy2

M dM 0,

Рис. 72

то есть

(23)

Сопоставив (22) и (23), получим:

d 2M

dQ q

y .

(24)

dy2

2. Рассмотрим верхний край балки-стенки и верхний стержень рамы:

0 x a, y b .

оси X

На

площадке,

параллельной

примыкающей к

верхнему

краю

балки-стенки

(рис. 73), напряжения равны:

2 x,b

d 2

x ;

dx2

(25)

2 x,b

q x .

x y

Рис. 73

y y b

138

Найдём связь между внутренними усилиями в верхнем стержне рамы

(рис. 74).

x 0: N qt x dx N dN 0,

то есть	dN q x .		(26)
	dx	t
	dx
y 0: Q qn x dx Q dQ 0,
то есть	dQ	qn x .	(27)
	dx		Рис. 74
			Рис. 74

M1 0 :

Qdx M qn x dx22 M dM 0,

то есть	dM	Q.			(28)
	dx
Сопоставив (27) и (28), получим:
d 2M dQ			q	x .	(29)
dx2		dx	n

3.Рассмотрим правый край балки-стенки и правый стержень рамы:

xa, 0 y b .

На площадке параллельной оси Y и примыкающей к правому краю балки-стенки (рис. 75) напряжения равны:

		2 a, y		d 2			q	y ;
			y2
	x				dy2			n
xy			2 a, y				d

			x y
						dy		x x a

(30)

qt y .

Рис. 75

Найдём связь между внутренними усилиями в левом стержне рамы (рис. 76).

y 0: N N dN qt y dy 0 ,

то есть	dN	qt y .	(31)
	dy

x 0: Q Q dQ qn y dy 0,

139

то есть			dQ qn y .					(32)
			dy
M1	0 : M Qdy qn y	dy2	M dM	0;
M1	0 : M Qdy qn y		M dM	0;
	2
			то есть	dM	Q.			(33)
				dy
			Сопоставив (32) и (33), получим:
				d 2M	dQ	q	y .	(34)
				dy2	dy	n

4.	Рассмотрим нижний край балки-
стенки и нижний стержень рамы:
Рис. 76	0 x a, y 0 .

На площадке, параллельной оси X и примыкающей к нижнему краю балки-стенки (рис. 77), напряжения равны:

2 x,b

d 2 q

x ;

dx2

(35)

2 x,b

x .

x y

y y 0

Найдём связь между внутренними усилиями

в нижнем стержне рамы (рис. 78):			Рис. 77
x 0:	N qt x dx N dN 0,		Рис. 77
x 0:	N qt x dx N dN 0,
	то есть	dN q x .		(36)
		dx	t
		dx
	y 0: Q qn x dx Q dQ 0,
	то есть	dQ	qn x .	(37)
		dx

Рис. 78

140

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2714 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20243.24 Mб01841.pdf
#
16.06.20243.26 Mб11842.pdf
#
16.06.20243.27 Mб01843.pdf
#
16.06.20243.27 Mб01844.pdf
#
16.06.20243.28 Mб01845.pdf
#
16.06.20243.28 Mб21846.pdf
#
16.06.20243.28 Mб01847.pdf
#
16.06.20243.28 Mб01848.pdf
#
16.06.20243.29 Mб01849.pdf
#
16.06.2024218.05 Кб0185.pdf
#
16.06.20243.29 Mб01850.pdf