1846

Усилия в узлах конечных элементов в местной системе координат, с учётом векторов преобразований нагрузок, определяются по формуле

Имея векторы усилий в местной системе координат, прикладываем их к соответствующим узлам отдельных стержневых конечных элементов стержневой системы и строим эпюры внутренних усилий (рис. 57).

121

Для выполнения статической проверки запишем условия равновесия стержневой системы (рис. 58). При этом опорные реакции найдём по эпюрам внутренних усилий.

Рис. 58

Условия статического равновесия выполняются:

122

Глава 3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

§15. Решение плоской задачи теории упругости методом конечных разностей

Расчёт строительных конструкций, находящихся в условиях плоской задачи, методами теории упругости математически сводится к решению краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Одним из наиболее простых и понятных методов решения таких задач является метод конечных разностей (МКР).

Метод конечных разностей (метод сеток) состоит в следующем:

1.Область, где ищется решение, покрывают сеткой, узлы которой номеруют в определённом порядке.

2.В каждом внутреннем узле расчётной сеточной области записывают разрешающие дифференциальные уравнения, в которых производные заменяют конечно-разностными операторами.

3.Краевые (граничные) условия также записывают с использованием конечно-разностных операторов.

4.Решают полученную систему конечно-разностных уравнений относительно искомых функций в узлах расчётной сеточной области.

В методе сеток решение задачи представляется в виде совокупности узловых значений искомых функций. Математически решение краевой задачи методом сеток сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

Конечно-разностные операторы

Конечно-разностные операторы строятся на основании теоремы Тейлора: если функция f x непрерывна вместе со своими производными

на отрезке x0 , x0 , то эта функция в точке x x0 может быть выражена через производные в точке x x0 формулой

123

Складывая и вычитая формулы (2) и (3), получаем:

fi 2 2 fi 1 2 fi 1 fi 2 ; 2 3

Рис. 59 аналогично

fiIV fi 2 4 fi 1 6 f4i 4 fi 1 fi 2 .

Формулы (4) выражают значения первых четырёх производных от функции f x в точке xi через значения этой функции f x в соседних

точках. Операторы (2) симметричны относительно их центра , и

соответствующие им формулы называются центральными конечными разностями.

Запишем по аналогии, пользуясь рис. 60, конечно-разностные операторы для функции двух переменных: x, y .

124

Рис. 60

Заменяя в дифференциальных уравнениях производные конечно-разно- стными операторами, мы допускаем погрешность, которая оценивается остаточным членом ряда Тейлора в разложении (1). Все конечно-

разностные операторы (4) и (5) записаны с погрешностью порядка O h2 .

Метод конечных разностей для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим этот метод на примере решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

125

Требуется найти функцию y x , удовлетворяющую на отрезке [a, b] (рис.

Метод конечных разностей позволяет свести краевую задачу к решению системы линейных алгебраических уравнений.

В соответствии с алгоритмом метода конечных разностей запишем в каждом внутреннем узле расчётной области дифференциальное уравнение (6), в котором производные заменим соответствующими конечноразностными операторами (4). В итоге для точки с номером i получим:

y1, y2 , ..., xn . Недостающие два уравнения получим из краевых условий (7):

получится система линейных алгебраических уравнений с трёхдиагональной матрицей коэффициентов:

Ai yi 1 Ci yi Bi yi 1 Fi , i 1, 2, ..., n 1. (11)

126

Для решения системы (11) совместно с уравнениями (10) целесообразно использовать метод прогонки.

П р и м е р 1 .

Составить систему конечно-разностных уравнений для численного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси стержня на двух опорах длиной l , нагруженного равномерно-распределённой нагрузкой интенсивности q . Изгибная жёсткость стержня EI задана.

Р е ш е н и е .

Краевая задача для решения данной задачи состоит из дифферен-

Сопоставляя данную краевую задачу с задачей (6), (7), получаем:

Дальнейшее решение выполняется по формулам (11) совместно с уравнениями (10).

Метод конечных разностей для решения плоской задачи теории упругости в перемещениях

Рассмотрим полупространство, находящееся в условиях плоской деформации (рис. 62), то есть нагруженное, например, равномернораспределённой полосовой нагрузкой, бесконечно простирающейся в направ-

лении оси Z . Выберем в качестве расчётной

прямоугольную область такую, что на её границах перемещения равны нулю

(рис. 63):

u 0; v 0.

Будем считать, что заданы:

127

Итак, количество неизвестных в системе (13) будет равно:

2 n 1 m 1 2 2 n 1 2 2 m 1 2 n 1 m 1 ,

то есть равно количеству уравнений.

Решив систему (13), будем знать в каждой точке расчётной сеточной области значения функций перемещений u и v. Далее для определения всех характеристик напряжённо-деформированного состояния, то есть напряжений и деформаций, и оценки прочности полупространства, решаем обратную задачу теории упругости. Деформации в каждом узле расчётной сетки определяются на основании уравнений Коши:

Напряжения в каждом узле расчётной сеточной области определяются на основании закона Гука в форме Ламе:

П р и м е р 2 .

Рассмотрим напряжённо-деформированное состояние полупространства (рис. 64). Все точки полосы P шириной L0 , расположенной на

его свободной поверхности, получают начальное вертикальное u(0) и

горизонтальное v(0) , перпендикулярное направлению оси Z смещение. Полупространство будет находиться в состоянии плоской деформации.

129

X

Рис. 64

Определение напряжённо деформированного состояния полупространства математически сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений:

Краевые условия будем определять следующим образом:

– на поверхности полупространства

для L0 2 y L0 2 u 0, y u(0) ( y); v 0, y v(0) ( y);

для y L0 и y L0 u 0, y 0; v 0, y 0 .

– внутри полупространства u , 0; v , 0.

Для построения решения выделим в полупространстве прямоугольную область шириной L и высотой H . Решение сформулированной задачи будем выполнять методом конечных разностей на прямоугольной сетке с шагом l по горизонтали и шагом h по вертикали (рис. 65).

Алгоритм решения поставленной задачи будет следующим:

1. Задаёмся начальным приближением решения uij(0) , vij(0) в каждом внутреннем узле ij расчётной области. В качестве начального приближения решения принимаем линейный закон u ax b; v cx d ,

убывающий в направлении вертикали под воздействием и убывающий в направлении горизонтали влево и вправо от воздействия (на рис. 65 – это заштрихованные треугольные эпюры). Таким образом, имеем:

130