1846

5)Задаём единичное перемещение пятой связи (рис. 47): V5 1.

Всоответствии с таблицей метода перемещений строим эпюру изгибающих моментов и определяем опорные реакции. Тогда

Рис. 47

Легко видеть, что матрица жёсткости балочно-комбинированного конечного элемента будет иметь вид:

3. Формирование матрицы жёсткости для конечного элемента с четырьмя степенями свободы.

1)Задаём единичное перемещение первой связи (рис. 48): V1 1.

Всоответствии с рис. 48

r11 EAl ; r21 0; r31 EAl ; r41 0.

Рис. 48

111

2)Задаём единичное перемещение второй связи (рис. 49): V2 1.

Вэтом случае изгибающие моменты и опорные реакции отсутствуют, то

есть

Стержневой конечный элемент может располагаться на плоскости не только горизонтально, но и под углом к горизонту (рис. 52). Ввиду этого необходимо составить формулы перехода от матрицы реакций в местной системе координат к матрице реакций в общей системе координат.

Для этого предварительно построим матрицу C , которая преобразует

112

Из рис. 52 следует:

V1 Z1 cos Z2 sin ;

V2 Z1 sin Z2 cos ;

V3 Z3 ;

V4 Z4 cos Z5 sin ;

V5 Z4 sin Z5 cos ;

V6 Z6.

Матрица преобразования C может быть записана в блочной форме:

Так как рассматриваются плоские упругие стержневые системы, то векторы узловых усилий и узловых перемещений как для отдельного

113

конечного элемента, так и для стержневой системы в целом, связаны между собой линейно:

Переход от общей системы координат к местной системе координат для перемещений конечного элемента выполняется в соответствии с соотношением (12). По аналогии можно получить формулы перехода от общей системы координат к местной системе координат и для узловых усилий конечного элемента:

Здесь S, F узловые усилия конечного элемента соответственно, в мест-

ной и в общей системах осей координат. Учитывая формулы (19), (17) и (12), найдём

системе координат.

При формировании матриц жёсткости отдельных элементов r должны быть зафиксированы начало и конец каждого стержня, так как от этого зависит знак угла , определяющего ориентацию стержня в общей системе осей координат X 0Y .

На конкретном примере рассмотрим, как формируется матрица жёсткости для стержневой системы в целом, когда имеются матрицы жёсткости для всех отдельных конечных элементов. Пусть задана некоторая стержневая система (рис. 53).

стержневой системы покажем в блочном виде с размерами блоков 3 3, так

114

как с каждым блоком связано по три возможных перемещения (горизонтальное, вертикальное и поворот жёсткого узла).

Здесь kij матричный блок, в котором первый индекс указывает номер

узла, в котором возникает блок реакций; второй индекс – номер узла, смещением которого эти реакции вызваны. Нулевые блоки обозначают, что соответствующие узлы не связаны непосредственно стержнем и прямо не взаимодействуют, то есть не передают реакции из узла в узел.

Каждой строке в матрице (22) соответствует группа реакций в соответствующем узле, а каждый столбец отвечает вектору перемещений данного узла.

Общая матрица жёсткости K получается путём суммирования соответствующих матриц жёсткости отдельных стержней. Так,

Суммирование блоков, указанных в каждом элементе матрицы жёсткости K , ведётся поэлементно. Заметим, что для любых двух блоков, расположенных симметрично относительно главной диагонали матрицы

жёсткости K , справедливо равенство knm kTmn .

Рассмотрим порядок расчёта стержневых систем методом конечных элементов. Порядок расчёта стержневых систем методом конечных элементов можно разбить на три основных этапа: подготовительный, вычислительный и обработку результатов.

1. Подготовительный этап включает в себя разработку расчётной схемы стержневой системы, разбиение расчётной схемы на отдельные элементы, нумерацию узлов и конечных элементов, выбор общей системы координат. После этого составляются исходные матрицы: матрицы жёсткости

115

направляющих косинусов C . Далее формируют вектор внешних нагрузок

P , предварительно преобразовав внеузловую нагрузку к узловой.

2. Вычислительная часть включает в себя выполнение следующих этапов:

a. Вычисление матриц жёсткости конечных элементов в общей системе координат R CT r C .

b.Формирование матрицы жёсткости всей стержневой системы K .

c.Вычисление вектора перемещений вершин конечных элементов

стержневой системы в общей системе осей координат Z K 1 P.

d.Формирование векторов перемещений вершин каждого конечного элемента в общей системе координат.

e.Вычисление вектора узловых усилий для отдельных конечных

элементов в местной системе координат S r C Z.

f. Определение результирующих усилий в узлах отдельных конечных элементов в местной системе координат с учётом преобразований внеуз-

ловой нагрузки S S S0 .

3. Обработка результатов состоит в построении эпюр внутренних усилий – изгибающих моментов, поперечных и продольных сил, а также в проверке решения. Необходимой и достаточной является статическая проверка решения, то есть все узлы рамы должны находиться в равновесии.

П р и м е р .

Методом конечных элементов построить эпюры внутренних усилий в

EI3 0,125 Н м2 .

Р е ш е н и е .

Рис. 54 Выбираем основную систему метода конечных элементов (рис.

55), разбивая раму на три прямолинейных конечных элемента [1], [2], [3].

Нумеруем узлы (1), (2), (3), (4).

116

В узле 3 элементы соединяются между собой жёстко, с этим узлом связаны три неизвестных перемещения Z1, Z2 , Z3 . В узле 4 элементы соединяются шарниром, здесь два неизвестных перемещения Z4 , Z5 . В опорных узлах 1 и 2 все три перемещения равны нулю. Следовательно,

чтобы координаты всех узлов были положительными.

Распределённую по ригелю нагрузку приводим к узловой (рис. 56), используя для этого таблицы метода перемещений.

40

30

Рис. 56

Составляем исходные матрицы. Вектор внешних нагрузок P для стержневой системы в целом в общей системе координат и векторы преобразований внеузловых нагрузок к узловым для конечных элементов в

местных системах осей координат Sk имеют вид:

117

Составляем матрицы жёсткости всех конечных элементов в местной системе координат. Начало каждого конечного элемента связываем с меньшим номером узла, конец конечного элемента – с бóльшим номером узла.

соответствии с расчётной схемой, имеют нулевые компоненты. В силу этого

118

Матрица жёсткости стержневой системы в целом формируется из блоков матриц жёсткости отдельных элементов следующим образом:

Далее определяем вектор перемещений узловых точек стержневой системы в общей системе осей координат:

Далее определяем вектор перемещений узловых точек стержневой системы в общей системе осей координат:

Формируем векторы перемещений вершин каждого конечного элемента в соответствии с рис. 55.

120