1846

Решив матричное уравнение (1), найдём вектор неизвестных:

Вектор изгибающих моментов в пронумерованных сечениях заданной статически неопределимой стержневой системы найдём, используя соотношение:

Таким образом, для численной реализации на ЭВМ матричного метода сил необходимо составить четыре исходные матрицы: L0m , B, L0mp , P .

Окончательная эпюра изгибающих моментов должна удовлетворять как уравнениям равновесия, так и всем кинематическим условиям. В матричной форме это равносильно отысканию полного вектора перемещений Z , значение которого должно быть равно нулю:

Формула (7) используется для проверки правильности построенного решения.

При действии на статически неопределимую стержневую систему раздельно "t" вариантов внешних воздействий система канонических уравнений имеет вид:

91

Окончательные значения изгибающих моментов от всех "t" вариантов внешних воздействий получим в виде матрицы:

Таким образом, при расчёте системы методом сил в матричной форме необходимо:

a)выбрать основную систему метода сил;

b)построить единичные эпюры моментов от единичных воздействий

X1 X 2 ... X n 1;

c)построить единичные грузовые эпюры моментов от грузовой

нагрузки, принимаемой равной единице: F1 1 , F21 ,..., F1 2 , F2 2 ,..., Fk t 1; d) составить матрицы L0m , B, L0mp , P и выполнить их перемножение.

П р и м е р .

Построить эпюры внутренних усилий в статически неопределимой раме (рис. 24) методом сил в матричной форме [28].

Исходные данные: h 3 м, l 6 м, F 3 kH, q 2 kHм.

Р е ш е н и е .

Рама является три раза статически неопределимой. Для получения основной системы отбросим правую жёсткую опору и заменим её действие тремя неизвестными силами X1, X 2 , X3 (рис. 25).

Разобьем раму на три участка I, II, III. На левой стойке наметим два сечения: 1, 2; на ригеле – три сечения: 2, 3, 4; на правой стойке – два сечения: 4, 5 (рис. 25).

92

Строим единичные эпюры моментов в основной системе (рис. 26):

Рис. 26

Строим эпюры моментов от единичной грузовой нагрузки (рис. 27):

93

Здесь

94

95

Подсчитываем значения изгибающих моментов в пронумерованных сечениях заданной стержневой системы:

Рис. 28

Окончательные эпюры поперечных и продольных сил строятся по окончательной эпюре изгибающих моментов методами строительной механики.

§13. Расчёт стержневых систем методом перемещений

в матричной форме

Для "n" раз кинематически неопределимой системы канонические уравнения метода перемещений в матричной форме имеют вид:

96

Здесь Rr матрица реакций в присоединённых связях в основной системе от единичных перемещений этих связей,

rij – реакция в i-й связи от единичного перемещения j-й связи.

Для вычислений компонентов матрицы реакций Rr и вектора реактивных усилий R p воспользуемся способом перемещения эпюр:

Здесь L0m матрица влияния изгибающих моментов в основной системе

метода перемещений от единичных перемещений присоединённых связей Z1 1, Z2 1, ..., Zn 1. Матрица содержит "n"

столбцов и "m" строк;

n число единичных перемещений;

m число сечений, в которых вычисляются внутренние усилия; B матрица податливости отдельных, несвязанных элементов;

L0mp матрица влияния изгибающих моментов в любой статистически определимой системе, полученной из заданной, от внешних сил,

Окончательные значения изгибающих моментов в пронумерованных сечениях заданной стержневой системы определяют по уравнению

97

Здесь Lmp матрица влияния изгибающих моментов в основной системе

метода перемещений от внешних сил, равных единице.

При действии на статически неопределимую систему "t" вариантов внешних нагрузок векторы Z и R p переходят в прямоугольные матрицы

порядка n t , где n степень кинематической неопределимости системы. Матрица реакций Rr вычисляется по формуле (3).

Таким образом, для расчёта системы методом перемещений в матричной форме необходимо построить матрицы L0m , L0mp , B, Lmp и вектор P . При

этом алгоритм расчёта будет следующим:

а) выбор основной системы метода перемещений; б) построение единичных эпюр моментов от единичных воздействий

Z1 Z2 ... Zn 1;

в) построение единичных грузовых эпюр моментов от грузовой нагрузки, принимаемой равной единице, в статически определимой системе; г) построение единичных грузовых эпюр моментов от грузовой нагрузки, принимаемой равной единице, в основной системе метода пере-

мещений;

д) составление матриц L0m , L0mp , B, Lmp , P и их перемножение.

Проверкой правильности полученного решения является статическая проверка, заключающаяся в проверке выполнения условий равновесия узлов стержневой системы.

П р и м е р .

Построить эпюры внутренних усилий в статически неопределимой раме (рис. 29) методом перемещений в матричной форме [28].

Исходные данные: F 6 кН; q 43 кНм . Длины и жёсткости стержней

показаны на рис. 29. Для упрощения будем полагать, что EI 1. Стержневая системы будет три раза кинематически неопределима n 3 .

Р е ш е н и е .

Разбиваем заданную систему на семь участков, руководствуясь тем, чтобы в пределах каждого участка эпюры изгибающих моментов не имели разрывов и точек перегиба (на основной системе эти участки отмечены арабскими цифрами в кружочках). На каждом участке намечаем расчётные сечения: на участке 1 – сечения 1 и 2; на участке 2 – сечения 3 и 4; на участке 3 – сечения 5 и 6; на участке 4 – сечения 7 и 9; на участке 5 – сечения 8 и 9; на участке 6 – сечения 9, 10 и 11; на участке 7 – сечения 12 и 13.

98

Принимаем рабочее правило для изгибающих моментов: направление положительных моментов отмечено знаком (рис. 30).

Рис. 29

Основная система метода перемещений показана на рис. 30.

Рис. 30

99

Строим единичные эпюры (рис. 31, а,б,в,г,д,е,ж), помня, что EI=1.

100