Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая теория поля

Файл:

КТП

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.06.2024

Размер:

500.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

3.1. Комплексное скалярное поле

1 Квантование скалярного поля ϕ(x)

Запишем общее решение уравнения Клейна–Гордона, которое будет представлять из себя сумму по всевозможным импульсам плоских волн. Так как поле комплексное, то под знаком суммы будет два слагаемых, соответствующих волнам, бегущим в противоположных направлениях:

ϕ(x) =	X			[a		exp(		ipx) + b exp(ipx)].	(3.9)
		p
	1				p~		−
			2Ep~					p~
	p~

Обращаем внимание на следующее: под корнем стоит положительный корень для энергии и, как обычно, px = Et−p~x . Отметим, что если бы скалярное поле было действительным, то есть ϕ(x) = ϕ (x) , то из (3.9) получили бы

ap~ = bp~.

В нашем же случае

ap~ 6= bp~.

Для квантования переходим от классического поля (3.9) к оператору ϕˆ(x) . Для этого заменим в (3.9) числа a и b на операторы (операторы рождения и уничтожения)

X 1

ϕˆ(x) = p

p~ 2Ep~

Соответственно

ϕˆ+(x) = X p 1

p~ 0	2Ep~ 0

ˆ+	exp(ipx)].
[ˆap~ exp(−ipx) + bp~

[ˆa+ exp(ip0x) + ˆbp~ 0	exp(	−	ip0x)].
p~ 0		−

(3.10)

(3.11)

ˆ ˆ ˆ		ˆ
Операторы a, b, a	+	, b	+		удовлетворяют следующим коммутационным соот-
Операторы a, b, a		, b			удовлетворяют следующим коммутационным соот-
ношениям (в силу того, что поле бозонное):
					+	ˆ	ˆ+		(3.12)
				[ˆap~, aˆp~ 0 ] = δp~ 0 ,		[bp~, bp~ 0 ] = δp~ 0 .			(3.12)
Все другие возможные коммутаторы равны нулю
					ˆ ˆ	ˆ	ˆ+	] = 0.
	[ˆap~, aˆp~ 0 ] = [bp~, bp~ 0 ] = [ˆap~, bp~ 0						] = [ˆap~, bp~ 0	] = 0.

Подставим соотношения (3.10), (3.11) в оператор Гамильтона, который получается из (3.7) заменой ϕ → ϕˆ и ϕ → ϕˆ+ . Тогда оператор Гамильтона примет вид

ˆ + ~ ~ + 2 +

H = d~x[(∂0ϕˆ)(∂0ϕˆ ) + (rϕˆ)(rϕˆ ) + m ϕˆϕˆ ]. (3.13)

82	Глава 3. Квантование свободных полей

Теперь нужно подставить выражения (3.10), (3.11) в (3.13). Перед подстановкой выпишем некоторые промежуточные результаты:

(∂0ϕˆ)

∂t

(−aˆp~ exp(−ipx) + ˆbp~ exp(ipx)),

∂ϕˆ

Ep~

∂ϕˆ+

Ep~ 0

(∂0ϕˆ )

(ˆa

exp(ip 0x)

−

bp~

exp(

ip 0x)),

∂t

p~ 0

−

i~p

ˆ+

√

−

i~p 0p~

(

ϕˆ)

(ˆap~ exp(

ipx)

bp~ exp(ipx)),

(

ϕˆ

)

(

aˆp~ 0

exp(ip 0x) + bp~ 0

exp(

ip 0x)).

−

√

p~ 0

Перемножим

соответствующие сомножители:

(∂

ϕˆ)(∂

ϕˆ+) =

[ˆa

aˆ+ exp

i(p

−

p0)x +

p~ 0

{−

}

+ˆb+ˆb

exp

i(p

−

p0)x

} −

aˆ

ˆb

exp

i(p + p0)x

}−

p~ p~

{

{−

ˆb+aˆ+ exp

i(p + p0)x

− p~

p~ 0

{

}

(~ ϕˆ)(~ ϕˆ+) =

p~ 0

[ˆa aˆ+ exp

i(p

p0)x +

p~ 0

{−

−

}

Ep~Ep~ 0

+ˆb+ˆb

exp i(p

−

p0)x aˆ

ˆb

exp

{−

i(p + p0)x

}−

p~ 0

{

}

ˆb+aˆ+ exp

i(p + p0)x

− p~

p~ 0

{

}

m2ϕˆϕˆ+ =

[ˆa aˆ+

exp

i(p

p0)x +

p~ 0

{−

−

}

Ep~Ep~ 0

+ˆb+ˆb

exp

i(p

−

p0)x

}

+ aˆ

ˆb

exp

i(p + p0)x

}−

p~ p~

{

{−

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

ˆb+aˆ+ exp	{	i(p + p0)x ].	(3.18)
− p~ p~ 0	{	}

При взятии интеграла по всему пространству, учтем следующие равенства:

Z	d3x exp[±i(p ± p 0)x] =
= exp[±i(Ep~	± Ep~ 0 )t] · Z			d3x exp[ i(p~ ± p~ 0)~x] =
= (2π)3 exp[		i(Ep~	±	Ep~ 0 )t]δ(3)(p~	±	p~ 0).	(3.19)
	±		±		±

3.1. Комплексное скалярное поле

Так как импульсы p~ и p~ 0 принимают непрерывные значения, то сумму можно заменить интегралом, используя следующее соотношение:

X	= Z	d3p
		(2π)03 .	(3.20)
p~ 0

Учитывая (3.19) и (3.20), при взятии интеграла по всему пространству и суммированию по имульсу p~ 0 будем пользоваться следующими соотноше-

ниями:

(. . .) R d3x exp[±i(p − p 0)x]

(. . .)p~ 0=p~,

p~ 0

(3.21)

P(. . .) d

x exp[±i(p + p 0)x]

(. . .)p~=−p~ 0

exp(±2iEp~).

Учитывая все это, оператор Гамильтона (3.13) примет вид

Hˆ =

2 Ep~[ˆap~aˆp~+ + ˆbp~+ˆbp~ − aˆp~ˆb−p~ exp(−2iEp~t)−

ˆ+ +

p~2

ˆ+ˆ

−bp~ aˆ−p~ exp(2iEp~t)] + +

[ˆap~aˆp~ 0

+ bp~ bp~+

2Ep~t

ˆ+ +

aˆp~b−p~

exp(−2iEp~t) + bp~ aˆ−p~ exp(2iEp~t)] +

[ˆap~aˆp~

2Ep~t

ˆ+ˆ ˆ − ˆ+ +

+bp~ bp~ + aˆp~b−p~ exp( 2iEp~t) + bp~ aˆ−p~ exp(2iEp~t)] .

Собираем слагаемые при одинаковых операторах:

H =

Итак,

p~		1	naˆp~aˆp~+(Ep~2		+ p~2 + m2) + ˆbp~+ˆbp~(Ep~2 + p~2 + m2)+
p~	2Ep~		naˆp~aˆp~+(Ep~2		+ p~2 + m2) + ˆbp~+ˆbp~(Ep~2 + p~2 + m2)+
X
			ˆ	2	2	2	) exp(−2iEp~t)+
		+ˆap~b−p~(−Ep~			+ p~	+ m	) exp(−2iEp~t)+
		+ˆbp~+aˆ−+p~(−Ep~2 + p~2 + m2) exp(2iEp~t)o .
				X				ˆ+ˆ
				ˆ		+		ˆ+ˆ	(3.22)
				H =	Ep~(ˆap~aˆp~			+ bp~ bp~).	(3.22)

Используя коммутационные соотношения (3.12), (3.22), можно записать в следующем виде:

X	X	ˆ+ˆ
ˆ	+	ˆ+ˆ	(3.23)
H =	Ep~ + Ep~(ˆap~	aˆp~ + bp~ bp~).	(3.23)
p~	p~

84	Глава 3. Квантование свободных полей

В данном выражении первое слагаемое, вообще говоря, бесконечно:

p~	Ep~ = Z	Ep~d3p0
		(2π)3 = ∞.
X

Так как в это выражение не входят операторы поля, то данное бесконечное значение энергии можно использовать для начала отсчета, то есть фактически отбросить это слагаемое. Окончательно оператор Гамильтона примет вид

ˆ	X		ˆ+ˆ
	+			(3.24)
H =	Ep~(ˆap~	aˆp~ + bp~ bp~).
	p~
Выполняя аналогичные действия, можно получить оператор импульса
ˆ	X		ˆ+ˆ
	+			(3.25)
p~ =	p~(ˆap~ aˆp~		+ bp~ bp~).

Из (3.24)–(3.25) видно, что квантуя комплексное поле ϕ , получили два сор-

					ˆ
та частиц, которым отвечают операторы уничтожения aˆ и b , а также опе-
раторы рождения aˆ	+		ˆ+	. Оба сорта частиц имеют одинаковую массу, од-
раторы рождения aˆ		и b		. Оба сорта частиц имеют одинаковую массу, од-
нако они не тождественны, так как
				ˆ
				aˆp~ 6= bp~.
		+		ˆ	ˆ+
Это — частицы aˆp~ , aˆp~			и античастицы bp~ ,		bp~ . Появление 2–х сортов ча-

стиц с одинаковой массой обусловлено наличием отрицательных частотных компонент в поле ϕ(x) . Последнее же есть прямое следствие релятивистской связи между энергией и импульсом.

Замечание

Отметим, что мы не смогли бы проквантовать скалярное поле по принципу запрета (то есть заменить в (3.22) коммутатор антикоммутатором), так как в этом случае в операторе Гамильтона (3.24) перед первым слагаемым возник бы знак “ − ” и собственные значения этого оператора могли бы быть отрицательными. Отсюда видно, что связь между спином и статистикой в РКТ возникает автоматически, как следствие положительной определенности энергии системы.

2 Коммутатор полей ϕˆ и ϕˆ+

Используя выражения (3.10)–(3.11), легко получить коммутатор:


[ϕˆ(x), ϕˆ+(x0)] = p~			0 2			1			n[ˆap~aˆp~+0 ] exp{−i(px − p0x0)} −
[ϕˆ(x), ϕˆ+(x0)] = p~			0 2			Ep~Ep~ 0			n[ˆap~aˆp~+0 ] exp{−i(px − p0x0)} −
		X		p
[ˆb	ˆb+] exp i(px		−		p0x0)		}	+ [ˆa ˆb		] exp	i(px + p0x0)
p~0	p~	{	−				}		p~ p~ 0	{−	}−

3.1. Комплексное скалярное поле

[ˆap~+0ˆbp~+] exp{i(px + p0x0)}o .

В силу коммутационного соотношения (3.12), окончательно получим

[ϕˆ(x), ϕˆ+(x0)] =

{exp{−ip(x − x0)} − exp{ip(x − x0)}} .

(3.26)

2Ep~

Перейдем от суммирования к интегрированию с помощью (3.20)

Δ(x − x0) = Z

[ϕˆ(x), ϕˆ+(x0)] = Δ(x − x0),

(3.27)

d3p

{exp{−ip(x − x0)} − exp{ip(x − x0)}} .

(3.28)

(2π)3

2Ep~

В (3.28) выделим временную часть, а также учтем, что

d3p

exp{−i~p(~x − ~x0)} = Z

exp{i~p(~x − ~x0)},

Ep~

Δ(x − x0) = −i Z

d3p

sin[E (t

)]

−

exp{i~p(~x − ~x0)}.

(3.29)

(2π)3

Ep~

Полученная функция (3.29) является скаляром. Так как это функция от разности (x−x0) , то эта функция является функцией единственного инварианта (x−x0)2 = (t−t0)2 −(~x−~x0)2 = inv . Если мировые точки x и x0 разделены пространственноподобным интервалом (x − x0)2 < 0 , то существует такая инерциальная система отсчета, в которой t = t0 (события одновременны). В силу этого из (3.29) получим

Δ(x − x0) = 0 если (x − x0)2 < 0.

(3.30)

Равенство (3.30) выражает собой принцип причинности. Две мировые точки, разделенные пространственноподобным интервалом не могут быть связаны световым сигналом, то есть измерение поля в точке x не может повлиять на измерение поля в точке x0 , поэтому операторы ϕˆ и ϕˆ+ должны коммутировать.

Замечание

Если проквантовать бозонное поле ϕ(x) по принципу запрета, то в выражении (3.29) был бы косинус. В силу этого для пространственно–подобных интервалов Δ(x − x0) 6= 0 , то есть нарушался бы принцип причинности.

Используя (3.27)–(3.28), можно построить одновременной коммутатор операторов полей:

[ϕˆ(~x, t), ϕˆ(~x0,0t)]	=	0.	−	0	),	(3.31)
[ϕˆ(~x, t), ϕˆ+(~x , t)]	=	δ(3)(~x		~x	),

86	Глава 3. Квантование свободных полей

3.2Релятивистское поле со спином 1/2

Рассмотрим релятивистское поле со спином 1/2, которое описывается биспинором ψ , преобразующимся по неприводимому представлению T (1/2, 0) полной группы Лоренца. Нам необходимо построить лагранжиан, который должен быть действительным и скаляром. Ранее было показано,

¯	¯
что комбинация ψψ	— скаляр, кроме этого, ψγiψ — вектор. Из данного
вектора можно построить действительную скалярную величину iη		lj	¯
			[(∂lψ)γjψ−

¯
ψγl(∂jψ)] (здесь метрический тензор введен, чтобы все индексы были ниж-
ними). Учитывая это, запишем лагранжиан в следующем виде:
1			lj	¯		¯	¯
L =	2	iη		[(∂lψ)γjψ − ψγl(∂jψ)] + mψψ.				(3.32)
Уравнения движения имеют вид
				∂L	∂	∂L	= 0.
				∂ψ¯ −	∂	k ∂(∂kψ¯)	= 0.
				∂ψ¯ −		k ∂(∂kψ¯)

Подставим в это уравнение лагранжиан (3.32):

−12 iηljγl(∂jψ) + mψ − 12 ∂k(iηljγjψδkl) = 0,

mψ − 2i γl(∂lψ) − 2i ∂k(ηkjγjψ) = 0,

mψ − 2i γl(∂lψ) − 2i γj(∂jψ) = 0.

Получили

iγl(∂lψ) − mψ = 0.

Представим полученное уравнение в виде

(iγl∂l − m)ψ = 0.

(3.33)

Это уравнение носит название уравнения Дирака. Будем искать решения уравнения Дирака, отвечающие определенному импульсу p . Это решение мы будем искать в виде

ψ = u(p) exp(−px).

(3.34)

Здесь, как обычно, px = Et − p~x , u(p) — биспинор, который определяется спинорами ϕ и χ

u(p) =	ϕp~	.	(3.35)
	χp~

3.2. Релятивистское поле со спином 1/2

Подчеркнем, что выражение (3.35) определяет дираковский биспинор. Подставим (3.35) в (3.33). В результате получим волновое уравнение для биспинора u

(ˆp − m)u(p) = 0,	(3.36)
где по определению
pˆ ≡ γlpl = γ0p0 − γ~p.	(3.37)

Итак, биспинор (3.35) удовлетворяет уравнению (3.36), которое также называют уравнением Дирака для биспинора.

Отметим, что уравнение (3.33) можно записать в форме уравнения Шредингера, выделив производную по времени. Получится

∂ψ		~			− mψ = 0.
iγ0	∂t	− i~γrψ
Домножим слева это уравнение на γ0
		i	∂ψ	= Hψ,

			∂t
где		~

H = iγ0(~γr) + mγ0.
Отметим, что иногда вводят матрицы α						0 .
α~ ≡ γ0~γ = ~σ
					0	~σ

Тогда гамильтониан примет вид

H = α~(i~ ) + mγ0. r

(3.38)

(3.39)

(3.40)

(3.41)

Раскроем уравнение Дирака для биспинора (3.36), подставляя явный вид биспинора, а также γ –матрицы:

	p~σ	−(E + m)	χp~
	E − m	−p~σ	ϕp~	= 0.
Получим однородную систему уравнений

	(E − m)ϕp~ − (p~σ)χp~		=	0,	(3.42)
	(p~σ)ϕp~ − (E + m)χp~		=	0.

Данная система имеет нетривиальное решение, если ее детерминант равен нулю:

(p~σ)	(E + m)	= 0.
(E − m)	−(p~σ)	= 0.

88		Глава 3. Квантование свободных полей
Раскрывая определитель, получим
	−(E2 − m2) + (p~σ)2 = 0.
Второе слагаемое равно p~2 , поэтому окончательно
	Ep~ = ±p		.
		p~2 + m2		(3.43)

Отсюда видно, что и в случае спинорного поля получим два знака “частот”

Ep~ .

а) Рассмотрим случай положительных частот Ep~

> 0 . Тогда из второго

уравнения системы (3.42) получим

χp~ =

(p~σ)

ϕp~.

E + m

Таким образом, биспинор u в этом случае примет вид

Ep~>0

(E+m) ϕp~

ϕp~

(3.44)

(p~σ)

б) Рассмотрим случай отрицательных частот Ep~

< 0 . Тогда из первого

уравнения системы (3.42) получим

ϕp~ = −

(p~σ)

χp~.

|E| + m

В результате этого сам биспинор

−|Eχ| p~

! .

uEp~<0 =

(3.45)

(p~σ)

χp~

Чем прекрасна такая форма? В системе покоя частицы, биспиноры (3.44)– (3.45) зависят только от двухкомпонентной величины:

uE>0			ϕ	,
uE>0		=	0p~	,	(3.46)
		=	0	.
u	E<0	=		.
	E<0		χp~
			χp~

Сами спиноры возникли из–за спина частицы. Будем классифицировать спиноры ϕ и χ по спиновым состояниям в системе покоя, а именно: введем собственное значение оператора (1/2)σ3 (на ось 3). Подействуем этим оператором на спинор ϕ :

(1/2)σ3ϕpλ~ = λϕpλ~,

(3.47)

3.2. Релятивистское поле со спином 1/2			,	ϕ−1/2 =		.	89
λ = ±2	, ϕ+1/2 =	0	,	ϕ−1/2 =	1	.	(3.48)
1		1			0

Аналогичные (3.47)–(3.48) соотношения будут и для спинора χ . Теперь решим вопрос с нормировкой.

1 Нормировка спиноров

Обычно исходят из следующей нормировки:

uλ+0 uλ = δλλ0 .

(3.49)

Подставляя сюда выражение для биспинора с положительными частотами (3.44), получим

λ0	E + m λ0			E+m ϕλ	0
	(p~σ)			ϕλ
(ϕ+ ,		ϕ+ )		(p~σ)	= δλλ ,
1 +		p~2	ϕλ+0 ϕλ = δλλ0 .
1 +		(E + m)2	ϕλ+0 ϕλ = δλλ0 .

Если в последнем равенстве выражение в квадратных скобках привести к общему знаменателю, то числитель равен 2E(E+m) . Отсюда получим нормировку для спинора

ϕλ+0 ϕλ =	Ep~ + m	δλλ0 .	(3.50)

	2Ep~

Отметим, что в нерелятивистском случае, когда Ep~ ≈ m , из (3.50) получим обычную нормировку на одну частицу.

Получим теперь соотношение для нормировки в случае дираковски сопряженного биспинора

u¯λ0 uλ = uλ+0 γ0uλ = ϕλ+0 ϕλ

E + m

Окончательно

u¯λ0 uλ =

δλλ0 .

(3.51)

Ep~

Аналогичное соотношение можно получить и для спинора χ :

χpλ~+ 0 χpλ~ =

|Ep~| + m

δλλ0 ,

(3.52)

2|Ep~|

а также

u¯λ0E<0uλE<0

= −

δλλ0 .

(3.53)

p~|

90	Глава 3. Квантование свободных полей

При исходной нормировке (3.49) нормировка с “ + ” и “ − ” энергиями (3.51), (3.53) одинакова. Отметим, что нормировка (3.49) не является релятивистски инвариантной (инвариантом является uu¯ ). Однако можно нормировать биспинор и релятивистски инвариантным соотношением

			u¯λ0 uλ = δλλ0 .	(3.54)
Тогда получим
uλ+0 uλ =	Ep~	δλλ0	(нормировка Ландау).	(3.55)
uλ+0 uλ =	m	δλλ0	(нормировка Ландау).	(3.55)
	m

2 Спиральность

При классификации спиновых состояний дираковских плоских волн используется переход к системе покоя. Это связано с тем, что проекция спина релятивистской частицы на произвольно выбранное направление (ось 3) не является интегралом движения, то есть не сохраняется во времени. Другими словами, оператор спина дираковской частицы не коммутирует с эффективным гамильтонианом уравнения Дирака. Убедимся в этом. Оператор спина в случае дираковской частицы имеет вид

	1
~s =		2	0	~σ	.	(3.56)
Эффективный гамильтониан имеет вид (3.41)
			ˇ		,
H = −α~p~ + mγ0					,
где обозначено	ˇ
	ˇ			~
	p~ =		−ir.
				ˆ	6= 0 . Это связано с тем, что не
Теперь легко показать, что коммутатор [~s, H]					6= 0 . Это связано с тем, что не

равен нулю коммутатор ˇ . Действительно

[α~p,~~s]

ˇ 1 (α~p~)~s = 2

ˇ 1

~s(α~p~) = 2

(~σp~)~σ

~σ(~σp~)

ˇ (~σp~)~σ

;

~σ(~σp~)

Из последнего соотношения видно, что если оператор спина (3.56) умно-

жить на ˇ , то полученная величина будет коммутировать с гамильтонианом p~

ˇ ˆ [(~sp~), H] = 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Квантовая теория поля

#
11.06.20243.31 Кб1dz.nb
#
11.06.202423.88 Кб2БДЗ.tif
#
11.06.202445.06 Кб0вопросы к экзамену.doc
#
11.06.202420.39 Кб0вопросы.docx
#
11.06.2024500.06 Кб1КТП.pdf