КТП

над последним соотношением проведем процедуру эрмитова сопряжения, в результате чего получим

Приравнивая (2.104) и (2.105) и учитывая (2.102), получим искомое равенство (2.103).

Выражение (2.103) есть рекуррентное для ρ(+)σ0 . Определим из него

ρ(+)σ , считая, что σ0 изменяется от максимального значения j до некоторого значения равного σ .

σ0 = σ : |ρ(+)σ |2 = |ρ(+)σ+1|2 + σ,

σ0 = σ + 1 : |ρ(+)σ+1|2 = |ρ(+)σ+2|2 + (σ + 1),

В первое равенство подставляем величину ρ(+)σ+1 из второго и т. д. В результате получим

|ρ(+)σ |2 = σ + (σ + 1) + · · · + j = 12 · (σ + j)(j − σ + 1),

коммутационные соотношения, положим ее равной нулю. Окончательно

Пример: рассмотрим неприводимое представление наинизшей размерности 2j + 1 = 2 , то есть j = 1/2 . В этом случае из (2.107), (2.110), (2.111), а

До сих пор рассматривались бесконечно малые повороты. Получим теперь матрицу конечных вращений для неприводимого представления.

Получили представление, по которому преобразуются при вращении волновые функции частиц со спином 1/2 .

Примечательно, что предсталение (2.114) различно при поворотах ω =

0 и ω = 2π

D(1/2)(~n, 0) = −D(1/2)(~n, 2π) = 1.

Отметим, что это свойство сохраняется и для представлений с любым полуцелым j . Так как вращениям на угол ω и ω + 2π вокруг оси ~n отвечает одно и то же преобразование системы отсчета g SO(3) , то из предыдущего следует, что представление с полуцелым j двузначно. Каждой матрице g из SO(3) соответствуют две матрицы

g SO(3) → ±tg = ±D( 12 (2m+1))(g).

Двузначное представление называют спинорным. А физические величины

— спинорами (преобразующиеся по этому представлению). Двузначность

спинорных представлений не порождает двузначности наблюдаемых величин, связанных со спинорами, так как эти величины выражаются через спиноры билинейно. Существенно однако, что из–за двузначности закона преобразования, спинорное волновое поле не может быть наблюдаемым классическим (или макроскопическим) полем. Это обстоятельство есть проявление одного из наиболее глубоких законов релятивистской квантовой физики — связи спина с типом квантовой статистики.

2.12 Прямое произведение

Рассмотрим волновую функцию системы двух невзаимодействующих частиц

Здесь значок обозначает либо простое произведение, либо прямое произведение многокомпонентных волновых функций, так как если спин частицы равен j , то волновая функция чатсицы имеет (2j + 1) компоненту

ψj(1)

.

ψ(1) = . . (2.116)

.

ψ−j(1)

В силу этого прямое произведение есть совокупность возможных произведений многокомпонентных волновых функций. Если спины частиц равны j1 и j2 , то общее число компонент (2j1 + 1) · (2j2 + 1) . Таким образом прямое произведение есть столбец с компонентами

Определим закон преобразования волновой функции ψ(1, 2) при вращениях системы координат. Учтем при этом, что волновые функции отдельных частиц ψ(1) и ψ(2) преобразуются по неприводимому представлению D(j) группы вращений.

Учитывая это, можем записать закон преобразования волновых функций 2– х невзаимодействующих частиц

m

тами Клебша–Гордана и обозначают Cj1m1j2m2 , где j = |j1 − j2|, . . . , (j1 + j2)

и −j ≤ m ≤ j .

Переход к квазидиагональной форме (2.124) для матриц прямого произведения отвечает переходу в пространстве представлений к другому ба-

X

j,m

Матрица C (2.124), определена неоднозначно. Обычно накладывают еще условие унитарности, но чаще всего матрицу C считают ортогональной

Отсюда следует, что коэффициенты Клебша–Гордана вещественны. Условие (2.127) в матричном виде имеет вид

2.13 Неприводимые представления группы Лоренца

Ранее было показано, что бесконечно малое преобразование Лоренца можно параметризовать либо 6–тью действительными параметрами d~ω , d~v , которым соответствуют генераторы Lα и Λα ( α = 1, 2, 3 ), либо 3–мя комплексными:

Такое же соотношение должно существовать и между генераторами

Ik и Ik0 :

Ik0 = SIkS−1.

По этой причине, если представления (j1, j2) и (j2, j1) были бы эквивалентны, то операторы Казимира этих представлений были бы одинаковы.

Следовательно представления неэквивалентны. Нетрудно увидеть, что эк-

~ 0 ~ 0

= 1 + iM d~η + iN d~η ,

~ 0 − ~ ~ 0 − ~ M = N , N = M .

Подчеркнем, что ~ 0 и ~ 0 есть генераторы представления 1 2 .

M N (j , j )

Видно, что значения операторов Казимира ~ 02 и ~ 02 представления

M N (j1, j2)

Таким образом, найдены все конечномерные неприводимые представления группы Лоренца. Отметим, что любое релятивистское волновое поле с конечным числом компонент должно преобразовываться либо по одному из этих неприводимых представлений, либо по некоторому приводимому представлению, сводящемуся к нескольким неприводимым. Выясним какие спины отвечают частицам релятивистского волнового поля, преобразующегося по нприводимому представлению (j1, j2) . Чтобы ответить на этот вопрос, надо установить какие неприводимые представления, являющиеся подгруппой группы Лоренца, входят в неприводимое представление (j1, j2) . В случае чистого вращения

d~η = d~ω = ~ndω.

Поэтому этому бесконечно малому преобразованию соответствует элемент

~ ~

1 + i(M + N)d~η.

Полученное выражение совпадает с формулой (2.121) для суммы генераторов в бесконечно малом преобразовании прямого произведения 2–х пред-

ставлений с генераторами ~ и ~ . Следовательно, волновое поле, пре-

N M

образующиеся по неприводимому представлению группы Лоренца (j1, j2) при вращениях, преобразуется по прямому произведению

D(j1) D(j2)

неприводимых представлений D(j1) и D(j2) группы вращений. Согласно теореме Клебша–Гордана прямое произведение можно представить в виде

Здесь D матрица неприводимого представления (j1, j2) группы Лоренца, отвечающая преобразованию g SO(3) . Формула (2.136) даёт спиновое содержание неприводимого представления (j1, j2) группы Лоренца, то есть она показывает какие возможны спины у частиц.

Пример.

1. Представление (0, 0)

D(00) = D(0).

Отсюда видно, что данное представление отвечает однокомпонентной скалярной величине.

2. Представления (1/2, 0) и (0, 1/2)

D(1/2,0) = D(1/2).

Данные представления соответствуют спинорам и отвечают частицам со спином 1/2 . Определим генераторы этих представлений

3. Представления (1, 0) и (0, 1)

D(1,0) = D(1).

Отсюда видно, что данные физические величины 3–х компонентны и преобразуются как векторы. Отметим также, что по представлению (1, 0) и (0, 1) преобразуются линейные комбинации дуальных анти-

ные величины (E ± iH) ( (E + iH) по (1, 0) и т. д.

4. Представление (1/2, 1/2)

D(1/2,1/2) = D(1) D(0).

Отсюда видно, что данное представление соответствует 4–векторам, в которых 3–мерные компоненты преобразуются по представлению D(1) , а временная компонента — по представлению D(0) .

В заключение отметим, что представление более высокой размерности рассматривается в виде прямого произведения описанных выше неприводимых представлений.

2.14Прямое произведение 2–х неприводимых представлений группы Лоренца

Рассмотрим прямое произведение 2–х неприводимых конечномерных представлений группы Лоренца ( k1, k2 ) и ( l1, l2 ) ( k1 и k2 — максимальная величина собственных значений операторов Mk1 и Nk2 ). Нас будет интересовать разложение такого прямого произведения на неприводимые части, то есть аналог формулы Клебша–Гордана для группы вращений. Без доказательства приведем результат:

X

(k1, k2) (l1, l2) = (j1, j2), (2.137)

|k1 − l1| ≤ j1 ≤ k1 + l1,

|k2 − l2| ≤ j2 ≤ k2 + l2.

Отметим, что данную формулу можно получить из формулы для спинового содержания неприводимого представления группы Лоренца и теоремы Клебша–Гордана.

Следствия