КТП

где T — очень большое. Вероятность в единицу времени из состояния f в состояние i

Пусть частица в начальном состоянии имеет отpицательную энеpгию

Ei = −m,

а в конечном состоянии — положительную

Ef = m.

Тогда (1.24) пpимет вид:

wfi = 2π e2 |V ω|2δ(ω − 2m).

m2 fi

Отсюда видно, что если ω ≥ 2m , становятся возможными переходы из состояния с отрицательной энергией в сотояние с положительной энергией и наоборот. Поэтому состояния с отрицательной энергией отбрасывать нельзя. В то же время переход к релятивизму разрушает положительную определенность вероятности. Корни этих трудностей заключены в том,

что в релятивистской теории не может быть выполнен закон сохранения числа частиц. Релятивизм разрешает частицам рождаться и уничтожаться. Поэтому математический аппарат РКТ должен содержать возможность описывать состояния с переменным числом частиц. Подобный математический аппарат уже использовался в НКТ — это метод вторичного квантования. Однако в НКТ этот аппарат не занимал основную роль.

1.4Схема вторичного квантования

1. Симметричные и антисимметричные состояния

Приведем схему вторичного квантования в НКМ. Этот метод используется в системах, состоящих из тождественных частиц, поэтому рассмотрим систему N тождественных частиц. Тогда нерелятивистский гамильтониан будет иметь вид:

В приведенном выражении первое слагаемое — кинетическая энергия частицы; второе — потенциальная энергия частицы во внешнем поле; третье

— энергия взаимодействия частиц. Из этого выражения легко видеть, что гамильтониан не изменится при перестановке любой пары частиц, т.к. это сводится только к перестановке слагаемых в сумме. Следовательно, волновые функции данной системы, соответствующие различным перестановкам тождественных частиц будут описывать одно и то же состояние. Введем оператор перестановки

ˆ 0 ≡

Pikψ(x1, . . . , xi, . . . , xk, . . . , xN ) = ψ ψ(x1, . . . , xk, . . . , xi, . . . , xN ). (1.26)

Т.к. ψ и ψ0 описывают одно и то же состояние, то они могут отличаться

лишь константой, т.е.

ψ0 = λ · ψ

Последнее уравнение есть уравнение на собственные функции и собственные значения. Если на (1.27) еще раз подействовать оператором перестановки, то получим

ˆ2

Вслучае λ = 1 , Pikψs = ψs , где ψs — симметричные волновые функции

Опыт показывает, что в природе реализуются или симметричные или антисимметричные волновые функции, смешанные состояния не наблюдаются. Ансамбль бозонов описывается симметричными волновыми функциями, ансамбль фермионов — антисимметричными волновыми функциями. Пример:

Пусть ансамбль состоит из 2–х невзаимодействующих частиц, тогда легко построить антисимметричную волновую функцию

ψa(x1, x2) = A[ψp1 (x1)ψp2 (x2) − ψp1 (x2)ψp2 (x1)] =

яние.

Симметричная волновая функция будет иметь следующий вид:

ψs(x1, x2) = B[ψp1 (x1)ψp2 (x2) + ψp1 (x2)ψp2 (x1)].

В системе, состоящей из N частиц можно произвести N! перестановок и

Здесь сумма по p означает сумму по всем возможным перестановкам индекса p1 . . . pN ; N1 , N2 . . . — число частиц в квантовом состоянии p1 , p2 . . . .

2. Вторичное квантование

Ансамбли тождественных частиц могут быть рассмотрены особым способом, носящим название вторичное квантование. Суть метода заключается в том, что в качестве независимых переменных для описания ансамбля вместо полного набоpа механических величин, характеризующих индивидуальное состояние частиц, берут числа частиц в этих состояниях.

Пусть имеется система N взаимодействующих бозонов, описываемая волновой функцией ψ(x1. . . . , xN , t) . Разложим эту функцию по базисным состояниям (1.30), которые могут отличаться числом частиц в каждом данном состоянии

X

ψ(x1. . . . , xN , t) = CN1...Ni...(t)ψs. (1.31)

N1N2...Ni...

Отсюда видно, что |CN1...Ni...(t)|2 определяет вероятность такого состояния системы, в котором в состоянии P1 находится N1 частиц, в состоянии P2 — N2 частиц и т.д., т.е. разложение (1.31) соответствует переходу к другому представлению, где в качестве базисных функций выступают коэффициенты C , являющиеся функциями чисел заполнения квантовых состояний. В новом представлении вектор состояния системы представится в виде фоковского столбца

· · · 0 · · ·

Необходимо также ввести операторы рождения и уничтожения, действующие на числа заполнения. Эти операторы определяются равенствами

√

С помощью данных операторов одночастичную волновую функциею можно представить в виде суммы

Используя (1.33) можно переписать исходное разложение волновой функции ансамбля (1.31), явно вводя операторы рождения и уничтожения [1].

Название “вторичное квантование” связано со следующим: при данной процедуре производится как бы переход от волновой функциии ψi(x) к опе-

раторной волновой функции ˆ (см. (1.33)). Так как сама волновая функ-

ψ(x)

ция ψi(x) уже описывае квантовое поле, то данная процедура есть вторичное квантование. Отметим, что в окончательные формулы явно входят только числа частиц, могущие быть различными, поэтому формализм вторичного квантования можно перенести в релятивистскую теорию, где полное число частиц может быть переменным.

1.5 Лагранжев формализм классической теории поля

Напомним процедуру квантования: задаётся функция Лагранжа классической системы, по ней находятся уравнения движения, канонически сопряженные координаты и импульсы и функция Гамильтона. Квантовые уравнения движения получаются заменой классических скобок Пуассона коммутаторами. Квантование волновых полей в точности следует этой процедуре. Волновое поле с классической точки зрения представляетя собой механическую систему с бесконечным числом степеней свободы. В каждой точке пространства–времени задается значение полевой функции. Если соответствующая частица обладает внутренними степенями свободы (например, спином), то полевая функция в каждой точке многокомпонентна. Для простоты рассмотрим скалярное поле, описывающее нейтральные безспиновые частицы. Тогда значение полевой функции в данной точке

ϕ(xi) ≡ ϕ(x)

можно рассматривать как обощенную координату поля. Функция Лагранжа может быть представлена в виде интеграла по объёму от плотности функции Лагранжа (лагранжиан)

Z

L(t) = L(x)d~x.

В силу однородности пространства–времени лагранжиан явно не зависит от координат и, обычно, есть функция

L = L(ϕ, ∂iϕ).

Лагранжиан есть полиномиальная функция скалярного поля ϕ и его производных. Запишем действие

ZZ

S = dt L(t) = L(ϕ, ∂iϕ)d4x.

Ω

Уравнения движения получаются вариацией действия

δS = 0;

поскольку вариацию и дифференциал можно менять местами, получим

Отметим, что уравнения движения не меняются, если к лагранжиану добавить 4–дивергенцию от произвольного вектора fi

L = L0 + ∂ifi;

fi = fi(x), fi|Σ = 0.

В силу однородности пространства–времени лагранжиан не должен явно зависеть от координаты xi , поэтому

Подчеркнем, что любая частица, обладающая спином, описывается многокомпонентным полем. Так, если спин частицы S , то имеется ( 2S + 1 ) состояний, т.е. ( 2S + 1 ) компонент поля. Переход к релятивистскому случаю, как правило, добавляет еще несколько компонент. Например, спин фотона равен единице, поэтому 2S + 1 = 3 , но на самом деле в релятивистском случае поле описывается 4–компонентной величиной

Ai = (A0, A1, A2, A3).

Существует математический аппарат, позволяющий классифицировать все возможные поля — теория групп. Обратимся к этому аппарату в той степени, на сколько это необходимо в квантовой электродинамике.