КТП

1.Прямое произведение неприводимых представлений (k1, 0) и (0, l2) неприводимо

(k1, 0) (0, l2) = (k1, l2).

В частности прямое произведение 2–х двумерных спиноров

(1/2, 0) (0, 1/2) = (1/2, 1/2)

дает неприводимое представление для 4–вектора.

2.Свободное поле ψ(x) ,преобразующееся по неприводимому представлению группы Лоренца ( i1, j2 ), j1 6= j2 не может описывать частиц с отличной от нуля массой (такое поле описывает только безмассовые частицы)

Действительно, лагранжиан такого поля должен обязательно содержать ска-

жен быть пропорционален массе частицы. Однако такого скаляра быть не может в рассматриваемом случае по теореме (2.137). В самом деле, ска-

ляр ( + ˆ ) должен содержаться в прямом произведении . Данное

ψ Oψ ψ ψ

прямое произведение волновых функций преобразуется с помощью прямого произведения представлений

ψ ψ (j1, j2) (j1, j2) ,

последнее соотношение эквивалентно прямому произведению

(j1, j2) (j2, j1).

Из (2.137) следует, что

X

(j1, j2) (j1, j2) = (j1, j2),

|j1 − j2| ≤ j1, j2 ≤ j1 + j2

(сюда не входит скаляр (0, 0) , так как j1 − j2 6= 0 ).

В нерелятивистской квантовой механике волновая функция частицы со спином j содержит 2j + 1 компоненту. Релятивистское волновое поле, отвечающее спину j имеет 2j + 1 компоненту только в одном случае, когда оно преобразуется по неприводимому представлению (j, 0) или (0, j) . Причем такое поле будет описывать безмассовые частицы. В частности, 2–х компонентное поле, отвечающее представлению (1/2, 0) или (0, 1/2) может описывать только безмассовые частицы со спином 1/2 . В настоящее время — это нейтрино и антинейтрино.

62 Глава 2. Группа вращений и группа Лоренца

Что касается электронов, мюонов, нуклонов и других фермионов, то отвечающее им поля в релятивистской квантовой теории должны иметь более чем 2–е компоненты. Наличие ”лишних” компонент у волнового поля частиц со спином есть характерная черта частиц в релятивистской квантовой теории. В зависимости от того, целые или полуцелые значения принимают числа j1 и j2 , проведем классификацию представлений.

1–й класс: (j1, j2) ; j1 и j2 — целые, 2–й класс: j1 и j2 — полуцелые,

3–й класс: j1 — целое, j2 — полуцелое, 4–й класс: j1 — полуцелое, j2 — целое.

Таким образом все релятивистские волновые поля, преобразующиеся по неприводимому представлению (j1, j2) разбиваются на 4–ре класса. Учитывая это разбиение на классы, а также теорему (2.137), можно составить таблицу умножения классов неприводимого представления группы

Данная таблица понадобится при получении важнейших выводов релятивистской теории: теоремы CPT и связи спина со статистикой.

2.15 Представление ( 1/2, 0 ) и группа SL(2,C)

Рассмотрим подробно неприводимое представление ( 1/2, 0 ) группы Лоренца. Это представление 2–мерно, поэтому можем записать

Найдем матрицы a для конечных (а не бесконечно малых) преобразований Лоренца. Ранее было показано, что любое представление Лоренца можно представить в виде двух простых вращений R1 и R2 и однопараметрического собственно лоренцовского преобразования L

(6–ти параметрическое преобразование). Так как a есть представление группы Лоренца, то

где

u = D(1/2, 0)(R) = D(1/2)(R)

ψ

Выражение (2.147) решает поставленную задачу. Следовательно, учитывая (2.142) и мы нашли явный вид матриц a . Отметим, что

det l = 1,

det a = det u2 det l det u1 = 1.

Таким образом, матрицы a неприводимого представления группы Лоренца (1/2, 0) являются 6–ти параметрическими комплексными матрицами с det a = 1 . Такие матрицы изоморфны группе SL(2, C) , где S — означает det = 1 , L — символ самой общей группы, 2 — размерность матриц, C — комплексность.

Построим неприводимое представление (0, 1/2) . Очевидно оно эквивалентно представлению (1/2, 0) . Это означает, что существует такая матрица S , что

Причем матрица S не должна зависеть от g . Положим

g = R,

(то есть чисто пространственное вращение). Тогда

D(0,1/2)(R) = D(1/2,0)(R) = u = D(1/2)(R),

Для бесконечно малого пространственного поворота матрицы u имеют вид

u = 1 + 2i (σ~n)dω.

Подставляем

(1 + 2i σ~ndω) = S(1 − 2i ~σ ~ndω)S−1,

1 + 2i σ~ndω = 1 − 2i S~σ S−1~ndω,

Наложим дополнительные условия на S — матрица S должна быть унитарной. Умножая (2.150) на матрицу S , получим три равенства для матриц Паули

В силу (2.151), а также унитарности матриц S , можно сделать вывод, что

Отсюда видно, что матрица S осуществляет поворот вокруг оси x2 на угол ω = π . Возвращаясь к (2.148) и учитывая выражение для S (2.152), получим

D(0,1/2)(g) = σ2a σ2 =

σ2(u2lu1)σ2 = u2(σ2lσ2)u1 = u2l−1u1

= (u2lu1)+ −1 = (a+)−1.

Окончательно

D(0,1/2)(g) = (a+)−1.

2.16Инверсия пространства. Неприводимые представления полной группы Лоренца

До сих пор изучалась собственная группа Лоренца (то есть det = +1 ) и ее неприводимые представления. Введем преобразование зеркального отображения пространства.

~x → −~x, t → t.

Соответствующий оператор имеет вид

Очевидно, det P = −1 . Это означает, что зеркальное отражение нельзя свести к вращению.

Определение: полной группой Лоренца называется собственная группа Лоренца плюс зеркальное отображение.

Найдем неприводимое представление полной группы Лоренца, однако перед этим рассмотрим полную ортогональную группу вращений O(3) и ее неприводимое представление

O(3) = SO(3) + P.

Если R есть матрица вращений ( R O(3) ), то она должна иметь следующий вид

Учитывая это и выражение для матрицы P можно показать, что матрицы P и R коммутируют, то есть [P, R] = 0 . Отсюда следует, что матрицы неприводимого представления tP и tR также коммутируют

Допустим, что неприводимое представление группы O(3) является также неприводимым представлением группы SO(3) . Тогда матрица tR имеет

вид

tR = D(j)(R).

Поэтому в силу (2.156) матрица tP коммутирует со всеми матрицами D(j)(R) . В силу леммы Шура

tP = p · 1.

Выясним чему равно число p . Учитывая, что

P2 = 1,

подобное соотношение должно сохранятся и для матрицы представления

t2P = p2 · 1 = 1,

Если по данному представлению преобразуется некоторое волновое поле ψ(x) , то значение p описывает так называемую внутреннюю четность квантов волнового поля. Особой оговорки требует случай спинорного поля. Дело в том, что P2 можно рассматривать как поворот на угол 0 либо на угол 2π . Для спинорных представлений это преобразование различается знаком. Поэтому в случае спинорных полей

p2 = ±1.

Отсюда

p = ±1 либо p = ±i.

Следует выбрать одну из возможностей и в дальнейшем строго придерживаться ее. Разумеется при этом понятие внутренней четности для квантов спинорного поля имеет относительный смысл, то есть следует сравнивать четности этих частиц лишь относительно друг друга. Как видно из изложенного, переход от группы вращений SO(3) и группы вращений и отражений O(3) не приводит к увеличению размерности неприводимого представления. Иная ситуация имеет место в случае перехода от собственной к полной группе Лоренца. Рассмотрим коммутационное соотношение между P и однопараметрическим преобразованием Лоренца L вдоль оси 3:

0g(2 × 2)

Если оператор L рассмотреть для бесконечно малого преобразования Лоренца (отметим, что в (2.158) под L следует понимать матрицу собственной группы Лоренца), то нетрудно убедиться, что в силу (2.158), для генераторов собственной группы Лоренца и любых ее представлений должны выполняться равенства

жению.

Определение.

Биспинор — величина

ϕ

ψ = ,

χ

где ϕ и χ — двухкомпонентные спиноры, преобразующиеся по неприводимому представлению полной группы Лоренца T (1/2,0) . Биспинорное волновое поле отвечает частицам со спином (1/2) .

Случай j1 = j2 .

В этом случае неприводимые представления полной группы Лоренца T (jj) имеют ту же размерность, что и представление собственной группы Лоренца (jj) . Матрицы P , отвечающие зеркальному отражению имеют размерность (2j + 1)2 и равны:

Здесь p 0 = ±1 , а в ящичках по диагонали стоят положительные или отрицательные единичные матрицы размерностей: 4j + 1 , 4j − 1 , . . . ,1. По причине, которая выяснится позднее, внутренней четностью поля, преобразующегося по представлению T (jj) называется число

2.17Билинейные эрмитовы формы из биспиноров. Матрицы Дирака

Основой аппарата релятивистской квантовой теории (РКТ) является лагранжев формализм. Лагранжиан является функцией полей и их производных (обычно первого порядка). При этом он должен быть действительным и релятивистки инвариантным. Это означает, что лагранжиан может