КТП

Подчеркнем, что (2.69) — это матричный оператор и его действие на любой вектор сводится к действию на него следующего ряда:

Покажем, что бесконечный ряд (2.70) сводится к матричному полиному конечной степени. Это связано с тем, что матрица I конечномерна и, следовательно, имеет конечное число собственных значений f0, . . . , fN (всего N + 1 ). Это значит, что

λ

Учитывая это, можно записать матричное уравнение, которому удовлетво-

ряет матрица ~

(I~n)

Равенство (2.73) основано на том, что действие его левой части на любой вектор ~a (2.72) дает ноль, так как вектор ~a есть суперпозиция собственных

векторов матрицы ~ . Отсюда следует, что так как (2.73) есть матричный

(I~n)

полином степени N + 1 , то с помощью него можно выразить матрицу

и, следовательно, ряд (2.70) сводится к матричному полиному степени N . Пусть, например, матрица I 2–рядна. Это означает, что она имеет всего 2–а собственных значения ( f0, f1) и собственных вектора a0, a1

= a0f02~e0 + a1f02~e1−

−(f0 + f1)a0f0~e0 − (f0 + f1)a1f1~e1 + f0f1a0~e0 + f0f1a1~e1 = 0.

Поэтому можем записать

Таким образом, бесконечный ряд сводится к матричному полиному первой степени.

В нашем случае генераторы группы вращений 3–рядны, поэтому элемент g(~n, ω) группы вращений сводится к матричному полиному 2–й степе-

~ 2

ни от (I~n) .

2.9Гомоморфизм. Представления групп

Пусть a = (a1, . . . , an) — многокомпонентная величина, например, 4–импульс pi = (p0, p1, p2, p3) , или 4–потенциал Ai = (A0, A1, A2, A3) , или волновая функция частицы со спином и т.д. При всяком лоренцовом преобразовании, то есть переходе в другую инерциальную систему отсчета x 0 = gx , очевидно, будет преобразовываться и данная многокомпонентная физическая величина. В силу принципа относительности, преобразования Лоренца будут связаны с преобразованиями физической величины. Обозначим оператор, преобразующий величину a , символом tg (символ g означает связь данного преобразования с преобразованием Лоренца g ), то есть

В силу принципа относительности, очевидно, что преобразование tg T образует группу T , так как в противном случае различным лоренцевым переходам в одну и ту же инерциальную систему отсчета соответствовали бы различные значения физической величины a .

Совершим 2–а лоренцевых преобразования, которые эквивалентны одному преобразованию g3

g3 = g2 · g1.

В силу принципа относительности, для преобразования физической величины должны соблюдаться аналогичные соотношения

tg2 · tg1 = tg3 .

Говорят, что группа T гомоморфна группе G (T ' G) , если выполняются следующие свойства:

•каждому элементу из группы G соответствует один элемент из группы T

g G tg T ;

•соответствие g → tg сохраняет групповую операцию умножения, то есть произведению g1 · g2 соответсвует произведение tg1 · tg2

Подчеркнем, что соответствие g → tg обязано быть однозначным лишь в одну сторону, то есть, вообще говоря, различным элементам g может соответствовать один элемент группы T

g1(1) → tg, . . . , g1(k) → tg.

Отметим также, что в группе T могут быть элементы, которым не отвечает ни один элемент группы G , то есть группа T не покрывается группой G . В дальнейшем такие группы T изучаться не будут, так как группы преобразований физических величин всегда покрываются группой Лоренца.

Определение:

Говорят, что группа T есть представление группы G , если группа G отображается на всю группу T . Отсюда следует, что группы преобразований физических величин, есть представления группы Лоренца.

Изоморфизм:

Говорят, что группы T и G изоморфны, если соотношения между элементами

этих групп взаимооднозначны. Отметим, что для изоморфных групп их алгебры одинаковы

TG.

=

Ковариантность — это свойство преобразований физических величин быть представлениями группы Лоренца. Если представление T группы G есть группа линнейных преобразований, то группа T называется линейной группой группы G . В дальнейшем будут рассматриваться линейные группы преобразований физических величин. Напомним, что такое линейное преобразование. Преобразование называется линейным, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Здесь λ — комплексный множитель, a — физическая величина, t — линейное преобразование. Отметим, что любое линейное преобразование может быть реализовано в виде матрицы. Иными словами, любая группа линейных преобразований изоморфна некоторой группе матриц. Замечательно, что задав группу, можно указать все ее неприводимые представления.

Это означает, что еще до формулировки конкретных динамических уравнений, можно перечислить все возможные типы линейных ковариантных физических величин. В частности, — возможные типы релятивистских ковариантных волновых полей.

2.10Неприводимые представления

Пусть T — линейное представление группы G . Тогда элементы представления tg T имеют вид матриц. Если физическая величина a = {a1, . . . , an} многокомпонентна ( n компонент), то матрица tg , преобразующая физическую величину a при преобразовании g G

a0 = tga

есть квадратная матрица размером ( n ×n ). При этом можно различать два случая. Либо все матрицы tg могут быть одновременно приведены к виду

˜

tg

где S — матрица приведения; * — некоторые матричные элементы; 0 — прямоугольная матрица размером m ×(n −m) и m ×m — квадратная матрица; либо такое невозможно. Если матрица tg может быть приведена к виду (2.75), то представление T называется приводимым. Подчеркнем, что матрица S должна быть одной и той же для всех элементов tg .

Смысл приводимости представления состоит в том, что из многокомпонентной физической величины a с помощью преобразования

можно выделить m < n линейно независимых комбинаций физической величины a˜ → {a˜n−m+1, . . . , a˜n} , преобразующихся друг через друга (то есть независимо от первых {a˜n, . . . , a˜n−m} компонент) при всех преобразованиях g G .

Можно сказать, что преобразование (2.76) выделяет из n –компонент- ной физической величины a m –компонентную ковариантную физическую величину a˜ . С математической точки зрения многокомпонентная величина a может быть представлена точками n –мерного пространства, а m – компонент {a˜n−m+1, . . . , a˜n} физической величины a образуют m –мерное подпространство исходного n –мерного пространства. Поскольку при всех преобразованиях g G m –мерное пространство переходит само в себя, то говорят, что оно инвариантно относительно группы G .

Таким образом, представление приводимо, если в n –мерном пространстве существует подпространство инвариантное относительно группы G . Если же такого подпространства нет, то представление неприводимо.

Отметим, что до сих пор рассматривалась ситуация, когда физическая величина a не полностью разбивается на независимо преобразующиеся физические величины меньшей размерности (выделялось таких лишь m < n компонент). Другими словами n –мерное пространство не разбивалось все на прямую сумму нескольких инвариантных относительно группы G подпространств меньшей размерности. Если же удается полностью разбить n –мерное пространство на прямую сумму подпространств меньшей размерности инвариантных относительно группы G , то говорят, что представление полностью приводимо. При этом физическая величина a разбивается на mk независимо преобразующихся величин a˜

(˜a1, . . . , a˜m1 ), . . . , (˜a01, . . . , a˜mk ),

а само представление имеет квазидиагональный вид, то есть представляет собой совокупность квадратных ящичков mi × mi , расположенных вдоль диагонали

Замечание:

Отметим, что все приводимые представления группы Лоренца, группы вращений O(n) , группы унитарных преобразований U(n) полностью приводимы.

Пример.

Рассмотрим приводимое представление группы вращений SO(3) . В качестве физической величины a рассмотрим тензор второго ранга, представляющий собой прямое произведение двух трехмерных векторов ~x , ~y

m(α, β) = 1, 2, . . . , 9.

Легко видеть, что если g SO(3) есть матрицы, преобразующие при вращении векторы ~x , ~y , то матрица tg T , преобразующая физическую величину a˜ = tga при вращениях есть прямое произведение матриц g

Действительно, выражение a˜ = tga означает

x˜αy˜p = gαpxpgβρyρ = (gαpgβρ)xpyρ.

В выражении (2.79) tg — матрица 9 × 9 , а значек означает прямое произведение (то есть без свертки и т. д.).

Покажем, что 9–ти компонентную физическую величину a можно разбить на 3–и группы (1–о, 3–х и 5–ти компонентные) независимо преобразующихся физических величин при любых вращениях группы SO(3) . Для этого произведем над тензором a обычные в тензорной алгебре операции — операции свертки, альтернирования и симметризации по 2–м индексам.

1. Свертка: свернем тензор a с единичным тензором Кронекера δαβ

2.Альтернирование по индексам α и β , что равносильно свертке тензора a с полностью антисимметричным единичным тензором εαβγ

Три компоненты a˜ = (˜a2, a˜3, a˜4) при всех вращениях группы SO(3) преобразуются друг через друга, так как образуют вектор.

3.Симметризация: образуем из тензора a симметричный тензор с равным нулю следом

j(αβ) = 5, 6, 7, 8, 9.

Таким образом, с помощью преобразования S , которое определяется формулами (2.80)–(2.82), 9–ти компонентная величина a разбита на 3–и независимо преобразующихся при всех вращениях группы величин: скаляра a˜1 , вектора a˜k и симметричного тензора с равным нулю следом a˜j . Такое преобразование означает, что все матрицы tg T представления группы вращений полностью приводимы с помощью преобразования S

то есть имеют квазидиагональный вид. Иными словами 9–ти мерное пространство представлений разбивается на прямую сумму 3–х инвариантных при вращениях подпространств (1–мерное, 3–мерное и 5–мерное).

Выводы:

Зная все неприводимые представления группы G можно построить все возмож-

ные представления этой группы. В этом смысле неприводимые представления являются как бы атомами , из которых могут быть составлены все представления. А преобразующиеся по неприводимому представлению физические величины являются базисными ( такие физические величины будем называть неприводимыми физическими величинами). Перечисление всех неприводимых предсталений группы преобразований систем отсчета позволяет определить все возможные типы волновых полей (физических величин), допустимых в релятивистской теории.

Лемма Шура:

Оператор, коммутирующий со всеми операторами неприводимого представления, кратен единичному оператору и имеет вид

Из леммы Шура, в частности, следует, что операторы Казимира неприводимого представления также кратны единичному оператру, так как оператор, коммутирующий со всеми генераторами представления коммутирует также и со всеми элементами.

Важно подчеркнуть, что операторы Казимира неприводимого представления являются числами. Эти числа характеризуют представление и саму физическую величину, преобразующуюся по данному неприводимому представлению. Если такой физической величиной являются волновые поля, то значения операторов Казимира дают квантовые числа, характеризующие эти поля и отвечающие им частицы. Например, значения оператора Казимира неприводимого представления группы вращений определяют спин частицы.

2.11 Неприводимое представление группы вращений

Напомним, что генераторы группы вращений имеют вид

(Iγ)αβ = −iεαβγ.

Для построения неприводимого представления группы вращений перейдем от генераторов Iγ к другому набору генераторов

Видно, что данная последовательность (2.95) исчерпывает все собственные векторы и собственные значения оператора I3 .

Легко убедиться, что действие генераторов I3 , I± на собственные векторы (2.95) переводит совокупность этих векторов в самих себя. Отсюда следует, что векторное пространство, натянутое на базисные векторы (2.95) инвариантно относительно всех преобразований группы вращений, то есть данные векторы преобразуются по неприводимому представлению.

Теперь определим явный вид матриц I3 , I± . Докажем, что

Для доказательства воспользуемся коммутационным соотношением

I1I2 − I2I1 = iI3

в матричном виде

(I1)αβ(I2)βp − (I2)αβ(I1)βp = i(I3)αβ,

Sp I3 ≡ (I3)αα (I1)αβ(I2)βα − (I2)αβ(I1)βα =

переставляя в последнем слагаемом сомножители и транспонируя, получим

= (I1)αβ(I2)βα − (I1)αβ(I2)βα = 0.

Так как матрица I3 диагональна, то на диагонали стоят собственные значения от j до j − N . Учитывая (2.96), можно записать

1

Sp I3 = j + (j − 1) + · · · + (j − N) = 2 · (2j − N)(N + 1) = 0,

Размерность представления 2j + 1 .

Вычислим теперь оператор Казимира неприводимого представления группы вращений

Из (2.101) следует, что отличны от нуля лишь элементы диагонали, расположенные непосредствено над или под главной диагональю. Для определения явного вида матриц I+ нужно найти явный вид матриц ρ(+)σ . Для этого предварительно докажем ряд равенств. Вначале покажем, что

далее

I−χσ = ρ(σ−−)1χσ−1,