КТП

где

g0 = gg0

по определению групповых операций. Учитывая (2.29), соотношение (2.30) примет вид

f(α10 , . . . , αn0 )dα10 · · · dαn0 = f(α1, . . . , αn)dα1 · · · dαn,

конечен, то группа компактна, если же бесконечен — некомпактна. Примеры:

а) инвариантная мера и объем SO(3):

группа трёхпараметрическая, характеризуется единичным вектором ~n вдоль оси вращения и углом поворота вокруг данной оси.

то есть группа компактна;

б) инвариантная мера и объем однопараметрической группы Лоренца g(v) :

введем вместо параметра v аддитивный параметр ψ — “быстроту”

Аддитивность параметра ψ означает, что

g(ψ1)g(ψ2) = g(ψ1 + ψ2).

В силу этого в качестве инвариантной меры можно выбрать дифференциал от быстроты

−∞

Компактность и некомпактность группы сказывается на свойствах генераторов Ij и структурных константах Clmk . Генераторы компактной группы можно выбрать эрмитовыми. Например:

1) группа унитарных матриц

u+ = u−1.

Вблизи единичного элемента группы (для бесконечно малого преобразования) данное равенство может быть записано в виде

(1 + iIjdαj)+ = (1 + iIjdαj)−1,

1 − iIj+dαj = 1 − iIjdαj,

Ij+ = Ij генераторы эрмитовы;

2)структурные константы компактной группы полностью антисимметричны по всем трем индексам

Clmk = −Cmlk = Cmkl = −Clmm .

Отметим, что для некомпакной группы (в частности для группы Лоренца) данные свойства не имеют места.

2.5Алгебра Ли группы вращений

Определение:

Совокупность всех линейных ортогональных преобразований 3 мерного эвклидова пространства, оставляющих инвариантной форму

x21 + x22 + x23 = inv

называется группой вращений и обозначается O(3) .

Для ортогональных матриц имеет место выражение

Так как детерминант матрицы Q и транспонированной матрицы одинаков, то из (2.32) следует, что

Матрицы, у которых детерминант равен +1 отвечают непрерывным преобразованиям (вращениям). Этим преобразованиям отвечает группа SO(3) . Матрицы с детерминантом −1 соответствуют дискретным преобразованиям инверсии пространственных координат относительно начала

~x → −~x.

Рассмотрим бесконечно малое преобразование (вращение)

g= 1 + ω;

Здесь ω — бесконечно малое преобразование. Так как матрица ортого-

нальна, то есть

gT = g−1,

Получили, что бесконечно малое преобразование есть антисимметричная матрица третьего порядка. Т.к. у данной матрицы имеется 3–и независимых параметра, в качестве которых можно выбрать направляющие косинусы оси вращения n1 , n2 , n3 и бесконечно малый поворот dω , то данную матрицу можно параметризовать следующим образом:

здесь εαβγ — полностью антисимметричный тензор 3–го порядка. Из его 27–и компонент отличны от нуля только 6–ть:

любое число четных парных перестановок да-

ёт +1 , а нечетных — −1 , если какие–либо два ε123 = +1 индекса одинаковы, данная компонента тензо-;

ра равна нулю.

Таким образом

0n3 −n2

С другой стороны, вблизи единицы элемент группы можно представить с помощью генераторов группы

Q = 1 + ω = 1 + iIγnγdω.

В матричном виде

δαβ + ωαβ = δαβ + i(Iγ)αβnγdω,

ωαβ = i(Iγ)αβnγdω = εαβγnγdω,

Из (2.38) видно, что генераторы являются эрмитовыми матрицами

(Iγ)+αβ = (Iγ)αβ

Знание генераторов позволяет определить алгебру группы вращений, то есть определить структурные константы. Для этого необходимо вычислить коммутатор генераторов (2.38), котоpый pавен

Отметим, что (2.39) тождественно совпадают с коммутационными соотношениями для компонент момента импульса.

Напишем явный вид генераторов группы вращения:

2.6 Группа Лоренца. Алгебра Ли группы Лоренца

Группа Лоренца оставляет инвариантным 4–х мерный интервал

x2 = xixi = xiηikxk ≡ xηx = inv.

Если вычислить определитель левой и правой части (2.42), то получим

Группа матриц, у которых det g = ±1 , образуют собственную группу Лоренца. Собственная группа Лоренца содержит в себе в качестве подгруппы группу непрерывных 3–мерных вращений SO(3)

Матрица ( 4×4 ) в выражении (2.44) — подгруппа вращений 3–мерного пространства.

Любое преобразование Лоренца может быть представлено в следующем виде:

здесь R1,2 — матрицы поворотов (2.44), а L — матрица чисто лоренцовского преобразования, она имеет вид

здесь l — однопараметрическая матрица преобразования Лоренца, когда оси x3 и x03 параллельны

Пусть имеются две системы отсчета: покоящаяся и движущаяся относительно неё в произвольном направлении. Физический смысл (2.45) состоит в том, что:

а) R1 поворачивает ось x3 покоящейся системы по направлению скорости движущейся системы отсчета (вдоль ~v ). Для этого необходимо два параметра (матрица R1 двухпараметрическая);

б) затем с помощью L производим переход в движущуюся систему отсчета (фиктивную), в которой ось x03 направлена по ~v ;

в) поворачиваем фиктивную систему координат в движущейся системе с помощью матрицы R2 до совпадения осей с заданной штрихованной системой координат (для этого необходимо 3–и параметра).

Таким образом отсюда видно, что матрица преобразования Лоренца g шестипараметрическая.

Рассмотрим бесконечно малое преобразование Лоренца

g = 1 + ω.

Подставим данное выражение в (2.42)

(1 + ω)T η(1 + ω) = η.

С точностью до ω

η + ωT η + ηω = η.

выражение (2.50) справа отлично от нуля только для p = i , а слева — для k = j . В силу этого можем записать

Разделение матричного бесконечного малого преобразования ωik на две части (2.51) и (2.52) не случайно, так как данное разделение выделяет подгруппы группы Лоренца — трехмерное вращение (2.51) и чисто лоренцовское преобразование (2.52). Учитывая это, компоненты матрицы ωαβ можно параметризовать аналогично компонентам бесконечно малого преобразования вращений трехмерного пространства:

где nγ(γ = 1, 2, 3) — направляющие косинусы оси вращения, а dω — угол поворота вокруг оси вращения. Так как матрица ω0α — бесконечно малая и связана с чистым преобразованием Лоренца, то её можно параметризовать

d~v = (dv1, dv2, dv3).

Итак, бесконечно малое преобразование Лоренца можно представить в следующем виде

где Lα, Λα — генераторы группы Лоренца

Здесь Iα — есть генераторы группы трехмерных вращений (2.41)

Выпишем в явном виде генераторы Λα :

Из выражений (2.56)–(2.58) видно, что генераторы Lα эрмитовы, а генера-

торы Λα — антиэрмитовы

L+α = Lα,

2.7 Операторы Казимира

Оператор Казимира — оператор, коммутирующий со всеми генераторами группы.

оператор Казимира группы вращений (аналогично квантовомехани-

•Группа Лоренца: M1 , M2 , M3 , N1 , N2 , N3 . Так как генераторы M и N удовлетворяют коммутационным соотншениям (2.66), то в группе

2.8Восстановление группы по генераторам

Зная генераторы группы можно восстановить все элементы группы. Это связано с тем, что генераторы определяют элемент группы вблизи единицы, то есть для бесконечно малого преобразования. В силу этого можно составить дифференциальное уравнение первого порядка, решения которого позволят определить все элементы группы. Подчеркнем, что при решении данной задачи всегда необходимо выбирать в качестве параметров группы аддитивные параметры. В группе вращений такими параметрами являются угол поворота, а в группе Лоренца — быстрота.

Решим поставленную задачу для группы вращений. Обозначим g(~n, ω)

— элемент группы вращений, производящий поворот на угол ω вокруг оси ~n . Совершим два последовательных преобразования вокруг одной и той же оси ~n : сначала на угол ω , а затем на бесконечно малый угол dω . Тогда, в силу первой групповой аксиомы, можем записать

g(~n, ω + dω) = g(~n, ω) · g(~n, dω).

Заменим элемент вблизи единицы соотношением через генераторы группы вращений

~

g(~n, ω + dω) = g(~n, ω)[1 + i(I~n)dω],