КТП

Глава 2

Группа вращений и группа Лоренца

2.1Определение группы. Связь групповых постулатов с принципом относительности

Определение:

Множество элементов G называется группой, если выполняются следующие групповые аксиомы

2.Умножение ассоциативно, т.е. для каждой тройки элементов из группы справедливо соотношение:

3. В группе имеется левая единица

4.Для любого элемента g G существует по крайней мере один (левый) обратный элемент, такой что

Укажем теперь на некоторые следствия, вытекающие из определения группы.

Следствия:

а) левая единица группы является также и правой единицей. Действительно, умножим (2.3) слева на g и используем (2.2)

(g e) g = g g,

(g e) = g;

б) левый обратный элемент одновременно является правым обратным элементом (доказывается аналогично).

Замечание: Умножение в группе необязательно коммутативно. Однако если это так, то группа называется абелевой.

Выделим из G подмножество H , H G . Если подмножество H образует группу относительно того же самого закона умножения, что и в G , то говорят, что H есть подгруппа группы G .

1. Связь групповых постулатов с принципом относительности

Пусть xi = (x0, xα) — координаты физического события в пространстве– времени, g — оператор (матрица) преобразования координат в движущуюся систему отсчета (преобразования Лоренца). Определим умножение двух таких операторов как последовательность их совершения. Пусть имеется три системы координат: I, II, III. Обозначим координаты события в каждой из систем отсчета xI , xII , xIII . С помощью преобразований координат можно перейти из системы I в систему III :

Но то же самое можно сделать последовательно

I → II → III,

Сравнивая (2.5) и (2.6) видим, что

Т.е. выполняется первая групповая аксиома: определен закон умножения элементов — матриц преобразований. В силу принципа относительности, т.е. равноправия всех инерциальных систем отсчета умножение матриц преобразования ассоциативно, Т.е. выполняется вторая групповая аксиома. Единичный элемент определим как тождественное преобразование

e · g = g.

Очевидно, что в силу принципа относительности, если существует преобразование от системы K в систему K0 , то возможно и обратное преобразование

g(K0, K) · g−1(K, K0) = e.

Отсюда следует, что совокупность матриц преобразования g есть группа, причем групповые свойства преобразований Лоренца вытекают как следствие принципа относительности. Отметим также, что преобразования любых физических величин из одной инерциальной системы отсчета в другую также должны составлять группу, которая связана с группой преобразования координат.

2.2Преобразования Лоренца как следствие групповых постулатов

Найдем матрицу преобразования g(~v) 4–вектора мировой точки x , отвечающую переходу в систему отсчета, движущуюся с постоянной скоростью ~v относительно исходной системы. При этом будем считать, что преобразования g(~v) сотавляют группу. Выберем компоненты скорости

Таким образом

Потребуем, чтобы матрицы g образовывали группу. Тогда, согласно первой групповой аксиоме, можно записать

24 Глава 2. Группа вращений и группа Лоренца

Очевидно, что справа (после перемножения матриц) диагональные члены должны быть одинаковыми

Таким образом

γ = λαv

и, следовательно,

Согласно 4–й аксиоме должен существовать обратный элемент, поэтому детерминант матрицы g не равен нулю

det g = α2(1 + λv2) 6= 0.

Утверждение:

Для бесконечно малых скоростей v утверждение (2.14) верно. Однако переход к преобразованию с конечной скоростью v может быть осуществлен за счет произведения преобразований с малыми скоростями. Т.к. детерминант всех преобразований с малыми скоростями больше нуля, то и их произведение больше нуля.

Отсюда следует, что если λ < 0 , то существует верхний предел ско-

рости

Определим матрицу обратного преобразования g−1g = e,

z0 = α(1 + λv2)Δz.

В силу изотропности пространства длина стержня не зависит от направле-

ния скорости

z0(v) = z0(−v) α(v) = α(−v).

Возвращаясь к (2.17)

1+ λv2

Всилу этого, а также верхнего равенства (2.14) детерминант матрицы преобразований Лоренца

Осталось проанализировать возможные значения λ :

1. Выражение (2.20) зависит от инвариантного параметра λ , причем

[λ] = (ì/ñ)−2.

Выбор конкретных значений λ опpеделяется экспериментом. Пусть

2. λ > 0 , тогда без особого ущерба положим λ = 1 . Введем обозначе-

Тогда

Данное преобразование не может описывать преобразования коор- динат–времени в движущуюся систему, хотя бы потому, что существуют такие матрицы, для которых ϕ = π/2 и которые переводят пространственную ось во временную. Поэтому матрица (2.21) есть матрица поворота в плоскости. Таким образом, все вращения представляют собой группу.

p

3. λ < 0, v < 1/ |λ| . Единственной возможностью в этом случае, как показывает эксперимент, будет

1

|λ| = c2 ,

Выражение (2.22) есть однопараметрическая (параметр v ) группа Лоренца. Отметим, что это непрерывня группа, т.к. параметр v меняется непрерывно. Если скорость системы отсчета направлена произвольно, то группа Лоренца g(~v) — трехпараметрическая непрерывная группа

g(~v) = g(vx, vy, vz).

Если в данную группу добавить группу всевозможных вращений в трехмерном пространстве, то данная группа будет 6–ти параметрической (три параметра скорости и три параметра — углы Эйлера). Данная группа обозначается SO(3, 1) . Буква S означает, что det g = 1 ; буква O означает, что матрицы ортогональны, т.е. gT = g−1 . Цифра 3 указывает на число отрицательных квадратов, а цифра 1 — на число положительных квадратов в ин-

вариантой форме

c2t2 − ~r 2 = inv.

Группа вращений в инвариантом пространстве обозначается O(3) .

2.3Группы и алгебры Ли

Вдальнейшем под группой будем понимать группу матриц.

Определение:

Непрерывная группа G называется группой Ли, если элементы этой группы g(α1, . . . , αn) , зависящие от n –параметров, являются дифференциpуемыми функциями параметров α1, . . . , αn (дифференцируемые матричные элементы g )

Непрерывная группа означает, что параметры α1, . . . , αn изменяются непрерывно. Параметры α : (α1, . . . , αn) будем считать действительными, причем единичный элемент группы определим при α = 0

Матрицы Ij называют генераторами группы или инфинитезимальными операторами.

Отметим, что генераторы группы не зависят от параметров αj . Как будет показано ниже, совокупность генераторов Ij и их линейных комбинаций замкнута относительно операций коммутирования. В связи с этим говорят, что генераторы Ij группы Ли образуют алгебру Ли. Математически это означает

Это равенство означает, что коммутатор генераторов выражается в виде линейных комбинаций самих же генераторов. Коэффициенты Clmk — это структурные константы группы; они, вообще говоря, комплексны. Из (2.24) следует, что структурные константы по нижним индексам антисимметричны.

Свойства:

1.Задание генераторов определяет группу, т.е. знание группы Ли в окрестности единицы дает возможность восстановить всю группу для произвольных значений параметров α . Это связано с тем, что для матричных элементов g(α) могут быть записаны дифференциальные уравнения первого порядка, решения которых при начальном условии

g(α = 0) = 1

дают элементы группы g(α) при произвольных α .

2.Задание алгебры Ли, т.е. коммутаторов генераторов или структурных

констант Clmk однозначно не определяет генераторов группы Ij и, следовательно, не определяет еще саму группу. Отметим однако, что группы, имеющие одинаковые алгебры Ли, весьма сходны по структуре или совпадают.

Покажем, что из групповых постулатов и определения генераторов группы (2.23) следует соотношение (2.24), определяющее алгебру Ли.

Рассмотрим матрицу:

Здесь — это просто другие значения параметров α ; пробегает значения 1 . . . , n , соответственно 0 : 01 . . . , 0n . Отметим, что если бесконечно малые, то и элементы 0 также бесконечно малые

g( → 0) = g( 0) ' 1.

Будем считать, что все параметры α, , 0 — бесконечно малые, тогда для элемента группы вблизи единицы справедливо соотношение (2.23), которое подставим в (2.25)

1 + iIl 0l = (1 + iIkαk)(1 + iIm m)(1 − iIlαl).

Подставим сюда вместо 0 выражение (2.26),(2.27), раскроем скобки и оставим слагаемые не выше первого порядка по α

1 + iIk(δkl + Clmk αm) l = 1 + iIm m+

+iIkαk − iIkImαk m − iIlαl + ImIlαl m,

вводя коммутатор, получим

iIk k + iImClmk αm l = iIm m + [Im, Il]αl m.

Во втором слагаемом сделаем переобозначения: l → m, m → l . Тогда

[Il, Im]αm l = iClmk Ikαm l.

Окончательно приходим к выражению

[Il, Im] = i · Clmk Ik.

2.4Компактные и некомпактные группы

Среди непрерывных групп различают компактные и некомпактные группы. Множество называется компактным, если оно ограничено и замкнуто. Например,

a ≤ x ≤ b – компактное,

a < x < b – не компактное,

x ≤ a – не компактное.

Определение:

Если элементы группы g(α) G ограничены при любых значениях параметра α ( α : α1, α2, . . . , αn ), группа называется компактной. Если же при некоторых граничных значениях параметров α какие либо матричные элементы матрицы g(α) не ограничены, то группа называется некомпактной.

Примеры:

а) группа унитарных матриц n –го порядка U(n) является компактной группой. Действительно, в силу унитарности

В силу полученного равенства матричные элементы ограничены, следовательно группа компактна;

б) группа вращений 3–мерного пространства SO(3) (подчеркнем, что ортогональными являются унитарные действительные матрицы)

QQT = 1 QT = Q−1,

X

Q2kl = 1,

l

то есть группа компактна;

в) пример некомпактной группы (группа Лоренца)

1. “Объём” группы

Определение:

Под объемом группы понимают интеграл по всей группе от инвариантной меры

Z

VG = dµ(g), (2.28)

G

где dµ(g) инвариантная мера или инвариантный элемент объема