КТП

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая теория поля

Файл:

ψ(x) = 1 +

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.06.2024

Размер:

500.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

3.4. Особенности квантования электромагнитного поля

101

Отсюда видно e0k = ek , а также e02 = e2 . Отметим, что преобразование (3.105) отвечает калибровочному преобразованию, которое не меняет зависимости A(x) от координат и времени. Поэтому функция f определяется калибровкой потенциала. В частности, она может быть выражена так, что e0 = (0,~e 0) не будет иметь нулевой компоненты. И тогда релятивистски– инвариантное соотношение (3.104) перейдет в неинвариантное соотношение

~e k = 0, (3.106)

которое называет кулоновой калибровкой или 3–мерной поперечной ка-

либровкой, так как 0 , ~ 6 , то есть поле поперечно волновому век-

A = 0 A = 0

тору. Без потери общности будем считать

e2 = e0 2 = −1.

(3.107)

Отметим, что возможность классификации электромагнитного поля по спиновым состояниям обеспечивается калибровочной инвариантностью. В ку-

лоновской калибровке оператор электромагнитного поля ˆ имеет вид

A~	(x) =	~	r		ω		(ˆa~kλ~eλe−ikx + aˆ~kλ~eλeikx),	(3.108)
ˆ		X			2π		+

k,λ

здесь индекс λ = 1, 2 — нумерует 2 ортогональных состояния поляризации

~	~eλ~eλ0 = δλλ0 .
~eλk = 0,

Операторы рождения и уничтожения квантов электромагнитного поля удовлетворяют обычным комутационным соотношениям для бозонов

[ˆa~		, aˆ+				] = δ~~		0	δλλ0 ,
	kλ		~		λ0		kk	0
				k0	λ0
[ˆa , aˆ			λ0	] = [ˆa+			, aˆ+			] = 0.
~kλ	~k0		λ0			~	~
						kλ		k0λ0

В общем случае лоренцовской калибровки можно получить следующее выражение для коммутаторов операторов потенциалов:

[Aˆi(x), Aˆj(x0)] = ηijΔ(x − x0).

Некоторые вопросы квантования электромагнитного поля будут рассмотрены при изучении конкретных явлений квантовой электродинамики в следующей части курса.

102	Глава 3. Квантование свободных полей

3.5Сохранение тока

3.6Зарядовое сопряжение

3.7Пространственное сопряжение

3.8T – преобразование

Глава 4

Уравнение Дирака во внешнем поле

4.1Калибровочная инвариантность

		L = L0 + Lint
L = −	1	∂iAk∂iAk +	i	ψγ¯ k∂kψ	− ∂kψγ¯ kψ − mψψ¯

	8π		2

Lint = −jk(x)Ak(x)

			j	k			¯ k	ψ
			j		= eψγ			ψ
			∂L		−	∂	∂L
			∂ψ¯			∂	l ∂(∂lψ¯)
			∂ψ¯				l ∂(∂lψ¯)
		(iγk∂k − eγkAk − m)ψ = 0
		∂k → Dk = ∂k + ieAk
L =	i	ψγ¯ k(Dkψ) − (Dkψ¯)γkψ) − mψψ¯ −							1	∂iAk∂iAk

	2								8π

iγkDk − m ψ(x) = 0 pˇk = i∂k

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

		γk(ˇpk − eAk) − m ψ(x) = 0	(4.10)
Легко показать, что	(4.10) инвариантно относительно калибровочных пре-
Легко показать, что
образований		Ak → Ak0 = Ak + ∂kΦ(x)
		Ak → Ak0 = Ak + ∂kΦ(x)	(4.11)
		ψ → ψ0 = e−ieΨ(x)ψ	(4.12)

104	Глава 4. Уравнение Дирака во внешнем поле

4.2 Особенности квантования во внешнем поле

ˆ	X				ˆ+	+	(4.13)
ψ(x) =			aˆnψn + bn			ψn	(4.13)
	n
η =	\| m \|	=		-	1		(4.14)
η =	\| m \|	=		\|mc\| 2	1		(4.14)
	eA			e F λ

4.3Нерелятивистское приближение уравнения Дирака

Приближение с точностью 1c

4.10:

γ0(i∂t − eA0) − ~γ(p~ˇ − eA~) − m ψ = 0
	∂
			i	∂Ψ	= HΨ
			i		= HΨ
				∂t
		ˇ	~			+ βm
	H = α~p~		− e~αA + eA0			+ βm
		α~ = γ0~γ = 1,0~σ,0
			~
					0,sigma

β = γ0 = 0,−1

Чтобы исключить большое слагаемое, сделаем замену

Ψ = e−imtψ(x)

i∂ψ∂t = (H − m)ψ

(i	∂	ˇ	~
(i	∂t∂	+ 2m − eA0)χ = ~σ(p~ˇ		− eA~)ϕ
(i	∂t	− eA0)ϕ = ~σ(p~	− eA)χ

В первом приближении

	(1)		1		ˇ	~			(1)
		χ =	2m	~σ(p~		− eA)ϕ
	∂ϕ(1)				1		h~σ(p~ˇ	− eA~)i		2
i		− eA0ϕ(1) =								ϕ(1)
	∂t				2m

(4.15)

(4.16)

(4.17)

(4.18)

(4.19)

(4.20)

(4.21)

(4.22)

4.3. Нерелятивистское приближение уравнения Дирака

При раскрытии правой части воспользуемся формулой

		~	~		~
	(σ~a)(~σb) = ~ab + i~σ(~a × b)
ˇ	~	ˇ	~	(1)	~	(1)
(p~	− eA) × (p~		− eA)ϕ		= ieHϕ

Окончательно (4.22) примет вид

∂t

−

∂ϕ

(1)

(p~ − eA)

(~σ ~ ) + eA

ϕ(1)

µ~ = µ~Á =

2mc

~σ; U =

−µ~H =

−

2mc

(~σH)

Второе приближение по 1c

Предположим, что есть только 0 , т.е. ~ , тогда из (4.20)

A A = 0

∂

χ =

σ~pϕ + (eA0 − i

∂t

)χ

Второе приближение получится подстановкой χ(1) в (4.25)

χ(2) = 2m σ~pϕ(2)

+ (eA0 − i∂t)χ(1)

∂

при этом

(1)

(2)

~σpϕ~

(2)

ˇ2

∂t#

ϕ(2)

∂t − eA0ϕ(2)

= "2p~m + 4m2 (~σp~ˇ)A0

(~σp~ˇ) − i4m2

∂ϕ

∂

ˇ2

(2)

1 + 4m2 !

∂t = Hϕ(2)

∂ϕ

ˇ2

≡ U2

1 + 4m2 ≈ 1 + 8m2 !

ϕøð = Uϕ(2)

Høð = U−1HU−1

105

(4.23)

(4.24)

(4.25)

(4.26)

(4.27)

(4.28)

(4.29)

(4.30)

(4.31)

106	Глава 4. Уравнение Дирака во внешнем поле

С точностью до 1/c2 c получим...Окончательно с восстановлением единиц получим

ˇ2

Høð = 2p~m

	ˇ4		e~
+ eA0 −	p~	−
	8m3c2		4m2c2

T = E − m '

~ × ˇ −

~σ(F p~)

p2		p4
	−
2m	−	8m3

~	e	~
U = −µ~H =	2m2	~σ(F	× p~)

e~2 ~

8m2c2 divF

(4.32)

(4.33)

(4.34)

4.4 Движение в центральном поле

0 , ~ Уравнение Дирака имеет вид

U = eA A = 0

	∂ψ		ˇ
i		= (α~p~ + βm + U)ψ				(4.35)
	∂t
Будем искать стац. решения в виде

ψ(~x, t) =				ϕ(~x)	e−iEt	(4.36)
				χ(~x)

					ˇ
(E + m − U)χ = (~σp~ˇ)ϕ						(4.37)
	(E − m		− U)ϕ = (~σp~)χ

... Т.к. в центральном поле переменные разделяются, то спиноры представим в виде

(

ϕjm = fjl(r)Ωjlm(~n)					(4.38)
	l		l0+1
χjm = ( 1)		− 2		gjl0 (r)Ωjl0m(~n)
−
... Учтем, что при вращении спиноры ϕ и χ преобразуются по закону
ϕjm0 (~r0) = [1 + i(~l + ~s)dω~]ϕjm(~r)					(4.39)
				~
Здесь генератор преобразования – полный момент					l + ~s
... В силу этого можно записать
Ωjl0m =	−		i(l0	−l)(σ~n)Ωjlm

4.5. Движение в поле кулоновского центра

Окончательно (4.38) примут вид

ϕjm = fjl(r)Ωjlm(~n)

χjm = −igjl(r)(σ~n)Ωjlm(~n)

107

(4.40)

Подставим (4.40) в (4.37)... Преобразуем правую часть первого уравнения

−i(~σp~ˇ)(σ~r)		g	Ω = . . . = −[g0 + 2	g	+ 2(~s~l)	g	]Ω

		r		r		r
~	= [j(j + 1) − l(l + 1) − 3/4]Ωjlm
2(~sl)Ωjlm	= [j(j + 1) − l(l + 1) − 3/4]Ωjlm
Для l = j ± 1/2 получим			~
			2(~sl) = −(1 + κ)

...Замена F (r) ← r · f(r) , G(r) ← r · g(r)

F 0 + κr F − (E + m − U)G = 0 G0 − κr G + (E − m − U)F = 0

(4.41)

(4.42)

(4.43)

(4.44)

4.5Движение в поле кулоновского центра

U = −zer2 = −zαr

F 0 + κr F − (E + m + zαr )G = 0 G0 − κr G + (E − m + zαr )F = 0

r → ∞

r → 0

F = arγ , G = brγ

Точные решения

Для z < 137 решение будем искать в виде

(√

F e−√m2−E2rrγ P akrk

G e− m2−E2rrγ P bkrk

Введем обозначения

A = m + E

B= m − E

√√

D = AB = m2 − E2

(4.45)

(4.46)

(4.47)

(4.48)

108

Глава 4. Уравнение Дирака во внешнем поле

ρ = p

(4.49)

...

m2 − E2

aν(ν + γ + κ −

zα) = (zα +

[γ + ν − κ])bν

(4.50)

...

−

...

B − A

zα =

2(N + γ)

(4.51)

E =

(4.52)

r1 +

N+γ

zα

Критический заряд ядра

Энергия основного состояния (при N = 0 ). κ < 0 , например κ = −1

1 +

−

( (zα)2

= m

(zα)2

(4.53)

−

zα)2

Нерелятивистский предел

(zα)2

−1/2

zα

= 1 +

' 1 −

(N + γ)2

N + γ

zα)2

γ = pκ2 − (zα)2

' |κ| −

(

2|κ|

zα)2

1 +

(

N + γ

(N + κ)2

|κ|(N + |κ|)

... Обозначим n = N + |κ| = 1, 2, . . .

	(zα)2m	1 +	(	zα)2	1			3	)
E0 = −					(		−
	2n2			n		j + 1/2		4n

(4.54)

(4.55)

(4.56)

(4.57)

4.6Электрон в поле плоской электромагнитной волны

[γµ(ˇpµ − eAµ) − m]ψ(x) = 0	(4.58)
...
[−∂2 + e2A2 − 2ie(A∂) − m2 − ie(γk)(γA0)]ψ = 0	(4.59)

4.6. Электрон в поле плоской электромагнитной волны	109
...Решение будем искать в виде
ψ = e−ipxF (ϕ)	(4.60)
...
2i(kp)F 0 + [(p2 − m2) + e2A2 − 2e(pA) − ie(γk)(γA0)]F = 0	(4.61)
На 4-вектор p можно наложить доп. условие, например
p2 = m2	(4.62)

Отсюда следует, что при выключении внешнего поля 4-вектор p имеет физический смысл 4-импульса свободного электрона.

F (ϕ) = B · ei·S+

(γk)(γA)

(4.63)

2(kp)

где

e(kp) −

S = − Z

(4.64)

2(ekp) A2 dϕ

(pA)

Константу положим

B =

(4.65)

√

2p0

(γk)(γA)(γk)(γA) = [2(kA) − (γA)(γk)](γk)(γA) = −(γA)(γk)(γk)(γA) = 0

В силу этого

(γk)(γA) = 1 +

e(γk)(γA)

(4.66)

2(kp)

Окончательно

При выключении внещнего поля функция Волкова переходит в решение уравнения Дирака для свободного электрона. Отсюда видно, что U – биспинор свободного электрона и на него можно наложить условие нормировки

¯	(4.68)
UU = 2m	(4.68)
(γp − m)U = 0	(4.69)

Подчеркнем, что (4.69) отбрасывает лишнее решение.

Отметим, что фаза S фактически классическое действие в поле плоской волны.

110	Глава 4. Уравнение Дирака во внешнем поле

Плотность тока

¯ µ

= ψγ

1 + 2(kp) (γA)(γk) eipx−iS

ψ¯ = √2p0

pµ

− eAµ + kµ

(pA)

e2A2

jµ =

−

(kp)

2(kp)

(4.70)

(4.71)

(4.72)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Квантовая теория поля

#
11.06.20243.31 Кб1dz.nb
#
11.06.202423.88 Кб2БДЗ.tif
#
11.06.202445.06 Кб0вопросы к экзамену.doc
#
11.06.202420.39 Кб0вопросы.docx
#
11.06.2024500.06 Кб1КТП.pdf