КТП

В силу этого данной физической величине сопоставляют спиральность ча-

Значек <> означает среднее значение (то есть этот оператор в обкладках волновых функций).

Вывод

Спиновое состояние свободной релятивистской частицы со спином 1/2 можно классифицировать двояким образом: либо по значению проекции спина на произвольную ось в системе покоя частицы, либо по спиральности.

3 Общее решение уравнения Дирака

Учитывая два знака частот дираковской частицы, спиновые состояния λ , можно записать общее решение уравнения Дирака в виде суммы дираковских плоских волн по всем возможным значениям импульса и проекций спина:

Подставим сюда выражение для лагранжиана (3.32). В результате получим

Подставляя в (3.60) выражения (3.61), (3.58) и проводя суммирование и интегрирование, как и в случае скалярного поля (см. предыдущий параграф),

лишние спины, обусловленные лишними компонентами волновой функции релятивистского поля. Минимальной по числу компонент релятивистской величиной, описывающей частицу со спином 1, является 4–вектор ϕi(x) = (ϕα, ϕ0) , α = 1, 2, 3 .

Замечание

Имеются трёхкомпонентные величины, преобразующиеся по неприводимому представлению группы Лоренца (1,0) и (0,1). Однако такие величины не могут описывать массивное релятивистское поле (так как из них не построишь скаляра). Объединение же этих 2 величин в одну 6–компонентную возможно, но такое описание релятивистского поля со спином 1 фактически содержится в рассматриваемом варианте с 4–компонентным вектором. Эти два подхода соотносятся друг с другом так же, как описание электромагнитного поля с помощью вектор–потенциала и тензора электромагнитного поля. Обычно подход с применением 4–компонентных величин проще.

Спину 1 соответствуют пространственные компоненты ϕα поля ϕ . Четвертая же компонента является скаляром относительно вращений и, следовательно, отвечает спину 0. Этот “лишний” спин надо исключить, если мы желаем иметь релятивистское поле, квантами которого являются частицы со спином 1.

Компоненты релятивистского поля ϕ(x) удовлетворяют уравнению Клейна–Гордона

Для устранения спина “ноль” необходимо подчинить поле ϕi дополнительному условию (уравнению), которое должно удовлетворять следующим требованиям:

•быть релятивистски инвариантным;

•не иметь производных выше, чем в уравнении (3.75);

•быть совместимым с уравнением (3.75).

Этим трем условиям удовлетворяет простейшее уравнение–свёртка

Выясним физический смысл дополнительного уравнения (3.76). Как известно, решение уравнения Клейна–Гордона (3.75) с определенным 4–импульсом p выражается в виде плоской волны

Здесь χi — 4–вектор, который называют спиновой амплитудой плоской волны. Причем

В системе покоя частицы получим p~0 = 0 , поэтому χ0p0 = 0 . Так как p0 ≥ µ 6= 0 , то получается χ0 = 0 .

Таким образом, в системе покоя частицы отличны от нуля лишь пространственные компоненты χ~ спиновой амплитуды χ . При вращениях системы координат спиновая амплитуда в системе покоя преобразуется как вектор, то есть по неприводимому представлению группы вращений D(1) , то есть отвечает частице со спином 1. В любой другой системе отсчета (p~ 6= 0) , χ0 = 0 с помощью (3.79) выражается через χ~ , то есть не является независимой величиной. Поэтому при данном импульсе p~ имеется всего 3 спиновых степени свободы. Условимся характеризовать спиновые состояния векторной частицы проекцией спина на ось 3 в системе покоя частицы (то же самое можно было бы сделать и в произвольной системе отсчета, вводя спиральность). В этом случае пространственные компоненты спино-

Отметим, что пространственные компоненты спиновой амплитуды в системе покоя ортонормированны, то есть

С помощью данного лагранжиана по вышеописанной методике можно получить уравнения движения (уравнение Клейна–Гордона), тензор энергии– импульса и другие величины.

Запишем общее решение уравнения Клейна–Гордона массивного векторного поля. Это решение представляет собой суперпозицию плоских волн с положительной и отрицательной частотами, просуммированное по всем возможным значениям импульса и спиновым проекциям:

Для определения константы a перейдем в систему покоя частицы, где χ = (χ,~ 0) . В системе покоя три ортонормированных вектора χ~0 , χ~±1 образуют полный набор ортонормированных функций. В силу этого мы можем написать соотношение полноты:

а также учитывая соотношение

pje−ipx = −i∂je−ipx,

получим следующее выражение для коммутатора полей:

3.4Особенности квантования электромагнитного поля

Частным случаем векторного поля является электромагнитное поле,

что данное поле безмассовое ( µ = 0 ). В силу этого 4–потенциал удовлетворяет уравнению Клейна–Гордона с µ = 0 :

Так как µ = 0 , перестановочные соотношения, полученные в предыдущем параграфе, несправедливы (обращаются в бесконечность, что связано с переходом в систему покоя частицы). В силу этого вся схема рассмотрения спиновых состояний должна быть изменена. При этом следует учесть важное следствие безмассовости электромагнитного поля — калибровочную

инвариантность. Последняя заключается в том, что действие S и, следовательно, все наблюдаемые физические величины (энергия, импульс поля, напряженности электрического и магнитного полей) остаются неизменными при калибровочном преобразовании потенциалов:

где Φ = Φ(~x, t) — произвольная, вообще говоря, функция координат и времени. Учтем также, что дополнительные условия на 4–потенциал, исключающие скалярные частицы, имеют вид

иназываются условием Лоренца.

Вкалибровочной инвариантности проще всего убедиться, переписав

— тензор электромагнитного поля. Выражение (3.99) калибровочно инвариантно в силу калибровочной инвариантности тензора электромагнитного поля Fjk . Действия (3.98) и (3.99) равны друг другу, так как лагранжианы, их определяющие, отличаются на полную производную, если учесть условие Лоренца:

L= −14 FjkF jk = −14 (∂jAk − ∂kAj)(∂jAk − ∂kAj) =

=−14 (∂jAk∂jAk + ∂kAj∂kAj − ∂jAk∂kAj − ∂kAj∂jAk) =

= −12 ∂jAk∂jAk + 12 ∂jAk∂kAj

(переставили индексы). Первое слагаемое есть лагранжиан (3.98), а второе — есть полная производная, на которую отличаются лагранжианы

(последнее слагаемое равно нулю). Подставив калибровочное преобразование (3.96) в условие Лоренца (3.97), получим уравнение, ограничивающее класс функций Φ :

Замечание

Запись лагранжиана в предыдущих формулах отвечает единицам Хевисайда, в которых закон Кулона имеет вид

V = e41πre2 .

Гауссовым же единицам измерения, для которых закон Кулона

V = e1re2 ,

√

отвечают потенциалы, отличающиеся множителем 4π . Поэтому в дальнешем будем использовать лагранжиан вида (гауссова система)

Рассмотрим решения для 4–потенциалов, удовлетворяющие уравне-

нию Клейна–Гордона (3.95) и отвечающие 4–импульсам поля 0 ~ , k = (k , k)

≡|~|

ωk0 = k , (c = 1) . Данное решение имеет вид

Здесь e(k) = (e0,~e) — 4–вектор, который называют спиновой амплитудой или 4–вектор поляризации плоской электромагнитной волны. Подставим решение (3.103) в условие Лоренца

Отсюда видно, что 4–вектор e не может быть времениподобным (то есть e2 > 0 ), так как для времениподобного вектора существует система отсчета, в которой ~e = 0 , e0 6= 0 , но тогда в силу (3.104)

e0k0 = 0 k0 = ω = 0.

Поэтому 4–вектор e либо пространственноподобный (e2 = e20 −~e2 < 0) либо изотропный (т.е e2 = 0 ). Для изотропного вектора e должно быть пропорционально k :

e = f · k,

где f — некоторая функция. Таким образом 4–вектор поляризации допускает следующее преобразование, не меняющее условие (3.104), а также квадрат этого вектора: