КТП

2

Предисловие

Внастоящее время интенсивно развивается квантовая электродинамика сильных электромагнитных полей. Так в практике физического эксперимента по взаимодействию когерентного электромагнитного излучения с веществом широко используются интенсивности I (1012 ÷ 1019) Вт/см2 . Вблизи верхней границы напряженность поля больше атомной, скорость колеблющегося электрона близка к скорости света.

Всильном поле излучения существенную роль играют нелинейные эффекты, связанные с поглощением из волны или испусканием в волну сразу нескольких квантов. Кроме этого имеют место резонансные, а также другие аномальные явления.

Данное пособие представляет собой первую часть конспекта лекций по релятивистской квантовой теории сильных полей, прочитанных профессором С. П. Рощупкиным для студентов и аспирантов физико–технического факультета СумГУ, обработанных и дополненных старшим преподавателем

О.И. Денисенко. Программа курса охватывает квантование свободных полей, некоторые общие вопросы (законы сохранения, связь спина со статистикой и др.), инвариантную теорию возмущений, электродинамические процессы в сильных световых полях.

По релятивистской квантовой теории существует ряд учебников (см., например, [1] — [14]). Отличительной чертой данного курса является то, что релятивистская квантовая теория излагается как квантовая теория поля, при этом активно используются методы теории групп (теория представлений группы Лоренца). Знакомство с этим разделом математики у читателя не предполагается, все необходимые сведения даются в тексте лекций. Кроме этого, освещаются современные представления физики взаимодействия электронов и фотонов в сильных световых полях, в особенности резонансные явления, связанные с выходом функции Грина промежуточной (виртуальной) частицы в световом поле на массовую оболочку.

Впособии изложены общие принципы релятивистской квантовой теории, математический аппарат теории группы вращений и группы Лоренца, а также квантование свободных полей.

Желающие расширить свои свои знания по этим вопросам могут обратиться к литературе, указанной в конце книги.

Мы хотели бы выразить также нашу особую благодарность В. Мироновой за постоянную помощь в оформлении пособия.

Глава 1

Основные принципы построения релятивистской квантовой теории

Введение

Структура релятивистской квантовой теории (РКТ) определяется тем, что в релятивистской физике всякое взаимодействие является запаздывающим в силу конечности скорости света. Поэтому энергия и импульс, передаваемые в процессе, например, рассеяния электрона на электроне, известное время как бы находятся в пути, будучи сосредоточены в электромагнитном поле. Так же обстоит дело со всяким взаимодействием, например, взаимодействием между нуклонами. Иными словами, релятивистская динамика является объектом теории поля уже в классической физике. Однако в классической физике поле и частицы качественно различные объекты. В квантовой же теории, вследствие дуализма волна–частица, частицам отвечают волны, а волнам (полю) — частицы (кванты поля). Таким образом РКТ есть теория взаимодействия квантовых полей. Существенно отметить, что РКТ имеет дело с физическими системами, в которых общее число частиц не сохраняется. Рассмотрим, к примеру, рассеяние электрона на электроне. Это рассеяние происходит за счет электромагнитного взаимодействия. В ходе рассеяния электроны как бы перебрасываются квантами элетромагнитного поля, поэтому в произвольный момент времени всегда имеется кроме электронов некоторое число квантов поля, т.е. получаем физическую систему с переменным числом частиц. Аналогично при ядерном взаимодействии нуклоны обмениваются мезонами и.т.д. В силу этого для построения РКТ необходим математический аппарат, позволяющий описывать переходы с изменением числа частиц. Подчеркнем, что РКТ есть квантовая теория поля, а не квантовая механика. Чтобы лучше понять в чем различие напомним приципиальную схему построения нерелятивистской квантовой механики.

при этом, если ψ = 0 , то ρ = 0 ;

г) в силу однородности и изотропности пространства–времени плотность вероятности явно не зависит от времени. По определению

в силу этого, а также того что волновая функция ψ удовлетвоpяет уpавнению Шpедингеpа, уpавнение непpеpывности (1.3) выполняется.

3. Оператор ˆ должен быть инвариантен относительно операций транс-

L

ляции, вращений пространства и преобразований Галилея.

1.2Требования релятивистской инвариантности теории

Потребуем, чтобы уравнения (1.1), (1.3), которым подчиняется волновая функция, были инвариантны относительно преобразований Лоренца. Для начала введем некоторые обозначения. Обозначим контравариантный координатный вектор (4–вектор)

xi = (t, ~x), i = 0, 1, 2, 3.

При этом интервал выражается в виде

(xi)2 = (x0)2 − ~x 2 = inv.

Введем метрический тензор

ηik = ηik ≡ diag(1, −1, −1, −1).

В дальнейшем будем различать контра– и ковариантные вектора. Вектор ai , который при преобразованиях Лоренца преобразуется как координатный вектор xi называют контравариантным. Иногда мы будем обозначать его без индекса ai ≡ a . Вектор ai , который при преобразованиях Лоренца преобразуется как 4–градиент будем называть ковариантным вектором. Ковариантный вектор еще будем обозначать как ai ≡ a˜ . Легко видеть, что

a0 = a0, aα = −aα, α = 1, 2, 3,

6 Глава 1. Основные принципы

в силу того, что

ai = ηikak, ai = ηikak.1

Введем матрицу пpеобpазования Лоренца:

gik ≡ g.

Тогда координатный вектор при преобразовании Лоренца удовлетворяет соотношению:

Покажем, что матрица g псевдоортогональна, т.е. g−1 = ηgT η : x2 = xixi = ηikxkxi = (xk)T ηikxi ≡ xT ηx.

С другой стороны

(x0)2 = (x0)i(x0)i = ηik(x0)k(x0)i = (x0)T ηx0 = (gx)T η(gx) = xT (gT ηg)x.

Т.к. x2 = x02 = inv , то

η = gT ηg.

Домножив последнее равенство справа на g−1 , будем иметь:

ηg−1 = gT η,

откуда, умножая, — слева на η , получим искомое свойство:

Контравариантные векторы при преобразованиях Лоренца преобразуются как координатный контравариантный вектор, т.е.

(a0)i = gki ak a0 = ga.

Определим матрицу преобразований Лоренца для ковариантных векторов

Для того, чтобы получить вид этой матрицы, воспользуемся следующими равенствами для координатного ковариантного вектора

x0i = ηik(x0)k = ηikgpkxp = ηikgpkηpsxs,

1По повторяющимся индексам предполагается суммирование: ai = ηikak = ηi0a0 +ηi1a1 +

ηi2a2 + ηi3a3

Легко видеть, что если транспонировать выражение (1.6) и учесть (1.7), то получим, что матрица преобразования Лоренца для ковариантных векторов будет равна

Свертка ко– и контра– векторов есть релятивистский инвариант или скаляр относительно преобразований Лоренца:

a˜0b0 = g˜agb˜ = a˜g˜T gb = ab˜

Теперь вернемся к основной задаче этого параграфа. Уравнение непрерывности (1.3) должно быть инвариантно относительно преобразований Лоренца. Для этого оно должно быть представимо в виде свертки ко– и контра– векторов. Ковариантный вектор в (1.3) имеется — это вектор

∂ ~ ∂i = ( ∂t, r).

Следовательно плотность тока должна быть контравариантным вектором

Выражение (1.10) есть релятивистское обобщение уравнения непрерывности (1.3).

Определим вид плотности тока j . В силу однородности и изотропности пространства–времени, производные от волновой функции могут иметь вид

ηik∂kϕ,

где ϕ — волновая функция. В силу этого плотность тока может быть пред-

ставлена в виде:

ji = i(ϕ ηik∂kϕ − ϕηik∂kϕ ).

Знак “−00 между слагаемыми, а не “+00 поставлен потому, что в простом

случае плоских волн

ϕ e−ikx

получился бы ноль. Умножение на i произведено для того, чтобы плотность тока была действительной величиной

(нулевая компонента j , а также k = 0 ). Из (1.12) видно, что плотность вероятности не является положительно определенной величиной, как это было в случае нерелятивистской квантовой механики. Это одно из противоречий при переходе к релятивистской теории.

1.3 Уравнение Клейна–Гордона

Получим возможное релятивистски инвариантное уравнение для волновой функции ϕ(~x, t) (скалярная безспиновая частица)

∂i∂iϕ = −m2ϕ.

Выражение (1.13) — уравнение Клейна–Гордона (1927).

Решение уравнения Клейна–Гордона можно представить в виде плоской

волны

ϕ e−ipx, px = pixi = Et − p~x.

Подставляя это решение в (1.13) получим связь между энергией, импульсом и массой

−E2 + p2 + m2 = 0,

p

E = ± p~2 + m2. (1.14)

Подчеркнем, что если в нерелятивистской квантовой механике знак “ − ” можно было отбросить, то, как будет показано ниже, в нашем случае решение с отрицательными энергиями отбросить нельзя. Хотя бы из–за того, что будет нарушаться полнота системы линейных независимых решений. Покажем, что плотность тока (1.11) удовлетворяет уравнению непрерывности (1.10) в силу справедливости уравнения Клейна–Гордона для волновых функций ϕ и ϕ . Действительно

∂iji = iηik∂i(ϕ ∂kϕ − ϕ∂kϕ ) =

iηik(∂iϕ ∂kϕ + ϕ ∂i∂kϕ − ∂iϕ∂kϕ − ϕ∂i∂kϕ ) = = i(∂iϕ ∂iϕ − ∂iϕ∂iϕ + ϕ ∂i∂iϕ − ϕ∂i∂iϕ ) = 0.

Последние два слагаемые соответственно равны (из уравнения Клейна– Гордона) −m2ϕ и −m2ϕ . Отнормировать решения в виде плоской волны можно, наложив условия

Тогда, если сюда подставить решение

ϕ = ae−ipx,

получим

Z

2a2E d~x = 1 2a2EV = 1.

V

Полагая объем равнвым единице ( V = 1 ), имеем

Подчеркнем, что здесь энергии положительны. Покажем, какие трудности возникают в связи с существованием энергий с отрицательным знаком. Рассмотрим взаимодействие скалярной заряженной частицы с внешним электромагнитным полем, которое будем описывать контравариантным потенциалом

Включение поля производится калибровочно инвариантным образом: путем удлиннения производных

∂i → ∂i − ieAi.

В импульсном пространстве этому преобразованию соответствует

E → E + eA0;

→ − ~ p~ p~ eA.

Уравнение Клейна–Гордона с учетом данного преобразования примет вид

Раскроем скобки:

(∂i∂i − ie∂iAi − 2ieAi∂i)ϕ(x) = −m2ϕ(x).

В данном выражении мы пренебрегли слагаемыми, пропорциональными e2 , это справедливо для не очень сильных полей. Учтем, что

Пусть до взаимодействия с электромагнитным полем частица находилась в начальном i –м состоянии с волновой функцией

Разложим волновую функцию в произвольный момент времени t по стационарным состояниям

Отметим, что коэффициенты Cn(t) определяют вероятность обнаружения частицы в момент времени t в состоянии n . Подставим (1.21) в (1.18):