12. Устойчивость линейных сау. Частотные критерии устойчивости.

Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Это свойство затухания переходного процесса с течением времени.

Для тех объектов, которые работают в условиях непрерывно меняющихся воздействий, т.е. когда установившийся режим вообще отсутствует, дается общее определение устойчивости:

Система устойчива, если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Y_св →0 при t→∞ , если все корни характеристического уравнения λ обладают отрицательной вещественной частью.

Если хотя бы один вещественный корень λ_i будет положительным или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней будет иметь положительную вещественную часть, то в этом случае процесс будет расходящийся.

Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λ_i,i+1 = +jβ , то система будет находиться на границе устойчивости.

Критерий Михайлова. Это частотный критерий и он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы.

D(λ) = a₀*λⁿ + a₁*λ^{n -1} +…+ a_{n -1}*λ + a_n . Считать все коэффициенты характеристического уравнения положительными.

Если вместо λ подставить jω, то D(jω) = X(ω) + jY(ω)

X(ω) = a_n + a_{n –2}*ω² +… (четные степени ω)

Y(ω) = a_{n –1}* ω + a_{n –3}*ω³ +… (нечетные степени ω)

При ω=0, X=a_n , Y=0

При ω→0, X=∞(-∞), Y=∞(-∞) («+» или «-» зависит от степени n)

n=3, X= -∞, Y= -∞

n=5, X= ∞, Y= ∞

Если изменять ω от 0 до ∞, то D(jω) будет описывать некоторую траекторию, которая будет называться годографом Михайлова.

Д ля устойчивости линейной системы n-порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции D(jω) изменении ω от 0 до ∞ = n*π/2

Другими словами требуется, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно n-квадрантов против часовой стрелки, все время огибая начало координат.

Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.

Если нарушается процесс обхода, то система не устойчива.

Для того чтобы система была устойчивой необходимо, чтобы нули X и Y чередовались с ростом ω, начиная с ω=0.

X(ω)=0 Y(ω)=0

X	an	0		0		0
Y	0		0		0

Для того, чтобы определить границы устойчивости, необходимо решить системы:

X(ω)=0

Y(ω)=0

Критерий устойчивости Найквиста.

Он базируется на частотных характеристиках разомкнутой цепи САУ. Он дает правило, согласно которым по виду частотной характеристики разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы. W(jω) → Ф(jω)

Формулировка критерия в зависимости от исходного состояния системы может быть различной.

1. Система устойчива в разомкнутом состоянии.

Критерий Найквиста: Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы н. и д. чтобы АФЧХ разомкнутой цепи не охватывала точку с координатами (-1; j0).

2. Система нейтральна в разомкнутом состоянии.

Т. е. характер. многочлен разомкнутой цепи L(S) имеет один нулевой корень, а все остальные корни имеют отрицательные вещественные части.

Формулировка критерия остается прежней, но при этом в число переходов надо включать пунктирный переход окружности бесконечного радиуса, дополняющий годограф до положительного направления вещественной оси.

3. Система не устойчива в разомкнутом состоянии.

Для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала т. с координатами (-1; j0)против часовой стрелки на угол lπ.(Другими словами требуется, чтобы левее т. (-1) разность отрицательных переходов АФЧХ через ось абсцисс = l/2, l – число правых корней характеристического многочлена).