ИО4

Цель работы: решение антагонистических матричных игр.

Вариант 1.

Рисунок 1- Вариант задания

Ход работы:

1. Анализ матрицы игры, определение решения в чистых стратегиях и цен игры.

Максимальный из минимально возможных выигрышей первого игрока (нижняя цена игры) α = 6; (10,6,-7)

Минимальный из максимально возможный проигрышей второго игрока (верхняя цена игры) β = 6; (6,-6,5)

Решение в чистой стратегии: (A1, B2)

Цена игры= 6

2. Решение матричной игры 2х2 в смешанных стратегиях аналитическим способом и с использованием понятия равновесия по Нэшу.

Аналитический способ:

Вероятности использования смешанных стратегий игрока А:

Вероятности использования смешанных стратегий игрока B:

Понятие равновесия по Нэшу:

Математическое ожидание выигрыша игрока A:

Определение координат точек Нэша:

Результат решения обоими способами совпали.

3. Сокращение размерности матрицы игры и решение в смешанных стратегиях графическим методом.

;

Сравнив стратегии игрока А, видно, что стратегия уступает стратегии и . А у игрока B стратегия доминирует над стратегией , тогда получается следующая сокращенная матрица

Нижняя цена игры α = 1,7, верхняя цена игры= 2,3, решения в чистых стратегиях нет, нужно искать решения в смешанных стратегиях.

B5

B4

B3

B2

Рисунок 2- Графическое решение

Выигрыш игрока А будет максимальным из минимально возможных на пересечении и . Высота на пересечении этих точек равна цене игры . Оптимальная частота использования стратегии получилась ;

Зная цену игры и оптимальную стратегию первого игрока, можно найти оптимальные частоты стратегий второго игрока, так как , получается:

Получается, что , .

3. Представление задачи в виде задачи линейного программирования и решение ее с помощью MS Excel

Рисунок 3- Решение в MS Excel для игрока B

Рисунок 4- Решение MS Excel для игрока A

Решение, полученное графическим методом совпало с решением в в MS Excel

Вывод: проведен анализ матриц игр, найдены решения аналитическим способом, способом с использованием понятия равновесия по Нэшу, графическим способом и с помощью поиска решения в VS Excel.

Список использованных источников:

1. Григорьева Н.Н., Яковлева Е.А. - Учебно-методическое пособие «Базовые математические методы и модели оптимизации »‒ ГУАП, 2023

2. Б. К. Акопян, Е. П. Виноградова, С. М. Герасимов, Н. Н. Григорьева - Учебно-методическое пособие «Прикладные методы оптимизации»‒ ГУАП, 2019