ААВасин Математические_модели_рынков_и_аукционов

вующая ситуация (va SCa ( p ) a A) является равновесием по Нэшу. Действительно, функция выигрыша

f a ( p) (D( p) vb ) p Ca (D( p) vb )

4. Модель ценовой конкуренции Бертрана–Эджворта

Рассмотрим другой вариант модели олигополии, описывающий торговлю однородным товаром на неорганизованном рынке.

Пусть A множество производителей товара, ca и V a постоянная удельная себестоимость и максимальный объем выпуска производителя a , D( p) функция спроса. Потребители мел-

кие, каждый из них может купить одну единицу товара. Потребитель b характеризуется резервной ценой rb > 0. Он покупает, если ему достается товар по цене p < rb и не покупает в противном случае.

Условия реализации конкурентного равновесия и оценка отклонения от него зависят от механизма взаимодействия между производителями и потребителями. В качестве примера такого механизма рассмотрим односторонний аукцион Бертрана– Эджворта. Производители-продавцы одновременно и независи-

Отметим, что D(p) можно интерпретировать как общее число потребителей, желающих приобрести товар по цене p. Ясно, что функция D(p) – убывающая и дифференцируемая в интервале

определяется из условия D( p) [S ( p) S ( p)] причем D( p) 0

предложенное по цене p , а P(s) множество назначенных цен. В общем случае процесс продажи характеризуется функцией остаточного спроса. Функция остаточного спроса D( p V ) показывает, каков остаточный спрос по цене p после продажи всех объемов V p по ценам p p p P(s) Рассмотрим три конкрет-

ных вида остаточного спроса, связанных с правилами рационирования, т.е. с порядком потребителей в очереди:

Итак, при распределении остаточного спроса приоритетом пользуются фирмы, для которых себестоимости ниже продажной цены. Последнее условие упрощает анализ модели, обеспечивая существование равновесия. В качестве выигрыша производителя a рассмотрим его прибыль

Таким образом, описана модель ценовой конкуренции производителей как игра в нормальной форме

Г = A, sa sa ca ,ua (s),a A, где игроки a A – фирмы, мно-

жества стратегий sa sa ca – множества цен, которые они мо-

гут назначить, функции выигрыша ua (s) определяют прибыли

фирм. Данную модель применяют для анализа неорганизованных рынков, в частности, розничных рынков однородного товара. Ее также можно использовать для исследования аукциона с оплатой по заявкам (см. часть II).

Рассмотрим основные свойства равновесия по Нэшу описанной игры.

Теорема 4.1. Пусть s равновесие по Нэшу, p цена кон-

курентного равновесия. Тогда справедливо одно из следующих двух условий:

которого ca p s s a при этом ca p (рис. 4.1).

Теорема 4.2. Предположим, что

стратегий им не имеет смысла, поскольку их прибыль останется нулевой. Рассмотрим производителей, для которых ca p. Если

один из них увеличит цену до sa p то ничего не продаст,

так как по условию (4.5) другие представители этой группы полностью покроют спрос по цене p и остаточный спрос по цене

p будет нулевым. Поэтому увеличивать цену производителю a невыгодно. Уменьшать ее также не имеет смысла: если ca p

ществуют хотя бы два производителя a1 и a2 для которых max[ca1 ca2 ] p . Пусть

D p p c D p p c при p [ p M ]

если ca p , является равновесием по Нэшу. Если же в некоторой правой полуокрестности точки p выполнены неравенства

58 Часть I

D( p)( p c ) D( p)( p c )

при этом хотя бы одно из них строгое, то в модели ценовой конкуренции не существует равновесия по Нэшу.

Рассмотрим также модели с последовательным выбором цен и объемов. Пусть на первом этапе производители одновременно

назначают цены sa ca , а на втором определяют объемы выпуска va [0 V a ] , зная цены sa a A На втором этапе оптимальный

выбор (решение по доминированию) соответствует объемам продаж в рассмотренной модели ценовой конкуренции. (Докажите это.) Таким образом, данный случай двухэтапной игры эквивалентен модели ценовой конкуренции.

Предположим теперь, что цены и объемы выбираются в обратном порядке: на первом этапе производители устанавливают

фиксированные объемы va [0 V a ] , а на втором цены sa ca , зная объемы va a A Прибыль, получаемая производителем a ,

равна vasa cava , где a объем реализованной продукции, определяемый остаточным спросом по цене sa Заметим, что на втором этапе оптимизация прибыли не зависит от издержек cava

(объемы va были выбраны на первом этапе и не меняются). Поэтому на втором этапе игроки фактически действуют в рамках модели ценовой конкуренции с нулевыми удельными себестоимостями. Справедливо следующее утверждение.

для функции остаточного спроса выполнено условие (4.6), то совершенные подыгровые равновесия в рассматриваемой двухэтапной игре однозначно соответствуют равновесиям в модели Курно.

(4.7), причем хотя бы одно из них строгое. Тогда совершенного подыгрового равновесия в двухэтапной игре не существует.

Приложение к главе 4

Доказательство теоремы 4.1. Заметим, что

V a S ( p) D( p) . Отсюда и из первого неравенства (4.4)

a:ca p

вытекает, что каждый производитель a , для которого ca p сможет продать весь свой товар по цене p Поэтому для ситуа-

ции равновесия s min s a p p(s ) p.

a A

Пусть p(s ) p . Если ca p s a то производитель a ничего не продаст. Ему выгодно отклониться и выбрать цену sa p получив положительную прибыль (противоречие). Итак, ca p s a p

Пусть p(s) p . Предположим, что для некоторого произво-

Следовательно, производитель a продаст товар в объеме V a и

лей a , для которых ca p(s ) , по меньшей мере двое, то они не смогут реализовать полностью свои объемы по цене p(s ) Одному из них выгодно отклониться и назначить цену p(s ) В ре-

зультате он увеличит свою прибыль, что противоречит определению ситуации равновесия.